第第3 3节合情推理与演绎推理节合情推理与演绎推理 考纲展示考纲展示 1.1.了解合情推理的含义了解合情推理的含义, ,能进行简能进行简单的归纳推理和类比推理单的归纳推理和类比推理, ,体会合体会合情推理在数学发现中的作用情推理在数学发现中的作用. . 2.2.了解演绎推理的含义了解演绎推理的含义, ,掌握演绎掌握演绎推理的推理的“三段论三段论”, ,能运用能运用“三段三段论论”进行一些简单的演绎推理进行一些简单的演绎推理. .3.3.了解合情推理和演绎推理之间的了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异联系和差异. . 知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理定义定义由某类事物的部分对象具有某由某类事物的部分对象具有某些特征些特征, ,推出该类事物的推出该类事物的_ _ 的推理的推理, ,或者或者由个别事实概括出由个别事实概括出 的的推理推理由两类对象具有某些类似特征由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的和其中一类对象的 推出另一类对象也具有这些特推出另一类对象也具有这些特征的推理征的推理特点特点由由 到到 、由、由 到到 的推理的推理由由 到到 的推理的推理全部对象全部对象都具有这些特征都具有这些特征一般结论一般结论某些已知特征某些已知特征部分部分整体整体个别个别一般一般特殊特殊特殊特殊一般一般步骤步骤(1)(1)通过观察个别情况发现某些相同通过观察个别情况发现某些相同性质性质; ;(2)(2)从已知的相同性质中推出一个明从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题确的一般性命题( (猜想猜想) )(1)(1)找出两类事物之间的相似性或一找出两类事物之间的相似性或一致性致性; ;(2)(2)用一类事物的性质去推测另一类用一类事物的性质去推测另一类事物的性质事物的性质, ,得出一个明确的命题得出一个明确的命题( (猜想猜想) )共性共性归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, ,经过观察、分析、比较、联想经过观察、分析、比较、联想, ,再再进行进行 、 , ,然后提出猜想的推理然后提出猜想的推理, ,它们得到的结论不一定成立需要它们得到的结论不一定成立需要进一步证明进一步证明归纳归纳类比类比2.2.演绎推理演绎推理从从 出发出发, ,推出某个特殊情况下的结论推出某个特殊情况下的结论, ,我们把这种推理称我们把这种推理称为演绎推理为演绎推理, ,简言之简言之, ,演绎推理是由演绎推理是由 到到 的推理的推理. .“三段论三段论”是演绎推理的一般模式是演绎推理的一般模式, ,包括包括(1)(1)大前提大前提 ; ;(2)(2)小前提小前提 ; ;(3)(3)结论结论 . .【重要结论重要结论】在演绎推理中在演绎推理中, ,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的, ,所得的所得的结论就是错误的结论就是错误的. .一般性的原理一般性的原理一般一般特殊特殊已知的一般原理已知的一般原理所研究的特殊情况所研究的特殊情况根据一般原理根据一般原理, ,对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断对点自测对点自测1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( ( ) )(A)(A)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理(B)(B)在类比时在类比时, ,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适(C)(C)“所有所有9 9的倍数都是的倍数都是3 3的倍数的倍数, ,某数某数m m是是9 9的倍数的倍数, ,则则m m一定是一定是3 3的倍数的倍数”, ,这是三这是三段论推理段论推理(D)(D)在演绎推理中在演绎推理中, ,只要符合演绎推理的形式只要符合演绎推理的形式, ,结论就一定正确结论就一定正确C