7 7. .3 3. .1 1直线与圆及圆锥曲线直线与圆及圆锥曲线解题策略一解题策略二解题策略三求轨迹方程求轨迹方程解题策略一解题策略一直接法直接法例1已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径.(1)求点C轨迹E的方程;(2)当AC不在坐标轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线在P处的切线与直线BC交于点Q,求证:PQC恒为直角三角形.难点突破 (1)利用AC是直径,所以BABC,或C,B均在坐标原点,由此求点C轨迹E的方程;(2)设直线AC的方程为y=kx+2,由 得x2-8kx-16=0,利用根与系数的关系及导数的几何意义,证明QCPQ,即可证明结论.2解题策略一解题策略二解题策略三3解题策略一解题策略二解题策略三解题心得如果动点运动的条件涉及一些几何量的等量关系,那么设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.4解题策略一解题策略二解题策略三对点训练对点训练1已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.5解题策略一解题策略二解题策略三6解题策略一解题策略二解题策略三解题策略二解题策略二相关点法相关点法(1)求曲线C的方程;(2)若动直线l2:y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点,过F1(-1,0), F2(1,0)两点分别作F1Pl2,F2Ql2,垂足分别为P,Q,且记d1为点F1到直线l2的距离,d2为点F2到直线l2的距离,d3为点P到点Q的距离,试探索(d1+d2)d3是否存在最值?若存在,请求出最值.7解题策略一解题策略二解题策略三难点突破 (1)设圆C1:x2+y2=R2,根据圆C1与直线l1相切,求出圆的方程为x2+y2=12,由此利用相关点法能求出曲线C的方程.(2)将直线l2:y=kx+m代入曲线C的方程 中,得(4k2+3)x2 +8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程、椭圆性质、弦长公式,结合已知条件能求出(d1+d2)d3存在最大值,并能求出最大值.8解题策略一解题策略二解题策略三9解题策略一解题策略二解题策略三10解题策略一解题策略二解题策略三11解题策略一解题策略二解题策略三解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把Q的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.12解题策略一解题策略二解题策略三对点训练对点训练2已知圆M:x2+y2=r2(r0)与直线l1: 相切,设点A为圆上一动点,ABx轴于B,且动点N满足 ,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点,求OPQ面积的最大值.13解题策略一解题策略二解题策略三14解题策略一解题策略二解题策略三解题策略三解题策略三定义法定义法例3已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.难点突破 (1)将圆的位置关系转化为圆心连线的关系,从而利用椭圆的定义求出轨迹方程.(2)在三个圆心构成的三角形中,由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2,此时动圆圆心在x轴上,由l与圆P,圆M都相切构成相似三角形,由相似比得l在x轴上的截距,利用l与圆M相切得l斜率,联立直线与曲线C的方程,由弦长公式求出|AB|.15解题策略一解题策略二解题策略三解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 (x-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|= .若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,16解题策略一解题策略二解题策略三17解题策略一解题策略二解题策略三解题心得1.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程.2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.18解题策略一解题策略二解题策略三(1)求轨迹E的方程;(2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|,当ABC的面积最小时,求直线AB的方程.19解题策略一解题策略二解题策略三20解题策略一解题策略二解题策略三21直线和圆的综合直线和圆的综合解题策略解题策略几何法几何法例4已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.难点突破 (1)因圆M是以AB为直径的圆,要证原点O在圆M上,只需证OAOBkOAkOB=-1;(2)联立直线与抛物线的方程线段AB中点坐标圆心M的坐标(含参数)r=|OM|;圆M过点P(4,-2)参数的值直线l与圆M的方程.解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.对点训练对点训练4 已知圆O:x2+y2=4,点 ,以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.直线与圆锥曲线的综合直线与圆锥曲线的综合解题策略解题策略判别式法判别式法例5在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: (ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.难点突破 (1)由焦点坐标知c=1,由点P在椭圆上知b,从而求得椭圆方程.(2)求直线方程即求直线方程中的斜率k,截距m,由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切,联立两个方程组,由判别式等于0得出关于k,m的两个方程,解之得直线方程.解 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),点P(0,1)在C1上,所以c=1,b=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为 +y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的方程为y=kx+m,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.因为直线l与椭圆C1相切,所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.整理得2k2-m2+1=0.解题心得1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,若二次项系数为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.