数值分析数值分析考虑更一般形式的数值积分问题考虑更一般形式的数值积分问题定义：定义：若求积公式若求积公式 对一切对一切不高于不高于m次的多项式次的多项式p(x)都等号成立，即都等号成立，即R(p)=0;=0;而对而对于某个于某个m+1+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为代数精度为m. .一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析数值分析数值分析定理定理1：设节点设节点x0, x1,xna,b，则求积公式，则求积公式 的的代数精度最高为代数精度最高为2n+1次。次。 分别取分别取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并让其成为代入公式，并让其成为等式，得：等式，得： A0 + A1 + + An =ab1dx.= b-ax0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 .x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)数值分析数值分析数值分析数值分析 事实上事实上,取取 2n+2次多项式次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式代入求积公式,这里这里 x0, x1,xn是节点，是节点，有有左左 右右,故等式不成立故等式不成立,求积公式求积公式的的代数精度最高为代数精度最高为2n+1次。次。 证毕证毕. 上式共有上式共有 r +1个个 等式，等式，2n+2个待定系数个待定系数(变元变元),要想要想如如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是这样导出求积公式的代数精度至少是2 n+1,下面下面证明代数精度只能是证明代数精度只能是2n+1. 数值分析数值分析数值分析数值分析定义定义: 使求积公式使求积公式达到最高代数精度达到最高代数精度2n+1的求积公式称为的求积公式称为Guass求积公式。求积公式。Guass求积公式的节点求积公式的节点xk称为称为Guass点点,系数系数Ak称为称为Guass系数系数.因为因为Guass求积公式也是求积公式也是插值型插值型求积公式求积公式,故有故有结论结论: n+1个节点的个节点的插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度 d 满足满足： n d 2n+1。数值分析数值分析数值分析数值分析例：例：选择系数与节点，使求积公式（选择系数与节点，使求积公式（1） 成为成为Gauss公式。公式。解：解：n=1, 由定义，若求积公式具有由定义，若求积公式具有3次代数精度，则次代数精度，则 其是其是Gauss公式。公式。 为此，分别取为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让代入公式，并让 其成为等式，得其成为等式，得c1 + c2=2c1 x1+ c2 x2=0c1 x12+ c2 x22 =2/3c1 x13+ c2 x23 =0求解得：求解得：所求所求Gauss公式为：公式为：(1) 用待定系数法构造高斯求积公式用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析 设设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列，为正交多项式序列， Pn(x)具有如下性质：具有如下性质：1）对每一个）对每一个n ,Pn(x)是是 n 次多项式。次多项式。 n=0,1,2）(正交性正交性)3）对任意一个次数）对任意一个次数n-1的多项式的多项式P(x)，有，有4）Pn(x)在在(a,b)内有内有n个互异零点。个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析定理定理2 设设x0,x1, ,xn 是是n+1次正交多项式次正交多项式Pn+1(x)的的n+1 个零点个零点,则插值型求积公式则插值型求积公式是是Guass型型求积公式。求积公式。证明：证明：只要证明只要证明求积公式的代数精确度为求积公式的代数精确度为2n+1,即即对对任意一个次数任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都精确成立。都精确成立。设设 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式，则有的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足，满足 f(xk)=r(xk)这里，这里， Pn+1(x)是是 n+1次次正交多项式，正交多项式， q(x)、r(x)均是均是次数次数n的多项式。的多项式。数值分析数值分析数值分析数值分析由由性质性质3）及及(4)式，有式，有由于由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于于n，故有，故有即即对对 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都都精确成立精确成立。 证毕证毕数值分析数值分析数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：的基本步骤：代入积分式代入积分式因此，求积系数为因此，求积系数为数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式1.Gauss - Legendre 求积公式求积公式 (1)其中其中高斯点为高斯点为Legendre多项式的零点多项式的零点 Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询.数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析一般区间的一般区间的Gauss - Gauss - Legendre Legendre 求积公式求积公式 如果积分区间是如果积分区间是a,b，用线性变换，用线性变换 这样就可以用这样就可以用Gauss - Gauss - LegendreLegendre求积公式计算一求积公式计算一般区间的积分般区间的积分.将积分区间从将积分区间从a,b变成变成-1,1,由定积分的换元积由定积分的换元积分法有分法有数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析例例 利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算解解: 令令x=1/2 (1+t), 则则用用高斯高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取取n=4 积分精确值为积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的由此可见，高斯公式精确度是很高的.数值分析数值分析数值分析数值分析例例:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较各种做法比较如下：各种做法比较如下：1、用、用Newton-Cotes公式公式当当n=1时，即用梯形公式，时，即用梯形公式，I0.9270354当当n=2时时, 即用即用Simpson公式公式, I 0.9461359当当n=3时时, I 0.9461090当当n=4时时, I 0.9460830当当n=5时时, I 0.9460830I准准=0.9460831=0.9460831数值分析数值分析数值分析数值分析2:用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式：用复化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125I准准=0.9460831数值分析数值分析数值分析数值分析4、用用Romberg公式公式K Tn Sn Cn Rn0 0.9207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准准=0.9460831数值分析数值分析数值分析数值分析5、用、用Gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2, I准准=0.9460831（2）用）用3个节点的个节点的Gauss公式公式（1）用）用2个节点的个节点的Gauss公式公式数值分析数值分析数值分析数值分析算法比较算法比较n此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831.n由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知：n对对Newton-cotes公式，当公式，当n=1时只有时只有1位有效位有效数字，当数字，当n=2时有时有3位有效数字，当位有效数字，当n=5时有时有7位有效数字。位有效数字。n对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜位有效数字，对复化辛卜生公式有生公式有6位有效数字。位有效数字。n用复合梯形公式，对积分区间用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了二分了11次用次用2049个个函数值，才可得到函数值，才可得到7位准确数字。位准确数字。n用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次，用了次，用了9个个函函数值，得到同样的结果。数值，得到同样的结果。n用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个个函数值，就得到结果。函数值，就得到结果。数值分析数值分析数值分析数值分析2.Gauss-Chebyshev2.Gauss-Chebyshev公式公式常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析3.Gauss-Laguerre3.Gauss-Laguerre公式公式数值分析数值分析数值分析数值分析4.Gauss-Hermite4.Gauss-Hermite公式公式数值分析数值分析数值分析数值分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析数值分析数值分析数值分析已知已知HermiteHermite插值误差是插值误差是因为对因为对2n+12n+1次多项式求积公式准确成立，即次多项式求积公式准确成立，即代入上式代入上式即有即有数值分析数值分析数值分析数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析 将积分区间将积分区间a , b n等分，在每个小子区间上使等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的用一个节点数较少的GaussGauss型求积公式型求积公式, ,然后把它们然后把它们加起来，就得到整个区间上加起来，就得到整个区间上GaussGauss型求积公式的复化型求积公式的复化形式。形式。 复化复化Gauss求积公式的基本思想：求积公式的基本思想： 下面用下面用Gauss-Legender求积公式推导求积公式推导复化复化Gauss型求积公式型求积公式.将积分区间将积分区间a , b n等分，等分，三、三、复化复化Gauss求积公式求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析数值分析 例如例如,用用2点的点的Gauss-Legender求积公式复合求积公式复合,由表由表9-4,取取n=1,得得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式代入到上式中中,得得2点的复化点的复化Gauss-Legender求积公式求积公式 再将上式应用再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得求积公式就得到了到了复化复化Gauss型求积公式型求积公式.数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二版习题 P276-11(1)，16，三版习题三版习题 P250-11(1)，16，