第第6章章 二次型二次型6.1 二次型的定义和矩阵表示二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵合同矩阵其中系数是数域F中的数，叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。定义定义6.1 n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式如果令aji = aij(1i0(i=1,p+q), p+qn成立，则p和q是由A唯一确定的。证证由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知 p+q=r由A唯一确定。设实二次型f=xTAx经坐标变换x=By和x=Cz (1) (B,C都可逆)分别化为标准形f= b1y12+ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 (2) f =c1 z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2 (3)(bi, ci0, i=1, ,r)用反证法：假设pt，此时由(1),(2)可得f=b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 bp+1yp+12 br yr2=c1z12+ ct zt2 ct+1 zt+12 cp zp2 cp+1 zp+12 cr zr2(5)为了从(4)式中找到矛盾，令z1=z2=zt=0, yp+1=yn=0，代入(5)得到y1, y2,yn的方程组(6)齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数为t+(n p)=n (p t)0 (7)将(6)的非零解代入(5)式得到z1,zt,zn的一组值（其中z1=z2=zt=0），将它们再代入(4)式，又得f= ct+1zt+12cpzp2crzr20(8)(7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的pk不能成立，必有p k齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数0(i=1,p+q)。取可逆阵则则CTA C=diag(1,1,1,1,0,0)若n阶实对称矩阵A与B合同，也称对应的二次型xTAx和xTBx合同。注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。两个n阶实对称矩阵A和B合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等，或正惯性指数与秩分别相等；全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，1,0的排列次序）可以划分为(n+1)(n+2)/2类。因为秩r=0时，有1类；r=1时，有2类；r=2时，有3类;，r=n时，有n+1类。共有1+2+3+(n+1)类。6.4 6.4 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵在多元微积分中我们知道二元函数在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）的邻域内是否恒正(负)。一般n元二次型是否恒正(负)的问题，就是二次型的正定问题。 定义定义6.4 如果n元实二次型f(x1,x2,xn)=xTAx，x= (x1,x2,xn )0(xRn)，恒有xTAx0，就称xTAx 为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。(1)n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,xn)= d1x12+d2x22+dnxn2正定的充分必要条件是di0(i=1,2,n)。充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有 f (0,0,1,0,0)=di0。这与二次型正定相矛盾。由定义可得：(2)对二次型f=xTAx 做坐标变换x=Cy（C为可逆矩阵），化为f=yT(CTAC)y，其正定性不变。这是因为：y00，相应的x0=Cy00（否则x0=0，则y0=C1x0=0)，于是由f=xTAx 的正定性，即得f =y0T(CTAC)y0=x0TAx00，即y0T(CTAC)y0正定，反之亦然。所以，对二次型做坐标变换化为d1x12+d2x22+dnxn2 ，即A合同于对角矩阵CTAC=diag(d1, d2,dn )时，由 di 0（i=1,2,n）即可判别A为正定矩阵。 定理定理6.4对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价：(1)xTAx 是正定二次型（或A是正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为n，即AI；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1, 2,n都大于零。 证证(1)(2)即对正定二次型xTAx做坐标变换所化成的相合规范形必为xTAx =y12+y22+yn2，即p=n且A I I。 (2)(3)存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(CT)1C1,令P=C1，则PT=(CT)1,于是,A=PTP。 (3)(4) 设Ax=x(x0),得(PTPA)x=x,从而有xTPTPx=xTx,即(Px,Px)=(x,x)由P是可逆矩阵和x0,得Px0，特征值(4)(1)对于n元实二次型xTAx，存在正交变换x=Q y使得xTAx=1y12+2y22+nyn2。由1,n都大于零，即得xTAx 是正定二次型。(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1, 2,n都大于零。 例例证明：若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵。证证正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以，A可逆，且(A1)T=(AT)1=A1，即A1也是实对称矩阵。证A1正定: 方法方法：用定义。对二次型xTA1x做坐标变换x=Ay，得xTA1x=yTATA1Ay=yTAy由yTAy正定，可知xTA1x 也正定，故A1是正定矩阵。方法法：由A I,即存在可逆阵C使得CTA C=I,两边求逆,得(C1)A1(C1)T=I,即DTA1D=I(其中D=C1)T,故A1 I，因此A1是正定的。方法法：由A正定,则存在可逆阵P,使得A=PTP,于是A1=P1(P1)T=STS(其中S=(P1)T）,因此A1也正定。 方法方法：设Ax=x(x0)，得A1x=1x(x0)。由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零。故A1正定。例例判断三元二次型,显然f (x1, x2, x3)0，等号成立当且仅当解法解法：用配方法得的特征多项式为IA=(1)(1)21/2，特征值是否是正定二次型。解法解法：二次型的对应矩阵都大于零，所以二次型正定。从而判定f(x1, x2, x3) 是正定的。 例例3判别三元二次型是否是正定二次型。 f (1,1,0)=3+14=0解法解法1：观察故f 不 是正定的。解法解法2 二次型的对应矩阵IA=(1)(263)=0特征值的特征方程故f 不 是正定的。 定理定理6.5 若n元二次型xTAx 正定，则(1)A的主对角元aii0(i=1,2,n)；(2)A的行列式detA0。证证(1)因xTAx 正定，取第i个分量xi=1,其余分量为0的向量，xi=(0,0,1,0,0)，则有xiTAxi=aiixi2=aii0(i=1,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PTP，从而A=PTP=P20或根据正定矩阵A的特征值都大于零，得A=12n0。根据定理，A, B, C都不是正定的。A=0，B0，C中c110(k=1,n)。必要性得证。对一切 xk0成立。故x1,xk 的k元二次型由于C12A=An-1b0,An-10，即得b0。取于是，对n1元二次型成立；对n元二次型，将A分块为其中 =(a1n,a2n,an-1,n)T根据定理6.4，只需证明A I*充分性：充分性： 对n作数学归纳法。当n=1时，a110,xTAx=a11x120 (x10)，故充分性成立。假设充分性根据归纳假设,An-1 正定，故存在n1阶可逆矩阵G，使得再取例如，用定理6.6判别矩阵D的正定性，其中解解所以，D不是正定的。故A I，A正定。例例4证明：若A是n阶正定矩阵，则存在正定矩阵B，使得A=B2。证证因为正定矩阵A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q（QTQ=I），使得A=Q(diag(1,2,n)QT其中i0(i=1,2,n)。利用diag(1,2,n)=则A=B2。B的特征值都大于0，所以B正定。B通常记作*6.5*6.5 其他有定其他有定二次型二次型 定义定义6.5如果x=(x1,xn)T0，恒有二次型(1) xTAx 0,但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称 xTAx 为半正定二次型，A为半正定矩阵；(2)xTAx 0，则称xTAx 为负定二次型，A为负定矩阵；(3)xTAx 0，但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称 xTAx 为半负定二次型，A为半负定矩阵。正定、半正定、负定、半负定二次型统称为有定二次型。不是有定的二次型，就称为不定二次型。例如，xTAx二次型经坐标变换,正(负)定性、半正(负)定性及不定性都不变。当di0(i=1,2,n)时，是负定的；当di0(i=1,2,n),且至少有一个为0时是半正定；当di0(i=1,2,n)且至少有一个为0时是半负定。若A为负定(半负定)矩阵，则(A)为正定(半正定)矩阵。 定理定理6.7设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx 是负定二次型（或A是负定矩阵）；(2)A的负惯性指数为n，即A I；(3)存在可逆矩阵P，使得A= PTP；(4)A的n个特征值1, 2,n都小于零；(5)A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。 定理定理6.8 设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx 是半正定二次型（或A是半正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为=r(A)=r(rn)或Adiag（1,1,0, ,0)， 其中1有r个；(3)A的n个特征值都大于等于零，但至少存在一个为零；(4)存在非满秩矩阵P（r(P)n），使得A= PTP；(5)A的各阶主子式大于等于零,但至少有一个主子式等于零。是否是有定二次型。 例例1判断二次型 解法解法当x1=x2=xn时，等号成立，故二次型半正定。是否是有定二次型。例例1判断二次型 解法解法2故二次型半正定。