第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一一 问题的提出问题的提出二二 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念三三 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算四四 几何与物理意义几何与物理意义五五 小结小结 思考题思考题 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分7/29/20241匀质之质量匀质之质量一一 问题的提出问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量7/29/20242定义定义二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念7/29/20243(充分条件充分条件)若若 L 为空间曲线为空间曲线7/29/202447/29/202457/29/20246性质性质 6.无方向性无方向性1.线性性质线性性质2.区域可加性区域可加性3.不等式性不等式性4. 估值性质估值性质 5. 中值定理中值定理与与重重积积分分完完全全相相似似7/29/20247三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算7/29/20248注意注意: :曲线曲线由于由于f (x, y)定义在定义在L上，上， 故故 f (x, y)中中变量变量x, y满足曲线满足曲线L的方程的方程.（区别于前面讲过的二重积分）（区别于前面讲过的二重积分）1. 一换一换2. 二二变变3. 三定限三定限化为关于化为关于 t t 的定积分！的定积分！7/29/20249解解解法解法 2:7/29/202410例例3解解7/29/202411注注: 点点 (x,y) 在曲线上，所以满足曲线方程在曲线上，所以满足曲线方程.7/29/2024127/29/2024137/29/202414例例5解解另解另解7/29/202415例例6解解注注7/29/202416例例7解解当曲线是平行当曲线是平行 x,yx,y 轴轴的直线时就是定积分的直线时就是定积分7/29/202417Ex8解解7/29/2024187/29/2024197/29/202420【解解】化为参数方程化为参数方程 则则7/29/202421例例10 10 计算计算其中其中 为球面为球面【解解】化为参数方程化为参数方程 则则7/29/202422【解解】7/29/202423四、几何与四、几何与物理意义物理意义7/29/202424【解解】则则7/29/202425五、小结五、小结第第型或对弧长的曲线积分型或对弧长的曲线积分一、几何意义和物理背景一、几何意义和物理背景二、性质二、性质三、计算三、计算四、应用四、应用1.线性线性 2.可加可加 3.不等式不等式 4. 估值估值 5. 中值中值1.质量质量 2.转动惯量转动惯量 3.重心重心 4. 引力引力7/29/202426三、计算三、计算7/29/202427练习题练习题练习题答案练习题答案7/29/202428第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结 思考题思考题7/29/2024297/29/202430常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功 使质点沿平面直线使质点沿平面直线L L，从点从点A A 移到点移到点B B, ,则力则力 所作的功为所作的功为 一、问题的提出一、问题的提出常力与位移不在同一直线上所作的功常力与位移不在同一直线上所作的功7/29/202431实例实例质点在变力作用下沿平面曲线质点在变力作用下沿平面曲线 L 从从 A 运动到运动到 B 所作的功所作的功 1. 分割分割2. 近似近似3. 求和求和4. 取极限取极限7/29/202432二、对二、对 坐标的曲线积分的概念坐标的曲线积分的概念或第或第型的曲线积分型的曲线积分7/29/202433同理定义同理定义 y 坐标的曲线积分坐标的曲线积分7/29/202434同理定义同理定义 空间空间曲线曲线L上对坐标的曲线积分上对坐标的曲线积分7/29/202435注意注意 三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算7/29/202436其它情形其它情形7/29/202437例例1解法解法1故故 7/29/202438解法解法27/29/2024393.有方向性有方向性1.线性性质线性性质2.区间可加性区间可加性不等式性不存在！向量函数无法比较大小。不等式性不存在！向量函数无法比较大小。四、对坐标的曲线积分性质四、对坐标的曲线积分性质 7/29/202440例例2解解注意注意：起终点相同：起终点相同, 积分路径不同，积分积分路径不同，积分结果不同结果不同.7/29/202441例例3解解:积分与路径无关积分与路径无关只与起点终点有关只与起点终点有关7/29/2024427/29/202443【例例5】求求其中其中从从 z 轴正向往负向看为顺时针方向轴正向往负向看为顺时针方向.【解解】 取取 的参数方程的参数方程7/29/202444解：解：注注7/29/202445其上任一点的切向量为其上任一点的切向量为则则 注意注意 五、两类曲线积分之间的联系五、两类曲线积分之间的联系7/29/202446推广推广 则则 注意注意 7/29/202447注意注意 五、两类曲线积分之间的联系五、两类曲线积分之间的联系7/29/202448例例7解解7/29/202449(有向弧元素有向弧元素)对坐标曲线积分还可表示为向量形式对坐标曲线积分还可表示为向量形式7/29/202450两类两类曲线积分的计算法的比较曲线积分的计算法的比较 两类曲线积分的转化两类曲线积分的转化7/29/202451两类空间曲线上积分的计算法两类空间曲线上积分的计算法 7/29/202452第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用三、曲线积分与路径无关的条件三、曲线积分与路径无关的条件四、小结四、小结7/29/202453回顾：回顾：一元微积分学中最基本的公式一元微积分学中最基本的公式问题：能否推广到二重积分？问题：能否推广到二重积分？DL格林公式：格林公式： N-L公式公式反映了定积分与区间端点函数值之间的关系！反映了定积分与区间端点函数值之间的关系！区域区域D上二重积分与区域边界上二重积分与区域边界L上曲线积分之间的关系上曲线积分之间的关系7/29/202454回顾：回顾：一元微积分学中最基本的公式一元微积分学中最基本的公式问题：能否推广到二重积分？问题：能否推广到二重积分？DL格林公式：格林公式： N-L公式公式反映了定积分与区间端点函数值之间的关系！反映了定积分与区间端点函数值之间的关系！