专题10等腰三角形探究等腰(边)三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中，常常以它为载体，与其他知识结合编制成综合性较强的问题， 是中考中必考的一个热点问题，往往在综合题中出现，是函数、方程与几何的综合运用，形式广泛，在中考命题中常考常新一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合探究数形结合与分类讨论的问题；二是将它与反比例函数、二次函数等函数结合探究函数、方程思想的应用问题；三是将它与运动问题结合， 涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识，探究等腰三角形的存在性问题等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类等腰三角形中体现的分类思想1(2014呼和浩特)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为 【解析】第1题分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数； 63或272在等腰三角形ABC中，已知ABAC ，D为BC边上的一点，连结AD，若ACD和ABD都是等腰三角形，求C的度数【解析】第2题ACD和ABD都是等腰三角形，但没有指明相等的边，所以要分两种情况讨论：ADDC，ACAD；ABBD，CDAD，分别画出图形并求解分两种情况：ADBD，DCAD，如图1，则ADB和ADC是全等三角形，可求得ADC90，C45；ABBD，CDAD，如图2，则BCDAC，BADBDA2C，然后用C表示出ABC的内角和，可得5C180，C363(2013玉林)如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有_个，写出其中一个点P的坐标是 . _ _84(2014泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x22(m1)xm250的两个实数根(1)若(x11)(x21)28，求m的值；x1，x2是关于x的一元二次方程x22(m1)xm250的两个实数根，x1x22(m1)，x1x2m25，(x11)(x21)x1x2(x1x2)1m252(m1)128，解得m4或m6，当m4时原方程无解，m6 (2)已知等腰ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长当7为底边时，此时方程x22(m1)xm250有两个相等的实数根，4(m1)24(m25)0，解得m2，方程变为x26x90，解得x1x23，337，不能构成三角形；当7为腰时，设x17，代入方程得4914(m1)m250，解得m10或4，当m10时方程变为x222x1050，解得x7或15，7715，不能构成三角形；当m4时方程变为x210x210，解得x3或7，此时三角形的周长为77317由于等腰三角形边或角的不确定性，在没有明确哪两条边是腰、哪两个角是底角时，就需要分类，一般分类时可以按边分类变换探究等腰三角形 1如图，ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，ABACEF9，BACDEF90，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图.(1)始终与AGC相似的三角形有 及 ；(2)设CGx，BHy，求y关于x的函数关系式(只要求根据图的情形说明理由)；HABHGA(3)当x为何值时，AGH是等腰三角形2(2013株洲)在ABC中，ABC90，AB3，BC4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图)或线段AB的延长线(如图)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：APQACB；(2)当PQB为等腰三角形时，求AP的长(1)AAPQ90，AC90， APQC.在APQ与ABC中， APQC，AA，APQACB (2)在RtABC中，AB3，BC4， 由勾股定理得AC5.()当点P在线段AB上时，如题图所示BPQ为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PBPQ，由(1)可知，APQABC，PAACPQBC，即3PB5PB4，解得PB43，APABPB34353；()当点P在线段AB的延长线上时，如题图所示，BPBQ，BQPP，BQPAQB90，AP90，AQBA，BQAB，ABBP， 点B为线段AB中点，AP2AB236.综上所述，当PQB为等腰三角形时，AP的长为53或6 画出各种变化中的图形，以边或角进行分类探究其等腰三角形存在的可能函数探究等腰三角形 1(2014达州)如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(5，0)，B(4，4)(1)求过O，B，A三点的抛物线的解析式；抛物线的解析式可设为yax(x5)点B(4，4)在该抛物线上，a4(45)4，a1，该抛物线的解析式为yx(x5)，即yx25x (2)作直线xm交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当PQB为等腰三角形时，求m的值【解析】第(2)小题PQB为等腰三角形时，有三种情形，需要分类讨论：若点B为顶点，即BPBQ；若点P为顶点，即PQPB；若点Q为顶点，即PQQB.2(2014益阳)如图，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线ya(x2)2k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标3(2014乐山)如图，一次函数 ykxb 的图象 l 与坐标轴分别交于点 E，F，与双曲线 y4x(x0)交于点 P(1，n)，且 F 是 PE 的中点 (1)求直线l的解析式；(2)若直线xa与l交于点A，与双曲线交于点B(不同于A)，问a为何值时，PAPB?