数学教育设计基本方法与案例数学教育设计基本方法与案例评析评析一、数学的教育形态一、数学的教育形态 数学有数学有3 3种教育形态：种教育形态：原始形态、学术形态、教育形态原始形态、学术形态、教育形态. .原始形态是指数学家发现数学真理、证明数学命题时原始形态是指数学家发现数学真理、证明数学命题时所进行的繁复曲折的数学思考所进行的繁复曲折的数学思考. .它具有后人仿效的历它具有后人仿效的历史价值史价值. .学术形态，是指数学家在发表论文时所采用的形态学术形态，是指数学家在发表论文时所采用的形态. .形形式化，严谨的演绎，逻辑的推理，它呈现出简洁的、式化，严谨的演绎，逻辑的推理，它呈现出简洁的、冰冷的形式化美，把原始的、火热的思想淹没在形冰冷的形式化美，把原始的、火热的思想淹没在形式化的海洋里式化的海洋里. .教育形态；是指通过教师的努力，启发学生高效率地教育形态；是指通过教师的努力，启发学生高效率地进行火热的思考，把人类数千年的数学知识体系，进行火热的思考，把人类数千年的数学知识体系，使学生容易接受把数学的学术形态转化为教育形态使学生容易接受把数学的学术形态转化为教育形态是所有数学教师的责任是所有数学教师的责任. .教育形态与原始形态有相同之处；火热的思考教育形态与原始形态有相同之处；火热的思考. .不同不同之处，是思考之处要有高效率，使学生容易接受之处，是思考之处要有高效率，使学生容易接受. .高校高等数学教学误区；高等数学教育呈现得更多高校高等数学教学误区；高等数学教育呈现得更多的是学术形态的数学，更糟的是教学则是抄黑板，的是学术形态的数学，更糟的是教学则是抄黑板，把书本上的形式演绎过程，冷冰冰地抄在黑板上了把书本上的形式演绎过程，冷冰冰地抄在黑板上了事事. .高等数学教育应该是将原始形态的的内容和生动高等数学教育应该是将原始形态的的内容和生动曲折地思考过程，浓缩地容易接受地去繁化简地转曲折地思考过程，浓缩地容易接受地去繁化简地转化为教育形态，充分体现数学的本质化为教育形态，充分体现数学的本质. .二、什么是数学本质二、什么是数学本质数学家本杰明： 数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张，然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。怀尔德： 数学是一种文化体系。J.J.尔维尔斯特： 数学是推理的音乐伽利略： 数学是上帝用来书写宇宙的文字。柯尔： 数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。哲学家培根： 数学是科学的大门钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。 柏拉图： 上帝总在使世界几何化。C.迪尔曼： 数学是现实中优于任何普通语言的最完美的语言自然界彷佛用它说话，世界的创造者用它说话，世界的保护者仍在用它说话。I.巴罗： 数学 - 科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富源泉。柯尔：柯尔： 数学家对数学的了解是，数学可以表达、运数学家对数学的了解是，数学可以表达、运算、及发现事实。数学是一种能澄清混淆的思考方算、及发现事实。数学是一种能澄清混淆的思考方式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面式，它是一种语言，能让我们把世界上混杂的局面翻译成可以去管理的方式。翻译成可以去管理的方式。毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯学派： 数学统治宇宙。数学统治宇宙。P.D.P.D.