区域区域D上二重积分与区域边界上二重积分与区域边界L上曲线积分之间的关系上曲线积分之间的关系7/29/202455DL7/29/202456(2)+(1)：-格林公式格林公式同理：同理：7/29/202457定理定理1 1闭曲线闭曲线7/29/202458边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D 总在他的左边总在他的左边.连通区域连通区域连通区域连通区域单单复复平面区域与边界平面区域与边界外逆时针方向外逆时针方向内顺时针方向内顺时针方向7/29/2024597/29/2024607/29/202461定理定理1 1注意三点：注意三点： (1)(1)封闭的边界曲线封闭的边界曲线 (2)(2)正方向正方向 (3)(3)有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数7/29/202462定理定理1 (1 (Green 公式公式) )7/29/202463二、二、格林公式应用格林公式应用请注意：请注意：P ,Q偏导连续显然！偏导连续显然！的逆时针方向。的逆时针方向。7/29/2024647/29/202465其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).【解解】 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线添加辅助线段段它与它与L 所围所围圆周圆周区域为区域为D , 则则【例例3】计算计算原式原式7/29/202466注意：利用格林公式可以计算平面面积注意：利用格林公式可以计算平面面积7/29/202467解解7/29/202468能否用格林公式？能否用格林公式？ 由由Green公式公式7/29/202469由由Green公式公式7/29/2024707/29/202471故故7/29/202472三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定义：定义：GyxoBA例例物理背景：非保守力做功，如：麽擦力。物理背景：非保守力做功，如：麽擦力。保守力做功，如：重力，弹力保守力做功，如：重力，弹力物理背景：物理背景：7/29/202473【定理定理2 2】 设设D D 是是单单连通域连通域 , ,在在D D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, ,(1) 沿沿D 中中任意光滑闭曲线任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价: :在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 7/29/202474说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 设设为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 则则(根据条件根据条件(1)【证明证明】 (1) (2)7/29/202475在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关, 设函数设函数 【证明证明】 (2) (3)7/29/202476曲线积分曲线积分与路径无关与路径无关,7/29/202477例例积分与路径无关积分与路径无关,只与起点终点有关只与起点终点有关7/29/202478设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得则则P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有【证明证明】 (3) (4)7/29/202479设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图) ,利用利用格林公式格林公式 , 得得所围区域为所围区域为【证明证明】 (4) (1)7/29/202480根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求 P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数 u :及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;【说明说明】7/29/202481【例例6】【解解】7/29/202482是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 【解解】则则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。利用曲线积分与路径无关利用曲线积分与路径无关设设【注注】所取所取起点不同，所起点不同，所求函数的最后结果求函数的最后结果中的常数可能不同中的常数可能不同. .【例例7】验证验证7/29/202483【解解 】 不定积分法不定积分法(求原函数的方法求原函数的方法)由于由于故故由由(1)式得式得求导得求导得结合结合(2)式得式得【解解 】凑全微分法凑全微分法7/29/202484在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 【证证】 令令则则由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数【例例8】验证验证7/29/202485或或7/29/202486作用下沿曲线作用下沿曲线L : :由由移动到移动到求力场所作的功求力场所作的功W解解: :【例例9】设质点在力场设质点在力场积分十分困难！积分十分困难！7/29/202487令令则有则有可见可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.【例例9】质点沿曲线质点沿曲线L L : :取圆弧取圆弧7/29/202488【思考思考】积分路径是否可以取积分路径是否可以取取圆弧取圆弧为什么？为什么？如何取如何取？7/29/202489【解解】【例例10】如图如图与路径无关与路径无关7/29/2024901. 设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:【思考思考】简化被积函数简化被积函数与路径无关是有条件的！与路径无关是有条件的！7/29/202491解解:积分与路径无关，取为：积分与路径无关，取为：7/29/202492解解:易证易证 与路径无关，与路径无关，7/29/202493四、小结四、小结1. 1. 格林公式格林公式2. 2. 等价条件等价条件(与路径无关与路径无关)设设 P P, , Q Q 在在 单连通域单连通域D D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则有则有7/29/202494