C 解解析析: :归归纳纳推推理理是是由由特特殊殊到到一一般般的的推推理理, ,类类比比推推理理是是由由特特殊殊到到特特殊殊的的推推理理, ,故故A A错错误误; ;平平面面中中的的三三角角形形与与空空间间中中的的三三棱棱锥锥作作为为类类比比对对象象较较为为合合适适, ,故故B B错错误误; ;在在演演绎绎推推理理中中, ,不不仅仅要要符符合合演演绎绎推推理理的的形形式式, ,还还要要大大前前提提正正确确, ,推推理理过过程程正确正确, ,结论才正确结论才正确, ,故故D D错误错误; ;只有只有C C正确正确. .故选故选C.C.2.2.正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x,f(x)=sin(x2 2+3)+3)是正弦函数是正弦函数, ,因此因此f(x)=sin(xf(x)=sin(x2 2+3)+3)是奇是奇函数函数, ,以上推理以上推理( ( ) )(A)(A)结论正确结论正确 (B)(B)大前提不正确大前提不正确(C)(C)小前提不正确小前提不正确 (D)(D)全不正确全不正确C C 解析解析: :f(x)=sin(xf(x)=sin(x2 2+3)+3)不是正弦函数不是正弦函数, ,所以小前提不正确所以小前提不正确. .故选故选C.C.3.3.某种树的分枝生长规律如图所示某种树的分枝生长规律如图所示, ,则预计到第则预计到第6 6年树的分枝数为年树的分枝数为( ( ) )(A)5(A)5 (B)6(B)6(C)7(C)7 (D)8(D)8D D 解析解析: :由题意得由题意得, ,这种树从第一年开始的分枝数分别是这种树从第一年开始的分枝数分别是1,1,2,3,5,1,1,2,3,5, ,则则2= 2= 1+1,3=1+2,5=2+3,1+1,3=1+2,5=2+3,即从第三项起每一项都等于其前两项的和即从第三项起每一项都等于其前两项的和, ,所以第所以第6 6年树年树的分枝数是的分枝数是3+5=8.3+5=8.故选故选D.D.4.4.在平面上在平面上, ,若两个正三角形的边长的比为若两个正三角形的边长的比为12,12,则它们的面积比为则它们的面积比为14,14,类似类似地地, ,在空间中在空间中, ,若两个正四面体的棱长的比为若两个正四面体的棱长的比为12,12,则它们的体积比为则它们的体积比为. .答案答案: :18185.5.( (教材改编题教材改编题) )在等差数列在等差数列aan n 中中, ,若若a a1010=0,=0,则有则有a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+a19-n 19-n (n19,n(n19,nN N* *) )成立成立, ,类比上述性质类比上述性质, ,在等比数列在等比数列bbn n 中中, ,若若b b9 9=1,=1,则则b b1 1b b2 2b b3 3b bn n = = . .答案答案: :b b1 1b b2 2b b3 3b b17-n17-n(n17,n(n17,nN N* *) )考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一归纳推理考点一归纳推理(2)(2)用火柴棒摆用火柴棒摆“金鱼金鱼”, ,如图所示如图所示, ,按照下面的规律按照下面的规律, ,第第n n个个“金鱼金鱼”图需要图需要火柴棒的根数为火柴棒的根数为 . .解析解析: :(2)(2)由题意知由题意知: :图图的火柴棒比图的火柴棒比图的多的多6 6根根, ,图图的火柴棒比图的火柴棒比图的的多多6 6根根, ,而图而图的火柴棒的根数为的火柴棒的根数为2+6,2+6,所以第所以第n n条小鱼需要条小鱼需要(2+6n)(2+6n)根根. .