拉克斯：拉克斯： 数学当做一门艺术来看时最近似于绘数学当做一门艺术来看时最近似于绘画，二者在两种目标间维持一种张力，在绘画中，画，二者在两种目标间维持一种张力，在绘画中，既要表达可见世界的形状与色彩，又要在一块二维既要表达可见世界的形状与色彩，又要在一块二维的画布上塑造出赏心悦目的图案；在数学中，既要的画布上塑造出赏心悦目的图案；在数学中，既要研究自然的规律，又要编织出优美的演绎模式。研究自然的规律，又要编织出优美的演绎模式。华罗庚：华罗庚： 千古数学一大猜！千古数学一大猜！ 三、现在数学教育中存在的误区三、现在数学教育中存在的误区一堂数学课是否成功，主要看是否达到了数学教学的目标.首要目标是学生是否理解和掌握了数（数学的科学性），它包括对数学本质的理解；数学知识的掌握；数学能力的形成等等。而现在的评课标准是：是否创设了日常生活情景；学生是否进行了互动活动；是否进行了分组合作；是否使用了多媒体；教学是否有工作单进行探究等等。教育手段的运用应当研究，教学情境设计要为教学目标服务，它们不可能游离于数学本身。误区：结果不是最重要的，重要的是否参与；知识不是最重要的，重要的是过程。前辈们常说，做一个数学教师，要想给学生一杯水，自己先有一桶水。误区：不需要一桶水，一杯水也够了，关键看你能不能把水倒给学生；数学教师没有水也行，大家一齐去打井，就会有水了。1、数学知识体系的困惑、数学知识体系的困惑困惑之一：新课程用了困惑之一：新课程用了“螺旋式上升螺旋式上升”的理念的理念困惑之二：数学教育在基础教育中有其特殊困惑之二：数学教育在基础教育中有其特殊的地位的地位困惑之三：评价方式的多样化与中考指向的困惑之三：评价方式的多样化与中考指向的矛盾矛盾困惑之四：初高中数学的衔接问题困惑之四：初高中数学的衔接问题 困惑之五：困惑之五：新课程实施过程中经常将不同“螺旋式上升”阶段的内容 困惑之二：数学教育在基础教育中有其特殊的地位困惑之二：数学教育在基础教育中有其特殊的地位 2、数学教学形式的困惑、数学教学形式的困惑困惑之一：课堂变困惑之一：课堂变困惑之一：课堂变困惑之一：课堂变“ “集市集市集市集市” ”，教学过于追求，教学过于追求，教学过于追求，教学过于追求“ “情境化情境化情境化情境化” ”困惑之二：教师由困惑之二：教师由困惑之二：教师由困惑之二：教师由“ “独奏者独奏者独奏者独奏者” ”过渡到过渡到过渡到过渡到“ “伴奏者伴奏者伴奏者伴奏者” ”角色错角色错角色错角色错位位位位困惑之三：分组合作学习、讨论困惑之三：分组合作学习、讨论困惑之三：分组合作学习、讨论困惑之三：分组合作学习、讨论“ “热闹热闹热闹热闹” ”充当新课改充当新课改充当新课改充当新课改“ “标签标签标签标签” ”困惑之四：电脑代替困惑之四：电脑代替困惑之四：电脑代替困惑之四：电脑代替“ “人脑人脑人脑人脑” ”，鼠标代替粉笔，鼠标代替粉笔，鼠标代替粉笔，鼠标代替粉笔困惑之五：困惑之五：困惑之五：困惑之五：“ “课堂教学反思课堂教学反思课堂教学反思课堂教学反思”“”“反思型教师反思型教师反思型教师反思型教师” ”困惑之六：评价的多样化与呈现形式与中考指向困惑之六：评价的多样化与呈现形式与中考指向困惑之六：评价的多样化与呈现形式与中考指向困惑之六：评价的多样化与呈现形式与中考指向“ “短短短短路路路路” ”四、关于四、关于“数学本质数学本质”的呈现的呈现数学本质包括：数学知识内在的联系，数学规律的数学本质包括：数学知识内在的联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验等诸多方面。体验等诸多方面。体现数学本质要做到：返朴归真，平易近人，言之体现数学本质要做到：返朴归真，平易近人，言之有理，感悟真情。有理，感悟真情。误区：在现实教学中数学本质常常被两种活动所掩误区：在现实教学中数学本质常常被两种活动所掩盖：一种是过度的形式化，把光彩照人的数学女王，盖：一种是过度的形式化，把光彩照人的数学女王，用用x x光看成一副光看成一副“ “骨架骨架” ”；另一种是教条式的教学改革，；另一种是教条式的教学改革，只图表面热闹，缺乏效率的走过场。