第十一篇复数、算法、推理与证明第十一篇复数、算法、推理与证明( (必修必修3 3、选修选修2 22)2)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布高考考点、示例分布图命命题特点特点1.1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加减乘除四的加减乘除四则运算运算. .运算是高考的运算是高考的热点点, ,一般一般为选择题, ,占占5 5分分. .2.2.循循环结构和条件构和条件结构是高考考构是高考考查的的热点点, ,题型以型以选择题、填空、填空题为主主, ,属容易属容易题, ,占占5 5分分. .3.3.高考高考对归纳推理、推理、类比推理的考比推理的考查常以填空常以填空题形形式出式出现, ,难度中等度中等, ,占占5 5分分. .4.4.高考高考对演演绎推理、直接推理、直接证明与明与间接接证明以及数学明以及数学归纳法的考法的考查, ,单独命独命题的可能性不大的可能性不大, ,但其思想也但其思想也会渗透到解会渗透到解题之中之中. .第第1 1节数系的扩充与复数的引入节数系的扩充与复数的引入1.1.理解复数的基本概念理解复数的基本概念, ,理解复数相等理解复数相等的充要条件的充要条件. .2.2.了解复数的代数表示法及其几何意了解复数的代数表示法及其几何意义, ,能将代数形式的复数在复平面上用能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示点或向量表示, ,并能将复平面上的点或并能将复平面上的点或向量所向量所对应的复数用的复数用代数形式表示代数形式表示. .3.3.能能进行复数代数形式的四行复数代数形式的四则运运算算, ,了解两个具体复数相加、相了解两个具体复数相加、相减的几何意减的几何意义. .考纲展示考纲展示知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.复数的几何意义是什么复数的几何意义是什么? ?提示提示: :复数复数z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR R) )与复平面内的点与复平面内的点Z(a,b)Z(a,b)及平面向量及平面向量= (a,b)(a,= (a,b)(a,bbR R) )是一一对应关系是一一对应关系. .2.2.复数模的几何意义是什么复数模的几何意义是什么? ?提示提示: :复数复数z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR R) )的模的模|z|z|表示复平面内点表示复平面内点Z(a,b)Z(a,b)到原点到原点O(0,0)O(0,0)的距的距离离, ,亦即向量亦即向量 的模的模| |.| |.3.3.复数加减法的几何意义是什么复数加减法的几何意义是什么? ?知识梳理知识梳理 1.1.复数的有关概念复数的有关概念(1)(1)复数的定义复数的定义形如形如a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的数叫做复数的数叫做复数, ,其中实部是其中实部是 , ,虚部是虚部是 (i(i是虚数单位是虚数单位).).(2)(2)复数的分类复数的分类a ab b= = =(3)(3)复数相等复数相等a+bi=c+dia+bi=c+di (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=d b=d (4)(4)共轭复数共轭复数a+bia+bi与与c+dic+di互为共轭复数互为共轭复数 (a,b,c,d(a,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=-db=-d|z|z|直角坐标系直角坐标系2.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复平面的概念复平面的概念建立建立 来表示复数的平面叫做复平面来表示复数的平面叫做复平面. .|a+bi|a+bi|(2)(2)实轴、虚轴实轴、虚轴在复平面内在复平面内,x,x轴叫做轴叫做 ,y,y轴叫做轴叫做 , ,实轴上的点都表示实轴上的点都表示 ; ;除原除原点以外点以外, ,虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示 . .实轴实轴虚轴虚轴实数实数纯虚数纯虚数Z(a,b)Z(a,b)3.3.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则设设z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,d=c+di(a,b,c,dR R),),则则加法加法:z:z1 1+z+z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+bi)+(c+di)= ; ;减法减法:z:z1 1-z-z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a+bi)-(c+di)= ; ;(a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(a-c)+(b-d)i乘法乘法:z:z1 1z z2 2=(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c+di)= ; ;(ac-bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)(2)复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律复数的加法满足交换律、结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1+z+z2 2= = ,(z,(z1 1+z+z2 2) )+z+z3 3= = . .