用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验操作探究等腰三角形 1(2014无锡)已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A6条B7条C8条D9条B【解析】利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可2(2011杭州)在等腰RtABC中，C90，AC1，过点C作直线lAB，F是l上的一点，且ABAF，求点F到直线BC的距离操作转化为图形，通过画图，画出存在等腰三角形的所有可能情况运动探究等腰三角形 1(2013凉山州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标【解析】当ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论由题意，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：如答图所示，PDOD5，点P在点D的左侧，过点P作PEx轴于点E，则PE4，在RtPDE中，由勾股定理得DEPD2PE252423， OEODDE532，此时点P坐标为(2，4)； 如答图所示，OPOD5，过点P作PEx轴于点E，则PE4，在RtPOE中，由勾股定理得OEOP2PE252423，此时点P坐标为(3，4)； 如答图所示，PDOD5，点P在点D的右侧，过点P作PEx轴于点E，则PE4，在RtPDE中，由勾股定理得DEPD2PE252423，OEODDE538，此时点P坐标为(8，4)综上可知，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4) 2(2014金华)如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BCx轴，OAOC4，以直线x1为对称轴的抛物线过A，B，C三点(1)求该抛物线的函数解析式；(2)已知直线l的解析式为yxm，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.当m0时，如图，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH直线l于点H，连结OP，试求OPH的面积；当m3时，如图，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(2)如图1，PH直线l， 有ONMN1，PM3， 由PMH为等腰直角三角形得HMPH322， 所以SOPH12OHPH12522322154 存在四种情况：如图2，当点P在边OC上时，此时点E与点O重合，点F与点G重合，PEF为等腰直角三角形，EPEF3，P1(0，3) 如图3，当点P在边BC上时，PEPF, 则点P为OGD的角平分线与BC的交点， 有GEGF， 过点F分别作FHPE于点H，FKx轴于点K, OGD135，EPF45，即PHF为等腰直角三角形，设GEGFt，则GKFKEH22t， PEPHEHt22t22t4， t2t4， 解得t4 24，则OE3t74 2，P2(74 2，4)当点P在边AB上，分两种情形：情形1：如图4，当点E与点G重合时，PEF为等腰直角三角形，设直线AB的解析式为ykxb，则有4kb0，2kb4，解得k2，b8，直线AB的解析式为y2x8，OE3，PE2382，P3(3，2) 情形2：如图5，PEPF，过点F作x轴的平行线，与过点G作x轴的垂线相交于点N，与EP的延长线相交于点M，则四边形MNGE是矩形，NGF与PMF都是等腰直角三角形，设PEPFt，则PMMF22t，NGNFME22tt，所以GENFFM2tt，OEOGGE32tt，P(32tt，t)代入y2x8，得t2(32tt)8，解得t64 2，OE32tt2 21，P4(2 21，64 2)综上可知，以点P，E，F三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(0，3)，(3，2)，(74 2，4)，(2 21，64 2) 3(2014资阳)如图，已知抛物线yax2bxc与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，其顶点为C，对称轴为x1.(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标1确定定点、动点、运动方向，即弄清楚三角形中，哪些点是动点，哪些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的2. 画出动态三角形形成等腰三角形的截图(“动”中取“静”)，即按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，体现分类讨论的思想3在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程探究正三角形存在性问题1 (2014雅安)如图， 已知反比例函数y2x的图象与正比例函数ykx的图象交于点A(m，2) (1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；(2)0x1或x1(2)试根据图象写出不等式kx的解集； (3)在反比例函数图象上是否存在点C，使OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由2(2012金华)如图，等边OAB和等边AFE的一边都在x轴上，双曲线ykx(k0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知等边OAB的边长为4. (1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边AEF的边长 根据等边三角形的性质表示出有关线段的长度、点的坐标等，常常转化为方程解决