只图表面热闹，缺乏效率的走过场。充分揭示数学教育的全过程新的数学课程标准指出：新的数学课程标准指出：“ “数学教学是数学活动的教数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程过程” ”。 教学应结合具体的数学内容采用教学应结合具体的数学内容采用 问题情境问题情境建立建立模型模型解释、应用与拓展解释、应用与拓展 的模式展开，让学生经的模式展开，让学生经历知识的形成与应用过程历知识的形成与应用过程 数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习个性地学习 1、学生学习不能缺少、学生学习不能缺少“过程过程”2、教师教学要重视、教师教学要重视“过程过程”3、在备课中设计、在备课中设计“过程过程”4、在情境中探索、在情境中探索“过程过程”5、在问题中延伸、在问题中延伸“过程过程”6、在评价中关注、在评价中关注“过程过程”7、在反思中发展、在反思中发展“过程过程”五、举正、反例子五、举正、反例子例1、三角形的内角和等于180度的问题从数学本质看，要获得这一定理，要么从平行公理推出来，要么直接作为公理。量只是作为公理合理性的一种说明，而不能成为证实的手段。例2、小学里乘法交换率。如果让学生交换位置，而不指出“学生的总数不变”，那就不是数学课。交换率的数学本质是变化中的不变性。 例3、正弦定理的教学正弦定理的数学本质是定量地描述三角形边角之间的关系，是大角对大边，小角对小边的量化。 例4、巨人之手昨夜黑板上留下巨人的手印，今晚还要来访，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子、椅子的尺寸。这样的度量，突出相似比的数学本质，量得有价值，有意义。 例5、坐标活动的教学设计方案：将教室的桌子并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴，选择一个学生为原点，于是一对坐标对应学生的位置，请学生自己认清坐标； 活动内容：两个坐标都是非负的站起来（第一象限）；两坐标相等的站起来（直线）；换一个学生做坐标原点（坐标的平移）。坐标的数学本质是有序数对，是为了研究问题的方便人为设定的。例6、方程的定义含有未知数的等式叫方程。 方程的数学本质是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等式关系。 设计方案：一个学生在某饭店发现地下室到10楼的3根电线不一样长，如何测量它们的电阻？ 例7、勾股定理的教学在班上发放工作单，边长为3、4、5的三角形是直角三角形，一共有6张工作单，通过大家猜想，最后让学生发现直角三角形三条边的关系-平方和关系。 六、揭示数学的文化价值六、揭示数学的文化价值例9、对顶角相等是否要证明？在几何原本中，因为A+C=B+C=平角，由公理3：等量减等量，其差相等，所以A=B。 试问，中国古代数学里为什么没有这个定理？ 例10、数学与文学七、问题设计七、问题设计1、问题是驱动探究性学习的首要因素。问题设计是数学教学设计的关键。2、国际上著名的4MAT教学模式提出的“五何”由何、是何、为何、如何、若何，问题设计方法。（1）.由何：问题是从哪里来的？针对“由何”的设计往往产生的不是真正的问题，而是任务的布置或情境的导入。教师可以为学生模拟一个情境，也可以还原到问题产生的初始情境。（2）.是何（What）：学生要回答这类问题，需要完成事实性知识的回忆与再现，或者通过说明、解说、转述推理来阐明某种意义。（3）.为何（Why）：学生要回答这类问题，需要弄清事物之间，以及事物各部分之间臼相互关系及其构成方式，以便对事件、行为和观点进行恰当准确的解释和推理。4）.