第二章 函数2.8函数模型及其应用高考理数高考理数考点一几种不同的函数模型考点一几种不同的函数模型2.8函数模型及其应用函数模型及其应用知识清单考点二指数函数、对数函数、幂函数增长比较考点二指数函数、对数函数、幂函数增长比较1.三种增长型函数模型的性质2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度大于y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,使xx0时,有axxn.(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=xn(n0)对数函数y=logax(a1)的增长速度,无论a与n值的大小如何,总会小于y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有logaxx0时，有logaxxn1,n0).常见函数模型的理解1.直线模型:即一次函数模型,其增长特点是直线上升(x的系数k0),通过图象可以很直观地认识它.2.指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a1),常形象地称之为“指数爆炸”.3.对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快(a1),但随着x的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.4.幂函数模型:能用幂函数型函数表达的函数模型,其增长情况由xn中n的取值而定,常见的有二次函数模型.方法技巧方法5.“对勾”函数模型:形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解最值.例(2017山西孝义模考,18)某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超出1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?解析(1)当x6时,y=50x-115.令50x-1150,解得x2.3.xN*,3x6,xN*.当x6时,y=50-3(x-6)x-115.令50-3(x-6)x-1150,得3x2-68x+1150.又xN*,6x20(xN*),故y=(2)对于y=50x-115(3x6,xN*),显然当x=6时,ymax=185.对于y=-3x2+68x-115=-3+(6185,当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.