第八篇平面解析几何第八篇平面解析几何( (必修必修2 2、选修、选修2 21)1)六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布高考考点、示例分布图命命题特点特点1.1.高考在本篇一般命制高考在本篇一般命制1 12 2道小道小题,1,1道解答道解答题, ,分分值占占20202424分分. .2.2.对直直线方程、方程、圆及及圆锥曲曲线的概念和性的概念和性质的考的考查一般以一般以选择题或填空或填空题为主主, ,重在考重在考查学生的双基学生的双基掌握情况掌握情况. .3.3.对直直线与与圆锥曲曲线的位置关系的考的位置关系的考查, ,常以常以压轴题的形式出的形式出现, ,其命其命题形式常与向量形式常与向量结合合, ,重在考重在考查圆锥曲曲线的几何性的几何性质, ,另外定另外定值问题、最、最值问题及及探索性探索性问题依然是考依然是考查的的热点点问题. .4.4.本章内容集中体本章内容集中体现了两大数学思想了两大数学思想: :函数与方程函数与方程及数形及数形结合的思想合的思想, ,且常与向量、三角函数、不等且常与向量、三角函数、不等式、式、导数等知数等知识交交汇命命题, ,体体现了了综合与合与创新新. .第第1 1节直线与方程节直线与方程考纲展示考纲展示1.1.理解直线的倾斜角和斜率的概理解直线的倾斜角和斜率的概念念, ,掌握过两点的直线斜率的计算掌握过两点的直线斜率的计算公式公式. .2.2.能根据两条直线的斜率判断这能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直两条直线平行或垂直. .3.3.掌握确定直线的几何要素掌握确定直线的几何要素. . 4.4.掌握直线方程的三种形式掌握直线方程的三种形式( (点斜点斜式、两点式及一般式式、两点式及一般式),),了解斜截了解斜截式与一次函数的关系式与一次函数的关系. .5.5.能用解方程组的方法求两相交能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标直线的交点坐标. .6.6.掌握两点间的距离公式、点到掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式直线的距离公式, ,会求两平行直线会求两平行直线间的距离间的距离. . 知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.任意一条直线都有倾斜角和斜率吗任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? ?提示提示: :每一条直线都有唯一的倾斜角每一条直线都有唯一的倾斜角, ,但并不是每一条直线都存在斜率但并不是每一条直线都存在斜率. .倾斜倾斜角为角为9090的直线的直线, ,其斜率不存在其斜率不存在. .2.2.直线的倾斜角直线的倾斜角越大越大, ,斜率斜率k k就越大就越大, ,这种说法正确吗这种说法正确吗? ?3.3.截距是距离吗截距是距离吗? ?提示提示: :直线在直线在x(y)x(y)轴上的截距是直线与轴上的截距是直线与x(y)x(y)轴交点的横轴交点的横( (纵纵) )坐标坐标, ,所以截距是所以截距是一个实数一个实数, ,可正、可负可正、可负, ,也可为也可为0,0,而不是距离而不是距离. .4.4.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么? ?提示提示: :(1)(1)将方程化为一般形式将方程化为一般形式;(2);(2)利用两平行线之间的距离公式时利用两平行线之间的距离公式时, ,应使两应使两平行线方程中平行线方程中x,yx,y的系数分别对应相等的系数分别对应相等. .知识梳理知识梳理 1.1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率(1)(1)直线的倾斜角直线的倾斜角定义定义. .当直线当直线l l与与x x轴相交时轴相交时, ,我们取我们取x x轴作为基准轴作为基准,x,x轴轴 与直线与直线l l 方方向之间所成的角向之间所成的角叫做直线叫做直线l l的倾斜角的倾斜角. .当直线当直线l l与与x x轴平行或重合时轴平行或重合时, ,规定它规定它的倾斜角为的倾斜角为0.0.范围范围: :倾斜角倾斜角的范围为的范围为 . .(2)(2)直线的斜率直线的斜率定义定义. .一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角的的 叫做这条直线的斜率叫做这条直线的斜率, ,斜率常用小斜率常用小写字母写字母k k表示表示, ,即即k=k= , ,倾斜角是倾斜角是9090的直线没有斜率的直线没有斜率. .过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式. .经过两点经过两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2) )的直线的的直线的斜率公式为斜率公式为k=k= . .正向正向向上向上0,180)0,180)正切值正切值tan tan y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )2.2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式y=kx+by=kx+bAx+By+C=0Ax+By+C=0(A(A、B B不同时为不同时为0)0)3.3.