第第5章章数值积分数值积分若函数若函数f(x)在区间在区间a,b上连续且其原函数为上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿则可用牛顿莱布尼兹公式，来求定积分。莱布尼兹公式，来求定积分。(51)求定积分求定积分复习复习 函数关系由表格函数关系由表格或图形表示或图形表示,无法无法求出原函数。求出原函数。定积分计算可能定积分计算可能遭遇的三种情况遭遇的三种情况被积函数的原函被积函数的原函被积函数的原函被积函数的原函数不是初等函数数不是初等函数数不是初等函数数不是初等函数被积函数被积函数f(x)没有没有具体的解析表达式具体的解析表达式被积函数被积函数被积函数被积函数f(x)f(x)的原的原的原的原函数函数函数函数F(x)F(x)不易找到不易找到不易找到不易找到第第第第5 5 5 5章章章章 数值积分数值积分数值积分数值积分从几何上看定积分从几何上看定积分定积分是曲边梯形的面积图图5.1左矩形左矩形右矩形右矩形(52)(53)图图5.2梯形面积梯形面积图图5.3抛物求积抛物求积(54)(55) 第第第第5 5 5 5章章章章 数值积分数值积分数值积分数值积分近似近似近似近似值值5.15.15.5.2 25.5.4 4牛顿牛顿 柯特斯柯特斯(NewtonCotes) (NewtonCotes) 公式公式 复合求积公式复合求积公式龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)积分方法积分方法5.1牛顿牛顿柯特斯柯特斯(NewtonCotes)公式公式建建立立数数值值积积分分公公式式最最基基本本的的思思想想是是选选取取一一个个既既简简单单又又有有足够精度的函数足够精度的函数(x),用用(x)代替被积函数代替被积函数f(x),于是有于是有现用第四章介用第四章介绍的插的插值多多项式式Pn(x)来代替被来代替被积函数函数f(x),即有即有将积分区间将积分区间a,bn等分，则节点是等距分布的，节点等分，则节点是等距分布的，节点x0,x1,x2,xn可表示成可表示成xk=x0+kh(k=0,1,n)，其中，其中x0=a,xn=b,称为步长。称为步长。Newton-Cotes公式公式若Ln (x)为Lagrange插值多项式，则由公式于是令 (5.5)公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。则有 (5.6)求求Ak在等距节点前提下，做变换，由，可得而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,n) ，xk-xj=(k-j)h (j,k=0,1,2,n且jk)。于是(5.5)式即为记则 (5.9)称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n) 叫Cotes系数，Cotes系数与被积函数及积分区间无关。 计算柯特斯系数计算柯特斯系数 n=1时，有两个Cotes系数 n=2时，有三个Cotes系数 类似可得，n=3时有四个Cotes系数 n=4时，有五个Cotes系数几个常用的牛顿几个常用的牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 n=1时，此即(5.3)式，为梯形公式。 ，其中，称为Simpson公式。其中 c,d,e为a,b的四等分点，称为Cotes公式。 n=2时， n=4时， 表 51 柯特斯系数柯特斯系数柯特斯系数C(n)i仅与仅与n和和i有关有关,与被积函数与被积函数f(x)无关无关,且满足且满足(515)柯特斯公式对柯特斯公式对f(x)=1是准确成立的。是准确成立的。柯特斯系数的特点柯特斯系数的特点例例1试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分解解:利用梯形公式利用梯形公式利用抛物线公式利用抛物线公式原积分的准确值原积分的准确值5.1.2误差估计误差估计现现对对牛牛顿顿柯柯特特斯斯求求积积公公式式所所产产生生的的误误差差作作一一个个分析。牛顿分析。牛顿柯特斯求积公式的余项为柯特斯求积公式的余项为易易知知,牛牛顿顿柯柯特特斯斯求求积积公公式式对对任任何何不不高高于于n次次的的多多项式是准确成立的。这是因为项式是准确成立的。