热点专题突破系列(五)圆锥曲线的综合问题考点一考点一 圆锥曲曲线中的定点中的定点问题【考情分析】【考情分析】以直以直线、圆、椭圆、双曲、双曲线、抛物、抛物线为背景背景, ,通通过巧妙巧妙设计和整合命和整合命题, ,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交交汇考考查. .【典例【典例1 1】(2014(2014西安模拟西安模拟) )已知椭圆已知椭圆C: C: 经过点经过点 一个焦点是一个焦点是F(0,-1).F(0,-1).(1)(1)求求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)设椭圆C C与与y y轴的两个交点的两个交点为A A1 1,A,A2 2, ,点点P P在直在直线y=ay=a2 2上上, ,直直线PAPA1 1,PA,PA2 2分分别与与椭圆C C交于交于M,NM,N两点两点. .试问: :当点当点P P在直在直线y=ay=a2 2上运上运动时, ,直直线MNMN是是否恒否恒过定点定点Q?Q?证明你的明你的结论. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)由点由点 在椭圆在椭圆C C上及上及F(0,-1)F(0,-1)可求椭圆可求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)先利用先利用P P的特殊位置，即的特殊位置，即P P在在y y轴上时，确定若直线轴上时，确定若直线MNMN恒过定点，则恒过定点，则该定点一定在该定点一定在y y轴上，然后利用三点共线的条件解决轴上，然后利用三点共线的条件解决. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意知由题意知c=1,c=1,可设椭圆方程为可设椭圆方程为因为因为 在椭圆上，所以在椭圆上，所以 解得解得b b2 2=3,=3,所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为(2)(2)假设存在定点假设存在定点Q.Q.当点当点P P在在y y轴上时轴上时,M,N,M,N分别与分别与A A1 1,A,A2 2重合重合, ,若直线若直线MNMN经过定点经过定点Q,Q,则则Q Q必在必在y y轴上轴上, ,设设Q(0,m),Q(0,m),当点当点P P不在不在y y轴上时轴上时, ,设设P(t,4),M(xP(t,4),M(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),),因为因为A A1 1(0,2),A(0,2),A2 2(0,-2),(0,-2),所以直线所以直线PAPA1 1的方程为的方程为 直线直线PAPA2 2的方程为的方程为将将 代入代入得得(3+t(3+t2 2)x)x2 2+6tx=0,+6tx=0,解得解得所以所以将将 代入代入得得(27+t(27+t2 2)x)x2 2-18tx=0,-18tx=0,解得解得所以所以因为因为所以所以所以所以(1-m)(9+t(1-m)(9+t2 2)=0,)=0,所以所以m=1,m=1,所以当点所以当点P P在直线在直线y=ay=a2 2上运动时，直线上运动时，直线MNMN恒经过定点恒经过定点Q(0,1).Q(0,1).【规律方法】律方法】圆锥曲曲线中定点中定点问题的两种解法的两种解法(1)(1)引引进参数法参数法: :引引进动点的坐点的坐标或或动线中系数中系数为参数表示参数表示变化量化量, ,再再研究研究变化的量与参数何化的量与参数何时没有关系没有关系, ,找到定点找到定点. .(2)(2)特殊到一般法特殊到一般法: :根据根据动点或点或动线的特殊情况探索出定点的特殊情况探索出定点, ,再再证明明该定点与定点与变量无关量无关. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015南京模拟南京模拟) )如图，已知如图，已知椭圆椭圆C: C: 的上顶点为的上顶点为A A，右焦，右焦点为点为F F，直线，直线AFAF与圆与圆M:xM:x2 2+y+y2 2-6x-2y+7=0-6x-2y+7=0相切相切. .(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)若不过点若不过点A A的动直线的动直线l与椭圆与椭圆C C相交于相交于P P，Q Q两点，且两点，且求证：直线求证：直线l过定点，并求出该定点过定点，并求出该定点N N的坐标的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)将圆将圆M M的一般方程的一般方程x x2 2+y+y2 2-6x-2y+7=0-6x-2y+7=0化为标准方程化为标准方程(x-3)(x-3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=3,=3,圆圆M M的圆心为的圆心为M(3,1),M(3,1),半径半径由由A(0,1),F(c,0)A(0,1),F(c,0)得直线得直线AF: AF: 即即x+cy-c=0,x+cy-c=0,由直线由直线AFAF与圆与圆M M相切，得相切，得 ( (舍去舍去).).