两条直线位置关系的判定两条直线位置关系的判定k k1 1k k2 2=-1=-1 相交相交(2)(2)若方程组无解若方程组无解, ,则则l l1 1与与l l2 2 , ,此时此时l l1 1ll2 2; ;(3)(3)若方程组有无数组解若方程组有无数组解, ,则则l l1 1与与l l2 2重合重合. .无公共点无公共点【重要结论重要结论】 1.1.常见的直线系方程常见的直线系方程(1)(1)过定点过定点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的直线系方程的直线系方程:A(x-x:A(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0)=0(A)=0(A2 2+B+B2 20),0),还可以表示为还可以表示为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)()(斜率不存在时方程为斜率不存在时方程为x=xx=x0 0).).(2)(2)平行于直线平行于直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的直线系方程的直线系方程:Ax+By+=0(C).:Ax+By+=0(C).(3)(3)垂直于直线垂直于直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的直线系方程的直线系方程:Bx-Ay+=0.:Bx-Ay+=0.(4)(4)过两条已知直线过两条已知直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,A=0,A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的直线系方程交点的直线系方程:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+ +(A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0()=0(不包括直线不包括直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0).=0).2.2.对称问题对称问题(1)(1)中心对称中心对称点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )关于关于A(a,b)A(a,b)的对称点为的对称点为P(2a-xP(2a-x0 0,2b-y,2b-y0 0),),直线关于点的对称问题直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题. .双基自测双基自测 1.1.若若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线三点共线, ,则则x x的值为的值为( ( ) )(A)1(A)1 (B)-1(B)-1(C)0(C)0 (D)7(D)7B B2.(2.(20172017江西临川一中江西临川一中4 4月模拟月模拟) )点点( ,4)( ,4)在直线在直线l:ax-y+1=0l:ax-y+1=0上上, ,则直线则直线l l的倾的倾斜角为斜角为( ( ) )(A)30(A)30(B)45(B)45(C)60(C)60(D)120(D)120C C3.3.若直线若直线l l1 1:x+2y+1=0:x+2y+1=0与与l l2 2:2x+ay-2=0:2x+ay-2=0平行平行, ,则则l l1 1与与l l2 2的距离的距离d d为为( ( ) )B B4.4.已知点已知点P(1,1),P(1,1),直线直线l:x-y+1=0.l:x-y+1=0.(1)(1)过点过点P P与与l l平行的直线方程为平行的直线方程为; ;(2)(2)过点过点P P与与l l垂直的直线方程为垂直的直线方程为.解析解析: :(1)(1)设所求直线方程为设所求直线方程为x-y+m=0,x-y+m=0,将将P P点代入点代入得得1-1+m=0,1-1+m=0,解得解得m=0.m=0.方程为方程为x-y=0.x-y=0.(2)(2)设所求直线方程为设所求直线方程为x+y+n=0,x+y+n=0,将将P P点代入点代入得得1+1+n=0,1+1+n=0,解得解得n=-2.n=-2.故所求直线方程为故所求直线方程为x+y-2=0.x+y-2=0.答案答案: :(1)x-y=0(1)x-y=0(2)x+y-2=0(2)x+y-2=0 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率反思归纳反思归纳 (1)(1)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤求出斜率求出斜率k k的取值范围的取值范围( (若斜率不存在若斜率不存在, ,倾斜角为倾斜角为90).90).利用正切函数的单调性利用正切函数的单调性, ,借助图象或正切线确定倾斜角的取值范围借助图象或正切线确定倾斜角的取值范围. .答案答案: :(1)A(1)A(2)(2)(20172017湖南衡阳高三上学期期末湖南衡阳高三上学期期末) )直线直线l l过点过点A(1,1),A(1,1),且且l l在在y y轴上的截距的轴上的截距的取值范围为取值范围为(0,2),(0,2),则直线则直线l l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为 . .