6.2 等差数列高考数学高考数学考点一等差数列的有关概念及运算考点一等差数列的有关概念及运算1.如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).2.如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且A=.3.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d和an=am+(n-m)d.4.等差数列的公差公式为d=和d=.知识清单(1)Sn=;(2)Sn=na1+;(3)Sn=n2+n;(4)n为奇数,Sn=n(为中间项).5.等差数列的前n项和公式考点二等差数列的性质及应用考点二等差数列的性质及应用1.等差数列的性质(1)m,n,p,qN*,若m+n=p+q,则am,an,ap,aq的关系为am+an=ap+aq,特别地,a1+an=a2+an-1=.(2)an=an+b(a,b是常数)是an成等差数列的充要条件,(n,an)是直线上一群孤立的点.(3)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)是an成等差数列的充要条件.(4)等差数列的单调性d0an为递增数列,Sn有最小值.d0an为递减数列,Sn有最大值.d=0an为常数列.(5)若an和bn均是等差数列,则man+kbn仍为等差数列,m,k为常数.(6)等差数列中依次k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列,公差为k2d.(7)项数为偶数2n的非零等差数列an,有S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n-1)=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项),S偶-S奇=nd,=.(8)项数为奇数2n-1的非零等差数列an,有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),S奇-S偶=an,=.2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0.(2)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(3)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0.(4)若an与bn均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,则=. 等差数列中的等差数列中的“基本量法基本量法”的解题策略的解题策略在等差数列中,把已知条件转化为关于首项和公差的方程,解方程组求出首项和公差的方法称为基本量法.在等差数列an中,一般参与运算的量为a1,d,n,an,Sn,若已知其中三个,则可求出其余两个,即“知三求二”.例1(2017浙江镇海中学模拟卷三,14)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则该数列的公差是,的最小值是.方法技巧方法1解题导引用基本量法得数列的公差由通项公式与求和公式,把表示成关于n的函数由函数性质得最小值解析设数列an的公差为d,则有解得a1=d=2,故an=2n,Sn=n2+n.从而=,故当n=3时,有最小值.答案2;评析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,利用“基本量法”求相关量,考查对勾函数的性质和学生的运算求解能力. 等差数列性质的解题策略等差数列性质的解题策略在等差数列an中,经常用到的性质:1.若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,反之也成立.2.若等差数列an的前n项和为Sn,则an=.3.若等差数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等差数列.例2(2017浙江镇海中学模拟卷一,13)已知等差数列an的前n项和为Sn,2a8-3=a10,则S11的值是;若a1=8,则|Sn+10-Sn|的最小值是.方法2解题导引利用等差数列的性质得a6的值由等差数列性质S2n-1=(2n-1)an得S11的值利用基本量法求an的表达式求和得Sn+10-Sn的表达式结论解析设数列an的公差为d.由2a8-3=a10得a8-3=a10-a8=2d,所以a6=3,故S11=(a1+a11)=11a6=33.由题可知,所以d=-1,因此an=9-n,所以Sn+10-Sn=an+1+an+2+an+10=9-(n+1)+9-(n+10)=5(7-2n),所以当n=3或4时,|Sn+10-Sn|取到最小值,是5.答案33;5评析本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质,考查“整体法”以及推理运算能力.