当当 时时,a,a2 2=c=c2 2+1=3,+1=3,故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为C:C:(2)(2)由由 知知APAQ,APAQ,从而直线从而直线APAP与坐标轴不垂直，与坐标轴不垂直，由由A(0,1)A(0,1)可设直线可设直线APAP的方程为的方程为y=kx+1,y=kx+1,直线直线AQAQ的方程为的方程为将将y=kx+1y=kx+1代入椭圆代入椭圆C C的方程的方程 并整理得：并整理得：(1+3k(1+3k2 2)x)x2 2+6kx=0,+6kx=0,解得解得x=0x=0或或因此因此P P的坐标为的坐标为即即将上式中的将上式中的k k换成换成 得得直线直线l的方程为的方程为化简得直线化简得直线l的方程为的方程为因此直线因此直线l过定点过定点【加固训练】【加固训练】(2015(2015保定模拟保定模拟) )设椭圆设椭圆E E：的离心率为的离心率为 且过点且过点(1)(1)求椭圆求椭圆E E的方程的方程. .(2)(2)设椭圆设椭圆E E的左顶点是的左顶点是A A，若直线，若直线l:x-my-t=0:x-my-t=0与椭圆与椭圆E E相交于不同的两相交于不同的两点点M M，N(MN(M，N N与与A A均不重合均不重合) )，若以，若以MNMN为直径的圆过点为直径的圆过点A A，试判定直线，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)由由 可得可得a a2 2=2b=2b2 2，椭圆方程为椭圆方程为 代入点代入点 可得可得b b2 2=2,a=2,a2 2=4,=4,故椭圆故椭圆E E的方程为的方程为(2)(2)由由x-my-t=0x-my-t=0得得x=my+t,x=my+t,把它代入把它代入E E的方程得的方程得:(m:(m2 2+2)y+2)y2 2+2mty+t+2mty+t2 2-4=0,-4=0,设设M(xM(x1 1,y,y1 1) )，N(xN(x2 2,y,y2 2) )得：得：x x1 1+x+x2 2=m(y=m(y1 1+y+y2 2)+2t= x)+2t= x1 1x x2 2=(my=(my1 1+t)(my+t)(my2 2+t)+t)=m=m2 2y y1 1y y2 2+tm(y+tm(y1 1+y+y2 2)+t)+t2 2= =因为以因为以MNMN为直径的圆过点为直径的圆过点A A，所以所以AMAN,AMAN,所以所以 =(x =(x1 1+2,y+2,y1 1)(x)(x2 2+2,y+2,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+2(x+2(x1 1+x+x2 2)+4+y)+4+y1 1y y2 2因为因为M M，N N与与A A均不重合，所以均不重合，所以t-2,t-2,所以所以 直线直线l的方程是的方程是 直线直线l过定点过定点由于点由于点T T在椭圆内部，故满足判别式大于在椭圆内部，故满足判别式大于0 0，所以直线所以直线l过定点过定点考点二考点二 圆锥曲曲线中的定中的定值问题【考情分析】【考情分析】该问题常涉及直常涉及直线、圆锥曲曲线、向量等、向量等问题, ,是高考是高考热点点: :(1)(1)定定值问题一般考一般考查直直线与与圆锥曲曲线的位置关系的位置关系, ,一元二次方程的根一元二次方程的根与系数之与系数之间的关系的关系, ,考考查斜率、向量的运算以及运算能力斜率、向量的运算以及运算能力. .(2)(2)解决解决这类问题常通常通过取参数和特殊取参数和特殊值来确定来确定“定定值”是多少是多少, ,或者或者将将该问题涉及的几何式涉及的几何式转化化为代数式或三角式代数式或三角式, ,证明明该式式为定定值. .【典例【典例2 2】(2013(2013江西高考江西高考) )椭圆椭圆C: C: 的离心率的离心率(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)如图，如图，A,B,DA,B,D是椭圆是椭圆C C的顶点，的顶点，P P是椭圆是椭圆C C上除顶点外的任意点，直上除顶点外的任意点，直线线DPDP交交x x轴于点轴于点N,N,直线直线ADAD交交BPBP于点于点M M，设，设BPBP的斜率为的斜率为k k，MNMN的斜率为的斜率为m m，证明证明:2m-k:2m-k为定值为定值. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)借助椭圆中借助椭圆中a a2 2=b=b2 2+c+c2 2的关系及两个已知条件即可求解的关系及两个已知条件即可求解.