解析解析: :(2)(2)设直线设直线l l的方程为的方程为y-1=k(x-1),y-1=k(x-1),化为化为y=kx-k+1,y=kx-k+1,由题意可得由题意可得01-k2,01-k2,解得解得-1k1,-1k1,直线直线l l的斜率的取值范围为的斜率的取值范围为(-1,1).(-1,1).答案答案: :(1)A(1)A(2)(-1,1)(2)(-1,1)考点二考点二 求直线方程求直线方程【例例2 2】 求满足下列条件的直线方程求满足下列条件的直线方程. .(1)(1)过点过点P(-1,3)P(-1,3)且平行于直线且平行于直线x-2y+3=0;(2)x-2y+3=0;(2)过点过点A(1,2),B(3,1);A(1,2),B(3,1);解解: :(1)(1)设直线方程为设直线方程为x-2y+c=0,x-2y+c=0,把把P(-1,3)P(-1,3)代入直线方程得代入直线方程得c=7,c=7,所以所求的直线方程为所以所求的直线方程为x-2y+7=0.x-2y+7=0.(3)(3)已知已知A(1,2),B(3,1),A(1,2),B(3,1),线段线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .反思归纳反思归纳 (1)(1)求直线方程的常用方法有求直线方程的常用方法有: :直接法直接法: :直接求出直线方程中的系数直接求出直线方程中的系数, ,写出直线方程写出直线方程; ;待定系数法待定系数法: :先根据已知条件设出直线方程先根据已知条件设出直线方程, ,再构造关于系数的方程再构造关于系数的方程( (组组) )求求系数系数, ,最后代入求出直线方程最后代入求出直线方程. .(2)(2)求直线方程时求直线方程时, ,应注意分类讨论思想的应用应注意分类讨论思想的应用: :如直线的斜率是否存在如直线的斜率是否存在, ,直线直线在两坐标轴的截距是否为在两坐标轴的截距是否为0 0等等. .(3)(3)如果没有特别要求如果没有特别要求, ,则求出的直线方程应化为一般式则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,Ax+By+C=0,且且A0.A0.跟踪训练跟踪训练2 2: : 直线直线l l1 1:x+y-4=0:x+y-4=0与与l l2 2:x-y+2=0:x-y+2=0的交点为的交点为P,P,直线直线l:2x-y-1=0.l:2x-y-1=0.(1)(1)过过P P与与l l平行的直线方程为平行的直线方程为; ;答案答案: :(1)2x-y+1=0(1)2x-y+1=0(2)(2)过过P P与与l l垂直的直线方程为垂直的直线方程为.解析解析: :(2)(2)设与直线设与直线2x-y-1=02x-y-1=0垂直的直线方程为垂直的直线方程为x+2y+c=0,x+2y+c=0,则则1+23+c=0,1+23+c=0,所以所以c=-7,c=-7,所以所求直线方程为所以所求直线方程为x+2y-7=0.x+2y-7=0.答案答案: :(2)x+2y-7=0(2)x+2y-7=0解析解析: :(1)(1)当当m=-2 m=-2 时时, ,可得可得l l1 1:-6x-8=0,l:-6x-8=0,l2 2:-3x+1=0,l:-3x+1=0,l1 1ll2 2; ;l l1 1ll2 2时时, ,可得可得(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0,(m-4)(m+2)+(2m+4)(m-1)=0,解得解得m=2 m=2 或或m=-2,m=-2,所以所以m=-2 m=-2 是是l l1 1ll2 2 的充分不必要条件的充分不必要条件, ,故选故选B.B.考点三考点三 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直【例例3 3】 (1)( (1)(20172017江西师大附中三模江西师大附中三模) )已知直线已知直线l l1 1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与与l l2 2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则则“m=-2m=-2”是是“l l1 1ll2 2”的的( () )(A)(A)充要条件充要条件 (B)(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)(C)必要不充分条件必要不充分条件(D)(D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件考点四考点四 距离问题距离问题考查角度考查角度1:1:两点间距离公式及应用两点间距离公式及应用【例例4 4】 (1) (1)已知已知M(-2,-1),N(a,3),M(-2,-1),N(a,3),且且|MN|=5,|MN|=5,则实数则实数a=a=; ;答案答案: :(1)1(1)1或或-5-5 (2)ABC(2)ABC中中,A(-3,-1),B(2,1),C(-2,3),A(-3,-1),B(2,1),C(-2,3),则则BCBC边中线边中线ADAD的长等于的长等于.反思归纳反思归纳 (1)(1)两点间的距离公式两点间的距离公式(2)(2)求两点间的距离求两点间的距离, ,关键是确定两点的坐标关键是确定两点的坐标, ,然后代入公式即可然后代入公式即可, ,一般用来一般用来判断三角形的形状等判断三角形的形状等. .