这是因为f(n+1)()0故故Rn(f)0(510)代数精度代数精度一一般般说说来来,若若某某个个求求积积公公式式对对于于次次数数不不高高于于m的的多多项项式式都都准准确确成成立立(即即Rn(f)0),而而对对于于某某一一次次数数为为m+1的的多多项项式式并并不不准准确确成成立立(即即Rn(f)0),则则称称这这一一求求积积公公式式的的代代数数精精度为度为m。牛顿牛顿柯特斯求积公式的代数精度至少为柯特斯求积公式的代数精度至少为n，若，若n为为偶数，则至少具有偶数，则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等次代数精度。通常在基点个数相等的情况下的情况下,代数精度愈高代数精度愈高,求积公式愈精确。求积公式愈精确。梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、5次代数精度。次代数精度。例例5.1分别利用梯形公式、分别利用梯形公式、Simpson公式、公式、Cotes公式计算公式计算,n=1,2,3,4,5，并与用牛顿，并与用牛顿-莱布尼兹公式计算的莱布尼兹公式计算的结果进行比较。结果进行比较。解解计算结果列于表计算结果列于表5-2中。中。表表5-2函数函数f(x)xx2x3x4x5梯形值梯形值0.50.50.50.50.5Simpson值值0.50.3333330.250.2083330.1875Cotes值值0.50.3333330.250.200.166667准确值准确值0.50.3333330.250.200.166667定定理理2(抛抛物物线线公公式式的的误误差差)设设f(x)在在a,b上上有有连连续的四阶导数续的四阶导数,则抛物线公式的误差为则抛物线公式的误差为定定理理1(梯梯形形公公式式的的误误差差)设设f(x)在在区区间间a,b上上具具有连续的二阶导数有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为则梯形求积公式的误差为 如果在每个子区间上使用梯形公式，就得到复合梯形如果在每个子区间上使用梯形公式，就得到复合梯形公式。将积分区间公式。将积分区间 a a, ,b b N N等分后的节点记为等分后的节点记为x xk k，x xk k= =a a+ +khkh( (k k=0,1,2,=0,1,2, ,N N ) )，在每个子区间，在每个子区间 x xk k , ,x xk k+1+1 ( (k k=0,1,2,=0,1,2,，N N-1)-1)上应用梯形公式上应用梯形公式，1.1.复合梯形公式复合梯形公式5.2复合求积复合求积公式公式再求和得：再求和得：1.1.复合梯形公式复合梯形公式其中xk=a+kh (k=0,1,2,N)， 1.1.复合梯形公式复合梯形公式2.2.复合复合Simpson公式公式 如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，于是共有2N+1个节点， (k=0,1,2,2N)，在每个N等分的子区间x2k , x2k+2 (k=0,1,2,N-1)上应用Simpson公式， 再求和得：2.2.复合复合Simpson公式公式其中 (k=0,1,2,2N)， 2.2.复合复合Simpson公式公式其中 (k=0,1,2,4N)， 3.3.复合复合Cotes公式公式4 4、复合、复合Simpson公式算法公式算法(1) 输入a,b,N(2) (3) 当 i=1,2, ,N时 做循环 x=x+h s=s+4f(x) x=x+h s=s+2f(x)(4) 例例 5.2：利用数据表利用数据表 xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492计算积分计算积分这个问题有明显的答案这个问题有明显的答案取取n=8用复合梯形公式用复合梯形公式取取n=4,用辛普森公式用辛普森公式二、复合求积公式的余项二、复合求积公式的余项 梯形公式的余项为梯形公式的余项为对于复合梯形公式则有对于复合梯形公式则有若若 在在a,b上连续，则存在上连续，则存在 ，使，使 1、复合梯形公式的余项、复合梯形公式的余项所以所以由由 在在a,b上连续可知，上连续可知， 在在a,b上有界，于是存在常数上有界，于是存在常数M2，使，使 ，1、复合梯形公式的余项、复合梯形公式的余项故故2、复合、复合Simpson公式的余项公式的余项 同理同理由由 在在a,b上连续可知，上连续可知， 在在a,b上有界，于是存在常数上有界，于是存在常数M4，使，使故故3、复合、复合Cotes公式的余项公式的余项 由由 在在a,b上连续可知，上连续可知， 在在a,b上有界，于是存在常数上有界，于是存在常数M6，使，使同理同理故故 当当 时，时， ，于是从这些余项公式可以，于是从这些余项公式可以看出，看出， 当时，复合求积公式当时，复合求积公式TN ,SN , CN都收敛都收敛于定积分值于定积分值I I，而且收敛速度一个比一个快。