(2).(2)可以写出可以写出BPBP的直线方程的直线方程, ,分别联立椭圆方程及分别联立椭圆方程及ADAD的方程表示出点的方程表示出点P,MP,M的坐标的坐标, ,再利用再利用DPDP与与x x轴表示点轴表示点N N的坐标的坐标, ,最终把最终把m m表示成表示成k k的形式的形式, ,就就可求出定值可求出定值; ;另外也可设点另外也可设点P P的坐标的坐标, ,把把k k与与m m都用点都用点P P的坐标来表示的坐标来表示. .【规范解答】【规范解答】(1) (1) 因为因为 所以所以又由又由a a2 2=b=b2 2+c+c2 2得得 代入代入a+b=3a+b=3，得得故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为(2)(2)因为因为B(2,0)B(2,0)，P P不为椭圆顶点，不为椭圆顶点，则直线则直线BPBP的方程为的方程为 ，将将代入代入 解得解得直线直线ADAD的方程为：的方程为： . .联立联立解得解得由由D(0,1), N(x,0)D(0,1), N(x,0)三点共线可知三点共线可知即即所以点所以点所以所以MNMN的斜率为的斜率为则则 ( (定值定值).).【一题多解】【一题多解】解决本例解决本例(2)(2)，你知道几种解法？，你知道几种解法？解答本题，还有如下方法：解答本题，还有如下方法：设设P(xP(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 00,2)0,2)，则则 直线直线ADAD的方程为的方程为直线直线BPBP的方程为的方程为 直线直线DPDP的方程为的方程为令令y=0y=0，由于，由于y y0 011，可得，可得解解所以所以MNMN的斜率为的斜率为故故【规律方法】律方法】圆锥曲曲线中定中定值问题的特点及两大解法的特点及两大解法(1)(1)特点特点: :待待证几何量不受几何量不受动点或点或动线的影响而有固定的的影响而有固定的值. .(2)(2)两大解法两大解法:从特殊入手从特殊入手, ,求出定求出定值, ,再再证明明这个个值与与变量无关量无关. .引引进变量法量法: :其解其解题流程流程为【变式训练】【变式训练】(2015(2015广州模拟广州模拟) )已知椭圆已知椭圆C C：的短半轴长为的短半轴长为1,1,动点动点M(2,t)(t0)M(2,t)(t0)在直线在直线 (c (c为半焦距为半焦距) )上上. .(1)(1)求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程. .(2)(2)求以求以OMOM为直径且被直线为直径且被直线3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦长为截得的弦长为2 2的圆的方程的圆的方程. .(3)(3)设设F F是椭圆的右焦点，过点是椭圆的右焦点，过点F F作作OMOM的垂线与以的垂线与以OMOM为直径的圆交于点为直径的圆交于点N N，求证：线段，求证：线段ONON的长为定值，并求出这个定值的长为定值，并求出这个定值. .【解析】【解析】(1)(1)由点由点M(2,t)M(2,t)在直线在直线 上，得上，得故故 所以所以c=1,c=1,从而从而所以椭圆方程为所以椭圆方程为(2)(2)以以OMOM为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0.x(x-2)+y(y-t)=0.即即其圆心为其圆心为 半径半径因为以因为以OMOM为直径的圆被直线为直径的圆被直线3x-4y-5=03x-4y-5=0截得的弦长为截得的弦长为2 2，所以圆心到直线所以圆心到直线3x-4y-5=03x-4y-5=0的距离的距离所以所以 解得解得t=4.t=4.所求圆的方程为所求圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=5.=5.(3)(3)设设N(xN(x0 0,y,y0 0),),则则因为因为所以所以2(x2(x0 0-1)+ty-1)+ty0 0=0,=0,所以所以2x2x0 0+ty+ty0 0=2.=2.又因为又因为 所以所以x x0 0(x(x0 0-2)+y-2)+y0 0(y(y0 0-t)=0,-t)=0,所以所以x x0 02 2+y+y0 02 2=2x=2x0 0+ty+ty0 0=2,=2,所以所以 为定值为定值. . 【加固训练】【加固训练】已知抛物线已知抛物线x x2 24y4y的焦点为的焦点为F F，A A，B B是抛物线上的两动是抛物线上的两动点，且点，且 过过A A，B B两点分别作抛物线的切线，设其交点两点分别作抛物线的切线，设其交点为为M.M.(1)(1)证明：证明： 为定值为定值. .