答案答案: :(2)2+6n(2)2+6n归纳推理问题的常见类型及解题策略归纳推理问题的常见类型及解题策略反思归纳反思归纳常见类型常见类型解题策略解题策略与数字有关的与数字有关的等式的推理等式的推理观察数字特点观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解找出等式左右两侧的规律及符号可解与式子有与式子有关的推理关的推理观察每个式子的特点观察每个式子的特点,找到规律后可解找到规律后可解与图形变化有与图形变化有关的推理关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其并用赋值检验法验证其真伪性真伪性【跟踪训练跟踪训练1 1】 (1) (1)如图所示的数阵中如图所示的数阵中, ,用用A(m,n)A(m,n)表示第表示第m m行的第行的第n n个数个数, ,则依则依此规律得此规律得A(8,2)A(8,2)为为( () )答案答案: :(1)C(1)C(2)(2)对于实数对于实数x,xx,x表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数, ,观察下列等式观察下列等式: :按照此规律第按照此规律第n n个等式的等号右边的结果为个等式的等号右边的结果为. .答案答案: :(2)2n(2)2n2 2+n+n解析解析: :(1)(1)类比结论正确的有类比结论正确的有. .故选故选B.B.答案答案: :(1)B(1)B类比推理的分类及处理方法类比推理的分类及处理方法反思归纳反思归纳类别类别解读解读适合题型适合题型类比类比定义定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时推理型试题时,可以借助原定义来求解可以借助原定义来求解.已知熟悉定义类比新定义已知熟悉定义类比新定义类比类比性质性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手形的性质入手,提出类比推理型问题提出类比推理型问题,求求解时要认真分析两者之间的联系与区解时要认真分析两者之间的联系与区别别,深入思考两者的转化过程是求解的深入思考两者的转化过程是求解的关键关键.平面几何与立体几何、等差平面几何与立体几何、等差数列与等比数列数列与等比数列【跟踪训练跟踪训练2 2】 若若aan n 是等差数列是等差数列,m,n,p,m,n,p是互不相等的正整数是互不相等的正整数, ,则有则有(m-n)a(m-n)ap p+ + (n-p)a(n-p)am m+(p-m)a+(p-m)an n=0,=0,类比上述性质类比上述性质, ,相应地相应地, ,对等比数列对等比数列bbn n,m,n,p,m,n,p是互不相等是互不相等的正整数的正整数, ,有有. .解解: :(1)(1)推理形式错误推理形式错误, ,自然数是整数为大前提自然数是整数为大前提, ,小前提应是判断某数为自然小前提应是判断某数为自然数数, ,而不是某数为整数而不是某数为整数. .(2)(2)大前提错误大前提错误, ,因为当因为当0a10a1时时, ,指数函数指数函数y=ay=ax x是减函数是减函数. .(2)S(2)Sn+1n+1=4a=4an n. .反思归纳反思归纳演绎推理是从一般到特殊的推理演绎推理是从一般到特殊的推理; ;其一般形式是三段论其一般形式是三段论, ,应用三段论解决问应用三段论解决问题时题时, ,应当首先明确什么是大前提和小前提应当首先明确什么是大前提和小前提, ,如果前提是显然的如果前提是显然的, ,则可以省则可以省略略. .【跟跟踪踪训训练练3 3】 (1)(1)有有一一段段“三三段段论论”, ,推推理理是是这这样样的的: :对对于于可可导导函函数数f(x),f(x),如如果果f(xf(x0 0)=0,)=0,那那么么x=xx=x0 0是是函函数数 f(x) f(x) 的的极极值值点点. .因因为为f(x)=xf(x)=x3 3在在x=0x=0处处的的导导数数值值f(0)=0,f(0)=0,所以所以x=0x=0是函数是函数f(x)=xf(x)=x3 3的极值点的极值点. .以上推理中以上推理中( () )(A)(A)大前提错误大前提错误 (B)(B)小前提错误小前提错误(C)(C)推理形式错误推理形式错误 (D)(D)结论正确结论正确解析解析: :(1)(1)对于可导函数对于可导函数f(x),f(x),如果如果f(xf(x0 0)=0,)=0,那么那么x=xx=x0 0 不一定是函数不一定是函数f(x)f(x)的极值点的极值点, ,大前提错误大前提错误, ,故选故选A.A.