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第第2讲讲函数的函数的单调单调性与最性与最值值最新考纲最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有_,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_增函数减函数区间D上升的下降的2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI,都有_;(2)存在x0I,使得f(x0)M(3)对于任意xI,都有_;(4)存在x0I,使得_结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)M诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示解析(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x11,x21,则f(1)f(1),故应说成单调递减区间为(,0)和(0,).(3)应对任意的x1x2,f(x1)f(x2)成立才可以.(4)若f(x)x,f(x)在1,)上为增函数,但yf(x)的单调递增区间可以是R.答案(1)(2)(3)(4)答案A3.如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(,1)上是减函数,那么()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案C4.函数f(x)lg x2的单调递减区间是_.解析f(x)的定义域为(,0)(0,),ylg u在(0,)上为增函数,ux2在(,0)上递减,在(0,)上递增,故f(x)在(,0)上单调递减.答案(,0)答案2答案D规律方法(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1(1).(2)函数单调性的判断方法有:定义法;图象法;利用已知函数的单调性;导数法.(3)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.答案31规律方法(1)求函数最值的常用方法:单调性法;基本不等式法;配方法;图象法;导数法.(2)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数f(x)在闭区间a,b上是增函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(b),最小值为f(a).若函数f(x)在闭区间a,b上是减函数,则f(x)在a,b上的最大值为f(a),最小值为f(b).答案C考点三函数单调性的应用(典例迁移)规律方法(1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降,再结合图象求解.(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域.思想方法1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤:(1)取值 ;(2)作差;(3)定号;(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法,也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到.
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