(3)(3)复数乘法的运算定律复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律, ,即对于任意即对于任意z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1z z2 2= =z z2 2z z1 1,(z,(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3),z),z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )z z2 2+z+z1 12.-b+ai=i(a+bi).2.-b+ai=i(a+bi).3.i3.i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-i(n=-i(nN N* *).).4.i4.i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4n+24n+2+i+i4n+34n+3=0(n=0(nN N* *).).双基自测双基自测 1.i1.i为虚数单位为虚数单位,i,i607607的共轭复数为的共轭复数为( ( ) )(A)i(A)i (B)-i (B)-i(C)1(C)1 (D)-1 (D)-1A A解析解析: :因为因为i i607607=i=i4151+34151+3=(i=(i4 4) )151151i i3 3=-i,=-i,所以所以i i607607的共轭复数为的共轭复数为i.i.A A A A3.(3.(20172017湖南娄底二模湖南娄底二模) )若复数若复数z z满足满足i(z-1)=1+i(ii(z-1)=1+i(i为虚数单位为虚数单位),),则则z z等于等于( ( ) )(A)2-i(A)2-i(B)2+i(B)2+i(C)1-2i(C)1-2i(D)1+2i(D)1+2iB BB B 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 复数的基本概念复数的基本概念考查角度考查角度1:1:复数的基本概念复数的基本概念【例例1 1】 (1)( (1)(20172017安徽合肥二模安徽合肥二模)i)i为虚数单位为虚数单位, ,若复数若复数(1+mi)(i+2)(1+mi)(i+2)是纯虚是纯虚数数, ,则实数则实数m m等于等于( () )(A)1(A)1 (B)-1 (B)-1 (C)- (C)- (D)2 (D)2解析解析: :(1)(1)因为因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数是纯虚数, ,所以所以2-m=0,2-m=0,且且1+2m0,1+2m0,解得解得m=2.m=2.故选故选D.D.答案答案: :(1)D(1)D答案答案: :(2)-2(2)-2反思归纳反思归纳 有关复数的概念问题有关复数的概念问题, ,一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、一般涉及复数的实部与虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等纯虚数、实数、共轭复数等, ,解决时解决时, ,一定先看复数是否为一定先看复数是否为a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的形的形式式, ,以确定其实部和虚部以确定其实部和虚部. .答案答案: :(1)B(1)B答案答案: :(2)C(2)C(3)(3)(20162016天津卷天津卷) )已知已知a,ba,bR R,i,i是虚数单位是虚数单位, ,若若(1+i)(1-bi)=a,(1+i)(1-bi)=a,则的值为则的值为. .答案答案: :(3)2(3)2反思归纳反思归纳 (1)(1)两复数相等的充要条件是实部与实部、虚部与虚部分别相等两复数相等的充要条件是实部与实部、虚部与虚部分别相等, ,求解时首先要明确两复数应均为求解时首先要明确两复数应均为z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR R) )的形式的形式. .(2)(2)若复数若复数z=a+bi(a,bz=a+bi(a,bR R),),则则|z|= .|z|= .考点二考点二 复数代数形式的运算复数代数形式的运算【例例3 3】 (1)( (1)(20172017全国全国卷卷) ) 等于等于( () )(A)1+2i(A)1+2i(B)1-2i(B)1-2i(C)2+i(C)2+i(D)2-i(D)2-i反思归纳反思归纳 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算, ,除法关键是除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数分子分母同乘以分母的共轭复数, ,注意要把注意要把i i的幂写成最简形式的幂写成最简形式. .考点三考点三 复数的几何意义复数的几何意义【例例4 4】 (1)( (1)(20162016全国全国卷卷) )已知已知z=(m+3)+(m-1)iz=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在在复平面内对应的点在第四象限第四象限, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是( () )(A)(-3,1)(A)(-3,1) (B)(-1,3) (B)(-1,3)(C)(1,+)(C)(1,+) (D)(-,-3) (D)(-,-3)(2)(2)设复数设复数z z1 1,z,z2 2在复平面内的对应点关于虚轴对称在复平面内的对应点关于虚轴对称,z,z1 1=2+i,=2+i,则则z z1 1z z2 2等于等于( () )(A)-5(A)-5 (B)5 (B)5(C)-4+i(C)-4+i(D)-4-i(D)-4-i解析解析: :(2)z(2)z1 1=2+i,=2+i,由题意由题意,z,z2 2=-2+i,=-2+i,所以所以z z1 1z z2 2=(2+i)(-2+i)=i=(2+i)(-2+i)=i2 2-4=-5.-4=-5.故选故选A.A.反思归纳反思归纳 判断复数所在平面内的点的位置的方法判断复数所在平面内的点的位置的方法: :首先将复数化成首先将复数化成a+bi(a,a+bi(a,bbR R) )的形式的形式, ,其次根据实部其次根据实部a a和虚部和虚部b b的符号来确定点所在的象限及坐标的符号来确定点所在的象限及坐标. .