(2)(2)设设ABMABM的面积为的面积为S S，写出，写出S Sf()f()的表达式，并求的表达式，并求S S的最小值的最小值【解析】【解析】(1)(1)由已知条件，得由已知条件，得F(0,1)F(0,1)，0.0.设设A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )由由即得即得( (x x1 1,1,1y y1 1) )(x(x2 2，y y2 21)1)所以所以将将式两边平方并把式两边平方并把 代入得代入得y y1 12 2y y2 2，解解式得式得 且有且有x x1 1x x2 2xx2 22 24y4y2 24. 4. 抛物线方程为抛物线方程为求导得求导得 所以过抛物线上所以过抛物线上A A，B B两点的切线方程分别是两点的切线方程分别是即即解出两条切线的交点解出两条切线的交点M M的坐标为的坐标为所以，所以，所以所以 为定值，其值为为定值，其值为0.0.(2)(2)由由(1)(1)知在知在ABMABM中，中，FMABFMAB，因而，因而因为因为|AF|AF|，|BF|BF|分别等于分别等于A A，B B到抛物线准线到抛物线准线y y1 1的距离，的距离，所以所以|AB|AB|AF|AF|BF|BF|y y1 1y y2 22 2 于是于是由由 知知S4S4，且当且当1 1时，时，S S取得最小值取得最小值4.4.考点三考点三 圆锥曲曲线中的最中的最值与取与取值范范围问题【考情分析】【考情分析】常涉及不等式恒成立、求函数的常涉及不等式恒成立、求函数的值域域问题和解不等式和解不等式问题, ,是高考是高考热点点: :(1)(1)恒成立恒成立问题一般考一般考查整式不等式、分式、整式不等式、分式、绝对值不等式在某个区不等式在某个区间上恒成立上恒成立, ,求参数取求参数取值范范围. .(2)(2)求函数的求函数的值域域, ,一般是利用二次函数、基本不等式或求一般是利用二次函数、基本不等式或求导的方法求的方法求解解, ,有有时也利用数形也利用数形结合思想求解合思想求解. .(3)(3)解不等式一般是解不等式一般是转化化为解一元一次、一元二次不等式解一元一次、一元二次不等式. .【典例【典例3 3】(2014(2014浙江高考浙江高考) )如图，设椭圆如图，设椭圆C:C:动直线动直线l与椭圆与椭圆C C只有一个公共点只有一个公共点P P，且点，且点P P在第一象限在第一象限. .(1)(1)已知直线已知直线l的斜率为的斜率为k k，用，用a,b,ka,b,k表示点表示点P P的坐标的坐标(2)(2)若过原点若过原点O O的直线的直线l1 1与与l垂直，证明：点垂直，证明：点P P到直线到直线l1 1的距离的最大值为的距离的最大值为a ab.b.【解题提示】【解题提示】(1)(1)将直线与椭圆方程联立将直线与椭圆方程联立, ,解得解得P P点坐标点坐标. .(2)(2)表示出点到直线的距离表示出点到直线的距离, ,利用利用a,b,ka,b,k之间的关系和基本不等式求出之间的关系和基本不等式求出最大值最大值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设直线设直线l的方程为的方程为y=kx+m(k0),y=kx+m(k0),由由消去消去y y得得(b(b2 2+a+a2 2k k2 2)x)x2 2+2a+2a2 2kmx+akmx+a2 2m m2 2-a-a2 2b b2 2=0,=0,由于由于l与与C C只有一个公共点只有一个公共点, ,故故=0,=0,即即b b2 2-m-m2 2+a+a2 2k k2 2=0,=0,所以所以解得点解得点P P的坐标为的坐标为 又点又点P P在第一象限，故点在第一象限，故点P P的的坐标为坐标为(2)(2)由于直线由于直线l1 1过原点过原点O O且与直线且与直线l垂直，故直线垂直，故直线l1 1的方程为的方程为x+ky=0x+ky=0，所以点所以点P P到直线到直线l1 1的距离的距离d=d=因为因为所以所以当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立. .所以，点所以，点P P到直线到直线l1 1的距离的最大值为的距离的最大值为a ab.b.【规律方法】律方法】1.1.解决解决圆锥曲曲线中的取中的取值范范围问题的五种常用解法的五种常用解法(1)(1)利用利用圆锥曲曲线的几何性的几何性质或判或判别式构造不等关系式构造不等关系, ,从而确定参数的从而确定参数的取取值范范围. .(2)(2)利用已知参数的范利用已知参数的范围, ,求新参数的范求新参数的范围, ,解解这类问题的核心是建立的核心是建立两个参数之两个参数之间的等量关系的等量关系. .(3)(3)利用隐含的不等关系建立不等式利用隐含的不等关系建立不等式, ,从而求出参数的取值范围从而求出参数的取值范围. .(4)(4)利用已知的不等关系构造不等式利用已知的不等关系构造不等式, ,从而求出参数的取值范围从而求出参数的取值范围. .