第十三章推理与证明、算法、复数13.1合情推理与演绎推理内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析高频小考点思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.合情推理(1)归纳推理定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法).特点：归纳推理是由 到整体、由 到一般的推理.(2)类比推理定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法).特点：类比推理是由 到 的推理.部分个别特殊特殊知识梳理1 1答案(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.演绎推理(1)演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.一般特殊答案(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的；小前提所研究的 ；结论根据一般原理，对 做出的判断.一般原理特殊情况特殊情况答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*).()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()思考辨析答案1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.解析解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.123考点自测2 2解析答案123452.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_.使用了归纳推理；使用了类比推理；使用了“三段论”，但推理形式错误；使用了“三段论”，但小前提错误.解解析析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.解析答案123453.(2014福建)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2，b2，c0有且只有一个正确，则100a10bc_.解析答案123454.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是_.解析解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.解析答案123455.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3b4bn_.b1b2b3b4b17n (n0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.解析解析设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.题型二类比推理解析答案思维升华解析解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd ，跟踪训练2解析答案(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.(大前提是等比数列的定义，这里省略了)题型三演绎推理解析答案(2)Sn14an.又a23S13，S2a1a21344a1， (小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an. (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)解析答案思维升华某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为_.大前提错误； 小前提错误；推理形式错误； 非以上错误.解解析析因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.跟踪训练3解析答案返回高频小考点典典例例1(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014是数列an的第_项；b2k1_.(用k表示)高频小考点10.高考中的合情推理问题解析答案(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足 ： (1)T f(x)|xS； (2)对 任 意 x1， x2S， 当 x1x2时 ， 恒 有f(x1)f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是_.AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0x10；Ax|0xAB，则P点的轨迹为椭圆；由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.解解析析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理.解析答案2.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_.结论正确； 大前提不正确；小前提不正确； 全不正确.解析解析f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提错误.123456789101112131415解析答案3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为f(n)_.解析解析1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；123456789101112131415解析答案4.给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是_.解析解析(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误.sin()sin sin 不恒成立.由向量的运算公式知正确.1123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案6.观察下列不等式：照此规律，第五个不等式为_.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案解析解析由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20，123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案11.已知正方形的对角线相等；矩形的对角线相等；正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这个结论是_.(填序号)解解析析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等.123456789101112131415解析答案12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2 .所以，圆环的面积等于以线段ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2 为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0rd)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_.123456789101112131415解析答案13.如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比 如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为_.123456789101112131415解析答案14.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；解解(1)选择式，计算如下：123456789101112131415解析答案(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解解三角恒等式为证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )123456789101112131415解析答案15.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若 请你根据这一发现，123456789101112131415(1)求函数f(x)的对称中心；解解f(x)x2x3，f(x)2x1，123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案返回