如何（How）：学生要回答这类问题，必须具备将知识应用于具体情境的能力，或者了解有利于应用能力培养的原理、概念和理论.（5）.若何（Ifthat）：学生要回答这类问题，必须善于对事物的多种属性进行判断，充分发挥自己的洞察与神入能力，发挥想象力和创造力.要求学生推断或想象如果事物或情境的某种属性发生变化，结果会怎样.此类问题是创造和发现问题的启动机.4 4、几点说明：、几点说明：（1 1）. .由何：设计往往涉及到的是情境设计，而非由何：设计往往涉及到的是情境设计，而非问题设计。例如：在实际的课堂教学过程中，问题设计。例如：在实际的课堂教学过程中，“ “由何由何” ”对应第五类问题。一般由第五类问题创设问题情境，对应第五类问题。一般由第五类问题创设问题情境，激发学生的认知冲突和求知欲望。激发学生的认知冲突和求知欲望。（2 2）.“ .“是何是何” ”、“ “为何为何” ”、“ “如何、如何、“ “若何若何” ”几个方面所涉几个方面所涉及到的思维能力是有层次的。这个层次是逐渐提升及到的思维能力是有层次的。这个层次是逐渐提升的。的。“ “是何是何” ”、“ “为何为何” ”对应上述收敛的封闭的第一、二对应上述收敛的封闭的第一、二类问题。类问题。“ “如何如何” ”、“ “若何若何” ”对应开放的探究的第三、四对应开放的探究的第三、四类问题。类问题。“ “若何若何” ”是给学生转换情境灵活应用知识的是给学生转换情境灵活应用知识的机会。机会。5.举例说明：（1）.由何问题：有理数是否满足我们的生活需要？你喜欢剪纸吗？你能否将两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼得到一个大的正方形？ 作用：学生已经经历过一次数的扩张，在这里，选择新旧知识的切入点，创设问题情境，激发学生的探索欲望，并在动手过程中增强学生的感性认识，培养合作精神，从中体验成功的喜悦。（2）.是何的问题：所拼成的正方形，它的面积是多少？设大正方形的边长为a，则所拼成的大正方形的面积怎样表示？作用：为学生进一步探索明确学习目标，提供学习支架。（3）.为何的问题：我们已经知道有理数包括整数和分数，那么a可能是整数？还是分数？还是其它什么数？请大家分组讨论后派代表回答。作用：随着学生的思维水平的不断提高，为此提出a是怎样的数问题，引导学生进行数学实验探索，发展抽象思维能力。学生真实体会到面积为2的正方形的边长不能用有理数表示，但它确实存在，切身感受到有理数不够用了。（4 4）. .如何的问题：在等式中，如何的问题：在等式中，a a不是有理数，那么不是有理数，那么a a可能是多少？你能否估算出可能是多少？你能否估算出a a的范围？猜一猜，并的范围？猜一猜，并利用计算器验证你的猜想。利用计算器验证你的猜想。作用：在利用计算器探索作用：在利用计算器探索a a的取值范围过程中，渗透的取值范围过程中，渗透逐步逼近的数学思想和逼近过程的多样化。例如：逐步逼近的数学思想和逼近过程的多样化。例如：取平均数方法；逐步确定十分位、百分位、取平均数方法；逐步确定十分位、百分位、；结；结合估算等。培养学生的数感，随着小数位的增多，合估算等。培养学生的数感，随着小数位的增多，a a的平方与的平方与2 2越来越接近，但它不可能等于越来越接近，但它不可能等于2 2，这里，这里充分体现信息技术不仅可以作为教师教学的有效工充分体现信息技术不仅可以作为教师教学的有效工具，而且也可以作为学生自主探究、合作交流的认具，而且也可以作为学生自主探究、合作交流的认知工具和情感激发的工具。知工具和情感激发的工具。（5）.若何的问题：通过上面的探究与实验，说明在我们现实生活中确实需要不是有理数的数，现有的数确实不够用。那么这样的数有多少？你能否通过拼图实验和利用计算器等工具，探究并构造更多的无理数。作用：若何的问题，将学生本人替换成问题的编辑、设计者和解决者，对此问题的回答将有效地促进知识的迁移，是真正意义上的举一反三。