(5)(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数, ,求其值求其值域域, ,从而确定参数的取值范围从而确定参数的取值范围. .2.2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)(1)两类最值问题两类最值问题:涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题定与之有关的一些问题. .(2)(2)两种常见解法两种常见解法:几何法几何法, ,若题目的条件和结论能明显体现几何特若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义征及意义, ,则考虑利用图形性质来解决则考虑利用图形性质来解决;代数法代数法, ,若题目的条件和结若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系论能体现一种明确的函数关系, ,则可先建立起目标函数则可先建立起目标函数, ,再求这个函数再求这个函数的最值的最值, ,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. .提醒提醒: :求最求最值问题时, ,一定要注意一定要注意对特殊情况的特殊情况的讨论. .如直如直线斜率不存斜率不存在的情况在的情况, ,二次三二次三项式最高次式最高次项的系数的的系数的讨论等等. .【变式训练】【变式训练】(2015(2015杭州模拟杭州模拟) )已知圆已知圆M M： 若椭圆若椭圆C C： 的右顶点为圆的右顶点为圆M M的圆心，的圆心，离心率为离心率为(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)若存在直线若存在直线l:y=kx,:y=kx,使得直线使得直线l与椭圆与椭圆C C分别交于分别交于A A，B B两点，与圆两点，与圆M M分分别交于别交于G G，H H两点，点两点，点G G在线段在线段ABAB上，且上，且|AG|=|BH|AG|=|BH|，求圆，求圆M M半径半径r r的取值的取值范围范围. .【解析】【解析】(1)(1)设椭圆的焦距为设椭圆的焦距为2c,2c,因为因为 所以所以c=1,c=1,所以所以b=1,b=1,所以椭圆所以椭圆C C：(2)(2)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由直线由直线l与椭圆与椭圆C C交于两点交于两点A A，B B，则，则所以所以(1+2k(1+2k2 2)x)x2 2-2=0,-2=0,则则x x1 1+x+x2 2=0,=0,所以所以|AB|=|AB|=点点 到直线到直线l的距离的距离则则|GH|=|GH|=显然，若点显然，若点H H也在线段也在线段ABAB上，则由对称性可知，直线上，则由对称性可知，直线y=kxy=kx就是就是y y轴，轴，矛盾，所以要使矛盾，所以要使|AG|=|BH|AG|=|BH|，只要，只要|AB|=|GH|AB|=|GH|，所以所以当当k=0k=0时，时，当当k0k0时，时，又显然又显然 所以所以综上，综上，【加固【加固训练】已知抛物已知抛物线C:y=xC:y=x2 2. .过点点M(1,2)M(1,2)的直的直线l交交C C于于A,BA,B两点两点. .抛抛物物线C C在点在点A A处的切的切线与在点与在点B B处的切的切线交于点交于点P.P.(1)(1)若直若直线l的斜率的斜率为1,1,求求|AB|.|AB|.(2)(2)求求PABPAB的面的面积的最小的最小值. .【解析】【解析】(1)(1)设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由题意知，直线由题意知，直线l的方程为的方程为y=x+1,y=x+1,由由 消去消去y y得得x x2 2-x-1=0,-x-1=0,解得解得, ,所以所以|AB|=|AB|=(2)(2)易知直线易知直线l的斜率存在，的斜率存在，设直线设直线l的方程为的方程为y=k(x-1)+2,y=k(x-1)+2,设点设点A(xA(x3 3,y,y3 3),B(x),B(x4 4,y,y4 4).).由由 消去消去y,y,整理得整理得x x2 2-kx+k-2=0,-kx+k-2=0,x x3 3+x+x4 4=k,x=k,x3 3x x4 4=k-2,=k-2,又又y=(xy=(x2 2)=2x,)=2x,所以抛物线所以抛物线y=xy=x2 2在点在点A A，B B处的切线方程分别为处的切线方程分别为y=2xy=2x3 3x-xx-x3 32 2,y=2x,y=2x4 4x-xx-x4 42 2. .得两切线的交点得两切线的交点所以点所以点P P到直线到直线l的距离的距离又又|AB|=|AB|= =设设PABPAB的面积为的面积为S S，所以所以 ( (当当k=2k=2时取得等号时取得等号).).所以所以PABPAB面积的最小值为面积的最小值为2.2.