(2)(2)(2018(2018吉吉林林百百校校联联盟盟九九月月联联考考) )甲甲、乙乙、丙丙三三人人参参加加某某公公司司的的面面试试, ,最最终终只只有有一一人人能能够够被被该该公公司司录录用用, ,得得到到面面试试结结果果以以后后, ,甲甲说说: :丙丙被被录录用用了了; ;乙乙说说: :甲甲被被录录用用了了; ;丙丙说说: :我我没没被被录录用用. .若若这这三三人人中中仅仅有有一一人人说说法法错错误误, ,则则下下列列结结论论正正确确的的是是( () )(A)(A)丙被录用了丙被录用了 (B)(B)乙被录用了乙被录用了(C)(C)甲被录用了甲被录用了 (D)(D)无法确定谁被录用了无法确定谁被录用了解析解析: :(2)(2)因为甲与丙的说法矛盾因为甲与丙的说法矛盾, ,因此甲丙两个人中一定有一个为假话因此甲丙两个人中一定有一个为假话, ,所以乙一定是真话所以乙一定是真话, ,即甲被录用了即甲被录用了. .故选故选C.C.备选例题备选例题【例例1 1】 袋中装有偶数个球袋中装有偶数个球, ,其中红球、黑球各占一半其中红球、黑球各占一半. .甲、乙、丙是三个空甲、乙、丙是三个空盒盒. .每次从袋中任意取出两个球每次从袋中任意取出两个球, ,将其中一个球放入甲盒将其中一个球放入甲盒, ,如果这个球是红球如果这个球是红球, ,就将另一个球放入乙盒就将另一个球放入乙盒, ,否则就放入丙盒否则就放入丙盒. .重复上述过程重复上述过程, ,直到袋中所有球都被直到袋中所有球都被放入盒中放入盒中, ,则则( () )(A)(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球乙盒中黑球不多于丙盒中黑球(B)(B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多乙盒中红球与丙盒中黑球一样多(C)(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球乙盒中红球不多于丙盒中红球(D)(D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解解析析: :若若袋袋中中有有两两个个球球, ,则则红红球球、黑黑球球各各一一个个, ,若若红红球球放放在在甲甲盒盒, ,则则黑黑球球放放在在乙乙盒盒, ,丙丙盒盒中中没没有有球球, ,此此时时乙乙盒盒中中黑黑球球多多于于丙丙盒盒中中黑黑球球, ,乙乙盒盒中中黑黑球球比比丙丙盒盒中中红红球球多多, ,故故可可排排除除A,D;A,D;若若袋袋中中有有四四个个球球, ,则则红红球球、黑黑球球各各两两个个, ,若若取取出出两两个个红红球球, ,则则红红球球一一个个放放在在甲甲盒盒, ,余余下下一一个个放放在在乙乙盒盒, ,再再取取出出余余下下的的两两个个黑黑球球, ,一一个个放放在在甲甲盒盒, ,则则余余下下一一个个放放在在丙丙盒盒, ,所所以以甲甲盒盒中中一一红红一一黑黑, ,乙乙盒盒中中一一个红球个红球, ,丙盒中一个黑球丙盒中一个黑球, ,此时乙盒中红球比丙盒中红球多此时乙盒中红球比丙盒中红球多, ,排除排除C;C;故选故选B.B.【例例2 2】 (2018(2018沈阳一模沈阳一模) )在推导等差数列前在推导等差数列前n n项和的过程中项和的过程中, ,我们使用了倒我们使用了倒序相加的方法序相加的方法, ,类比可求得类比可求得sinsin2 21 1+ sin+ sin2 22 2+ +sin+sin2 28989= = . .解析解析: :设设S=sinS=sin2 21 1+sin+sin2 22 2+ +sin+sin2 28989, ,则则S=sinS=sin2 28989+sin+sin2 28888+ +sin+sin2 21 1, ,两式相加两式相加, ,得得2S=(sin2S=(sin2 21 1+sin+sin2 28989)+(sin)+(sin2 22 2+sin+sin2 28888)+)+(sin+(sin2 28989+sin+sin2 21 1)=(sin)=(sin2 21 1+cos+cos2 21 1)+(sin)+(sin2 22 2+cos+cos2 22 2)+)+(sin+(sin2 28989+cos+cos2 28989)=89,)=89,故故S=44.5.S=44.5.答案答案: :44.544.5点击进入点击进入应用能力提升应用能力提升