高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 解方程组：解方程组： 把第把第1个方程分别乘以（个方程分别乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2个、个、3个方程个方程把第把第1行分别乘以（行分别乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2、3行行 把未知量系数和常数按原顺序写成下表把未知量系数和常数按原顺序写成下表消元法解方程组消元法解方程组增广矩阵增广矩阵高高高高 等等等等 代代代代 数数数数把第第3个方程分别乘以（个方程分别乘以（-4）、）、1加到第加到第2个、个、1个方程个方程把第把第3行分别乘以（行分别乘以（-4）、）、1加到第加到第2、1行行 把第把第2个方程与第个方程与第3个个方程互换位置方程互换位置把第把第2行与第行与第3行互换位置行互换位置 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数把第把第3个方程分别乘以个方程分别乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2个方程个方程分别把把第分别把把第3行乘以行乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2行行 分别把第分别把第1个方程和第个方程和第3个个方程乘以方程乘以和和 分别用分别用和 乘第乘第1行和第行和第3行行 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数线性方程组的系数可以排成下面的一个表：线性方程组的系数可以排成下面的一个表：而利用（而利用（1 1）的系数和常数项又可以排成下表：）的系数和常数项又可以排成下表：（3）（4） 称为线性方程组（称为线性方程组（1 1）的系数矩阵）的系数矩阵. .称为线性方程组（称为线性方程组（1 1）的增广矩阵）的增广矩阵. . 一个线性方程一个线性方程组的增广矩阵显组的增广矩阵显然完全代表这个然完全代表这个方程组方程组. . 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换（1） 对调两行（对调对调两行（对调i,j两行，记作两行，记作（2） 以不为零的数以不为零的数 k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘数行乘数 k , 记作记作一、矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换和初等矩阵1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（3） 把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行对倍加到另一行对 应的元素上去应的元素上去 （第（第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,记作记作定义定义 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数矩阵的初等变换矩阵的初等变换相应地有三种相应地有三种列初等变换列初等变换（1）交换矩阵的两列，记作）交换矩阵的两列，记作（2）用非）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作常数乘以矩阵的某一列的元素，记作（3）某一列的元素乘以数）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作后加到另一列上去，记作上述六种变换，统称为矩阵的上述六种变换，统称为矩阵的初等变换初等变换高高高高 等等等等 代代代代 数数数数( (换法矩阵换法矩阵) )1. 将将E的第的第i行与第行与第j 行交换得到的初等矩阵行交换得到的初等矩阵 2、初等矩阵、初等矩阵 单位矩阵单位矩阵E 经过一次初等变换得到的经过一次初等变换得到的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵，它们是：，它们是： 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数( (倍法矩阵倍法矩阵) ) 2 以数以数 乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第 i 行行 得初等矩阵得初等矩阵注注 倍法矩阵的特点是：倍法矩阵的特点是： ；其它元素与单位；其它元素与单位矩阵相同矩阵相同. 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数( (消法矩阵消法矩阵) )3、把、把E的第的第j 行的行的k倍加到第倍加到第i行上，得到初等矩阵行上，得到初等矩阵注注消法矩阵的特点是：消法矩阵的特点是： ； 其它元素与单位矩阵相同其它元素与单位矩阵相同.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数如如 n n = 4 = 4高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 用初等矩阵用初等矩阵右乘右乘给定矩阵，其结果就是对给定给定矩阵，其结果就是对给定矩阵施行相应的初等矩阵施行相应的初等列列变换。变换。 用初等矩阵用初等矩阵左乘左乘给定的矩阵，其结果就是对给给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等定的矩阵施以相应的初等行行变换。变换。3、初等矩阵与初等、初等矩阵与初等 变换变换 之间的关系之间的关系高高高高 等等等等 代代代代 数数数数的右边乘以相应的的右边乘以相应的的右边乘以相应的的右边乘以相应的 l l 阶初等矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵. .定理定理 设设设设 A A 是一个是一个是一个是一个 n n l l 矩阵矩阵矩阵矩阵, , 对对对对 A A 施行一次施行一次施行一次施行一次初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换, , 相当于在相当于在相当于在相当于在 A A 的左边乘以相应的的左边乘以相应的的左边乘以相应的的左边乘以相应的 n n 阶初阶初阶初阶初等矩阵等矩阵等矩阵等矩阵; ; 对对对对 A A 施行一次初等列变换施行一次初等列变换施行一次初等列变换施行一次初等列变换, , 相当于在相当于在相当于在相当于在 A A 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数高高高高 等等等等 代代代代 数数数数高高高高 等等等等 代代代代 数数数数高高高高 等等等等 代代代代 数数数数高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例如例如高高高高 等等等等 代代代代 数数数数如果矩阵如果矩阵A 经过有限次初等变换变成经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：容易验证等价关系满足：（1） 反身性：对任意矩阵反身性：对任意矩阵 A，（2） 对称性：对称性：（3） 传递性：传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵、等价矩阵定义定义 矩阵矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价，记作等价，记作高高高高 等等等等 代代代代 数数数数矩阵矩阵A 的行阶梯形的行阶梯形高高高高 等等等等 代代代代 数数数数的矩阵称为矩阵的矩阵称为矩阵A的标准形。的标准形。（主对角线上（主对角线上1的个数可以是的个数可以是0）第第r 行行即即2、矩阵、矩阵A 的标准形的标准形形如形如高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例例2 设设 问：矩阵问：矩阵A和和B是否等价？是否等价？ 解解 先求先求 A、B的标准形的标准形高高高高 等等等等 代代代代 数数数数对对B施行一系列初等变换得施行一系列初等变换得高高高高 等等等等 代代代代 数数数数高高高高 等等等等 代代代代 数数数数定理定理 对任意矩阵对任意矩阵存在一系列存在一系列m阶初等阶初等和和n阶初等矩阵阶初等矩阵使得使得于是有于是有:在定理中令在定理中令:推论推论 对任意矩阵对任意矩阵 存在存在m阶可逆阵阶可逆阵P和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例化为等价标准形的变换矩阵。高高高高 等等等等 代代代代 数数数数解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,而得而得. 而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得高高高高 等等等等 代代代代 数数数数教学目的教学目的理解初等矩阵的概念，理解矩阵的等价和标准形，掌握初等变换和初等矩阵的关系，熟练掌握矩阵等价的充要条件和初等变换法求逆矩阵.教学重点教学重点初等变换法求逆矩阵；初等变换和初等矩阵的关系.教学难教学难 点点 初等变换和初等矩阵的关系.课型课型新授课.授课时数授课时数：3课时课时