答案答案: :(1)D(1)D(2)(2)(20172017南京市、盐城市高三二模南京市、盐城市高三二模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,直线直线l l1 1:kx-:kx-y+2=0y+2=0与直线与直线l l2 2:x+ky-2=0:x+ky-2=0相交于点相交于点P,P,则当实数则当实数k k变化时变化时, ,点点P P到直线到直线x-y-4=0x-y-4=0的距的距离的最大值为离的最大值为. .反思归纳反思归纳 (1) (1)点到直线的距离公式点到直线的距离公式(2)(2)解决与点到直线的距离有关的问题解决与点到直线的距离有关的问题, ,应熟记点到直线的距离公式应熟记点到直线的距离公式, ,若已若已知点到直线的距离求直线方程知点到直线的距离求直线方程, ,一般考虑待定斜率法一般考虑待定斜率法, ,此时必须讨论斜率是此时必须讨论斜率是否存在否存在. .考查角度考查角度3:3:两平行线间的距离公式及其应用两平行线间的距离公式及其应用【例例6 6】 (1)( (1)(20172017贵州铜仁一中高三入学考试贵州铜仁一中高三入学考试) )已知直线已知直线3x+4y-3=0,6x+my+3x+4y-3=0,6x+my+14=014=0平行平行, ,则它们之间的距离是则它们之间的距离是. .答案答案: :2 2(2)(2)已知直线已知直线l l1 1:ax+3y+1=0,l:ax+3y+1=0,l2 2:x+(a-2)y+a=0.:x+(a-2)y+a=0.若若l l1 1ll2 2, ,求实数求实数a a的值的值; ;当当l l1 1ll2 2时时, ,求直线求直线l l1 1与与l l2 2之间的距离之间的距离. .反思归纳反思归纳 两平行直线间的距离求法两平行直线间的距离求法(1)(1)利用利用“化归化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离一条直线的距离; ;(2)(2)利用两平行线间的距离公式求解利用两平行线间的距离公式求解. .提醒提醒: :在应用两条平行线间的距离公式时在应用两条平行线间的距离公式时, ,应把直线方程化为一般形式应把直线方程化为一般形式, ,且使且使x,yx,y的系数分别相等的系数分别相等. .备选例题备选例题 【例例1 1】 已知直线已知直线l l的方程为的方程为(m+2n)x+(m-3n)y+4n=0.(m+2n)x+(m-3n)y+4n=0.求证求证: :对任意的实数对任意的实数m,n,m,n,直线直线l l恒过定点恒过定点, ,并求出定点坐标并求出定点坐标. .【例例2 2】 光线沿直线光线沿直线l l1 1:x-2y+5=0:x-2y+5=0射入射入, ,遇直线遇直线l:3x-2y+7=0l:3x-2y+7=0后反射后反射, ,求反射光求反射光线所在的直线方程线所在的直线方程. .【例例3 3】 (2017(2017山东枣庄高三上期末山东枣庄高三上期末) )设设mmR R, ,过定点过定点A A的动直线的动直线x+my=0x+my=0和过和过定点定点B B的动直线的动直线mx-y-m+3=0mx-y-m+3=0交于点交于点P(x,y),P(x,y),则则|PA|+|PB|PA|+|PB|的最大值是的最大值是. .【例例4 4】 在直线在直线l:3x-y-1=0l:3x-y-1=0上求一点上求一点P,P,使得使得(1)P(1)P到到A(4,1)A(4,1)和和B(0,4)B(0,4)的距离之差最大的距离之差最大; ;解解: :(1)(1)如图如图, ,设设B B关于关于l l的对称点为的对称点为B,ABB,AB的延长线交的延长线交l l于于P P0 0, ,在在l l上另任取上另任取一点一点P,P,则则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AB|=|P|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AB|=|P0 0A|-|PA|-|P0 0B|=|PB|=|P0 0A|-|PA|-|P0 0B|,B|,则则P P0 0即为所求即为所求. .易求得直线易求得直线BBBB的方程为的方程为x+3y-12=0,x+3y-12=0,设设B(a,b),B(a,b),则则a+3b-12=0,a+3b-12=0,(2)P(2)P到到A(4,1)A(4,1)和和C(3,4)C(3,4)的距离之和最小的距离之和最小. . 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼直线方程的应用中忽视分类讨论导致漏解直线方程的应用中忽视分类讨论导致漏解【典例典例】 求经过点求经过点P(2,3),P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线并且在两坐标轴上的截距相等的直线l l的方程的方程. .错解错解: :因为直线在两坐标轴上的截距相等因为直线在两坐标轴上的截距相等, ,所以直线的斜率所以直线的斜率k=-1.k=-1.又直线过点又直线过点P(2,3),P(2,3),所以直线的方程为所以直线的方程为y-3=(-1)(x-2),y-3=(-1)(x-2),即即x+y-5=0.x+y-5=0.易错分析易错分析: :易忽视截距为易忽视截距为0 0的情况而漏解的情况而漏解. .