，而且收敛速度一个比一个快。 二、复合求积公式的余项二、复合求积公式的余项 例例5.3 用复合梯形公式、复合用复合梯形公式、复合Simpson公式、复公式、复合合Cotes公式在取相同节点的情况下，计算定积公式在取相同节点的情况下，计算定积分分 的近似值。设把区间的近似值。设把区间8等分。等分。 解：解： 把区间把区间0,1 8等分，等分，共有，共有9个节点，个节点，节点表示为节点表示为(k=0,1,2,8)。(1) 用复合梯形公式计算，相当于取用复合梯形公式计算，相当于取 (2) 用复合用复合Simpson 公式计算，相当于取公式计算，相当于取N=4，把区间，把区间0,1N等分，然后在每个子区间上使用等分，然后在每个子区间上使用Simpson公式，公式， (3) 用复合用复合Cotes 公式计算，相当于取公式计算，相当于取N=2，把，把区间区间0,1N等分，然后在每个子区间上使用等分，然后在每个子区间上使用Cotes公式，公式， 的准确值为的准确值为0.9460831 回顾：复合求积公式的余项回顾：复合求积公式的余项1. 复合梯形公式的余项复合梯形公式的余项2. 复合辛普森公式的余项复合辛普森公式的余项 3. 复合柯特斯公式的余项复合柯特斯公式的余项 一、变步长梯形公式一、变步长梯形公式1.当把区间当把区间a,b 等分时，步长等分时，步长 复合梯形公式为复合梯形公式为2.当把区间当把区间a,b 等分时等分时,步长步长 复合梯形公式为复合梯形公式为5.3变步长求积公式变步长求积公式改写上式得：改写上式得：复合梯形公式的递推公式复合梯形公式的递推公式 二、变步长梯形公式算法二、变步长梯形公式算法 1. 输入输入a,b,精度精度eps;2. h=b-a3. 做循环做循环 T1=TT1=TS=0S=0 对对 x=a+h/2(初值初值), b(终值终值) h (步长步长)做循环做循环s=s+f(x) h=h/2 4. 则返回则返回 3 5. 输出输出T1. 将将a,bN等分后复合梯形公式的余项，等分后复合梯形公式的余项，h=2. 将将a,b2N等分后复合梯形公式的余项，等分后复合梯形公式的余项，h=设设 在在a,b上变化不大，即有上变化不大，即有 于是于是整理得整理得同理，由复合辛同理，由复合辛普森公式的余项普森公式的余项可得可得同理，由复合柯同理，由复合柯特斯公式的余项特斯公式的余项可得可得5.4 龙贝格求积公式 一、一、龙贝格求积龙贝格求积公式公式 由变步长的求积公式可以看出，利用前后两次由变步长的求积公式可以看出，利用前后两次计算结果进行适当的线性组合，可以构造出精度更计算结果进行适当的线性组合，可以构造出精度更高的计算公式，这就是龙贝格求积公式的基本思想。高的计算公式，这就是龙贝格求积公式的基本思想。 48课堂特制 一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式49课堂特制 一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式 对于复合对于复合Simpson公式，设将区间公式，设将区间a,b分成分成 等份，即步长为等份，即步长为 ，节点为，节点为 (k=0,1,2,2k) 50课堂特制 一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式即：即： 同理，由复合同理，由复合Simpson公式的前后两次计算结公式的前后两次计算结果作线性组合可以得到精度更高的复合果作线性组合可以得到精度更高的复合Cotes公式公式 51课堂特制 一、龙贝格求积公式一、龙贝格求积公式 由复合由复合Cotes公式的前后两次计算结果作线公式的前后两次计算结果作线性组合，必可得到精度更高的公式性组合，必可得到精度更高的公式龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)求积公式求积公式 52课堂特制龙贝格求积过程：龙贝格求积过程： ?T1T8T4T2S1R1S2C1C2S4T16 S8 C4R2 53课堂特制龙贝格求积过程：龙贝格求积过程：T数表数表T0,0T1,0 T0,1T2,0 T1,1 T0,2T3,0 T2,1 T1,2 T0,3T4,0 T3,1 T2,2 T1,3 T0,4 ? 引入记号引入记号Tk, i，其中其中i 表示外推的表示外推的次数，次数，k表示区间表示区间a,b对分的次数，对分的次数，即把即把a,b分成分成2k等等份。份。 54课堂特制 如果如果f(x)充分光滑，那么充分光滑，那么T数表每一列的元素数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值，即及对角线元素均收敛到所求的积分值，即 （i固定）固定） 并且后者的收敛速度比前者快并且后者的收敛速度比前者快 龙贝格求积过程：龙贝格求积过程：T数表数表 因此，对于给定的精度要求因此，对于给定的精度要求，当，当 时，取时，取 ，停止计算。，停止计算。 55课堂特制复合梯形公式的递推公式复合梯形公式的递推公式 龙贝格求积过程：龙贝格求积过程：T数表数表（k=1,2,） 56课堂特制外推公式外推公式 龙贝格求积过程：龙贝格求积过程：T数表数表 (k=0,1,；i=1,2,) 57课堂特制例例5.35.3用龙贝格积分方法求用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。解：令解：令 , a=2,b=8。(1)在在2,8 上用梯形公式计算上用梯形公式计算 k=0 h=b-a=6,(2)将区间二等分，此时将区间二等分，此时 k=1 h=(b-a)/2=3计算新增节点处的函数值计算新增节点处的函数值58课堂特制(3)将区间四等分将区间四等分k=2 , h=(b-a)/4=3/2,计算新增算新增节点点处的函数的函数值例例5.35.3用龙贝格积分方法求用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。59课堂特制(4)将区间八等分将区间八等分k=3 , h=(b-a)/8=3/4,计算新增算新增节点点处的函数的函数值例例5.45.4用龙贝格积分方法求用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。60课堂特制达到了精度要求，故取达到了精度要求，故取T0,3作作为积分的近似分的近似值，即，即例例5.35.3用龙贝格积分方法求用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。61课堂特制(2)(3)(4)当当i=1,2,k时(5)则返回返回(3)；否；否则输出出T0,k，结束。束。 龙贝格积分算法龙贝格积分算法(1) 输入积分上、下限输入积分上、下限a、b，精度要求，精度要求eps； j=k-i 62课堂特制第5章 小结63课堂特制第6次作业l用龙贝格求积公式求定积分用龙贝格求积公式求定积分 的近似值，的近似值， 要求写出每一步计算的公式，精度要求要求写出每一步计算的公式，精度要求10-5，每，每一步的计算结果都至少保留一步的计算结果都至少保留6位小数。位小数。64课堂特制作业：用龙贝格积分方法求作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。解：令解：令 , a=1,b=2。(1)在在1,2 上用梯形公式计算上用梯形公式计算 k=0 h=b-a=1,(2)将区间二等分，此时将区间二等分，此时 k=1 h=(b-a)/2=1/2计算新增节点处的函数值计算新增节点处的函数值65课堂特制(3)将区间四等分将区间四等分k=2 , h=(b-a)/4=1/4,计算新增算新增节点点处的函数的函数值作业：用龙贝格积分方法求作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。66课堂特制(4)将区间八等分将区间八等分k=3 , h=(b-a)/8=1/8,计算新增算新增节点点处的函数的函数值作业：用龙贝格积分方法求作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。67课堂特制达到了精度要求，故取达到了精度要求，故取T0,3作作为积分的近似分的近似值，即，即作业：用龙贝格积分方法求作业：用龙贝格积分方法求 的近似值，的近似值，精度要求为精度要求为 。68课堂特制