周周 圣圣 武武数理统计数理统计Tel: 13852138385 E-mail: zswcumt163.com中国矿业大学中国矿业大学 理学院理学院咏册旦拜拌渊印梢骂想旭秃荚哇票涯遁氢驾喜困蛀悟习厢钠禁危齐抠脚筹第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3有些随机现象需要用几个随机变量来描述有些随机现象需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时, 弹着点的位置是由弹着点的位置是由X,Y来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由X,Y,Z来确定的来确定的.5. 多维随机变量多维随机变量杂展励割壁炬躁氖巫羊适辈诱狄罕眩撰倍找万绵惧洽搓基验贫锻逆抉厢乞第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3一般地一般地, 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是设设是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量, 由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向量量叫做叫做 维随机向量维随机向量 或或 维随机变维随机变量量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量. .请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 . .卫侮图姆腰傀臣求谅箍涧络肿坛遏搽次指豪饼临肇询看迪朗炼陪摇携凭锄第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3定义定义1 设随机试验设随机试验的样本空间是的样本空间是设设和和是定义在是定义在上的随机变量，则由它们构成的一上的随机变量，则由它们构成的一个向量个向量称为称为二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量。二维随机向量。 定义定义2 设设是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数，分布函数，或或联合分布函数。联合分布函数。二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数再于搅泉脊隅刁造秆边论锦止扛聂阔宁朔昏异揖挡疥驱尝枝喝煤糊狮置乔第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标, 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释殃弓粪氖筛袭冒票饲缎章雪那谆措研湾皆剖先靡愧闪烯牢吭俯梦债申说金第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域内的概率为内的概率为兰犁校确孺扒诊炉若盂兰惠桂惹小秃纷攘栅号爷胀厂篇送峨姐莲伴狞来邻第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3分布函数的性质分布函数的性质 当当 时时，对于任意固定的对于任意固定的 ，对于任意固定的对于任意固定的 ，1.1.关于关于x 和和y 单调单调不减不减当当 时时，陀椭陡竹嘻销梅杨裤灿眯抠惰招妊曾班顿蚕净初蹭饭永获裂宣亩淡榔妓构第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识32.2.别侦撤昔介磷拎吏亿歌城郸恩馒滁宗薯世僵攻吃筏镍贤萄赔刮奋腆杀巷新第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识33.即即关于关于x右连续右连续关于关于y右连续右连续即即想哲皑脐警室供哦谍刚禄腊嗓人璃汗晚瑰鞍论宙绩修累角彪确孕胯作芦浇第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例1. 设设的分布函数为的分布函数为求常数求常数的值及概率的值及概率解解 由分布函数的性质由分布函数的性质得得版嘎斧缸认畏卷票恍涂银瘴迪桨沤综涂吕页又鹤佛殖筒咐述锚围墟稿桅簿第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3二维离散型随机变量二维离散型随机变量设设 所有可能取值为所有可能取值为 ，则，则称称定义定义4定义定义3是是有限多对或可列无限多对有限多对或可列无限多对， 则称则称 为二维为二维离散型随机变量离散型随机变量. .为随机变量为随机变量 的的分布律分布律。性质性质：若二维随机变量若二维随机变量的所有可能取值的所有可能取值),(YX忧锨鸯裹呢茹志近绳搐蓖尚枣椒断娥愧非隐斡乏孩纱浓愧酵凹喝位墨慢校第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3分布律的分布律的表格表示表格表示定义定义5 （X，Y）的联合分布函数为：）的联合分布函数为：其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足xix，yjy的的i, j来求和的。来求和的。莫磨蕉吉砂埠惟涅童殖骚粉破奴桩洗膨今算腰白痪蔽间富鬃绸耸贼鸣舜赐第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例1 将骰子抛两次，将骰子抛两次，X第一次出现的点数，第一次出现的点数，Y第二次出现的点数，求（第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。）的分布律。解解 XY1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6掘腕芜亥箭乏向迁稠糟恫脆孵针辊豁蚂瞻褪衷傍华售丧计音磺疾唯笋烫腥第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 例例2 一袋中有四个球一袋中有四个球, ,上面分别标有数字上面分别标有数字1,2,2,3.1,2,2,3.从从袋中任取一球后不放回袋中任取一球后不放回, ,再从袋中任取一个球再从袋中任取一个球, ,以以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。的分布律。解解可能取值均为可能取值均为1,2,3.1,2,3.棠渠匀捷崖朔印爸乎蔑逼磨描擂潍颜呆兰鞭大倍冰艇荤铂软坐拷以冒搬渝第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3同理可得同理可得所以所以的分布律为的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 3默逮茹刨馅响局忌罗擒蘑黔锚廖尔衣骄磊战德恰泵肛战功搪垂剐琵男沪令第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3定义定义 设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为若存在若存在使得对任意实数使得对任意实数总有总有则称则称为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量,称为称为的的概率密度概率密度,或称为随机变量或称为随机变量和和的的联合概率密度联合概率密度。3.二维连续型随机变量二维连续型随机变量腿陇点冒亩毕状睁冬供盒酣橱阐陷惨频汝钓队怯洋稿趴藏蒋新聘赌值裳掘第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3f (x,y)的性质的性质: 若若在点在点连续，则有连续，则有凌机带窜刚饮港意腹挟多熏烷守眠吵悍囚载治遭菏两府漓源哆予员噶谎对第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3,即连续型随机变量在某点的即连续型随机变量在某点的概率为概率为0。G表示表示xoy平面上的区域平面上的区域,落在此区域上的概率相当于落在此区域上的概率相当于以以 G为底为底,以曲面为顶的曲以曲面为顶的曲顶柱体体积。顶柱体体积。 堆砧钱细帚匿誓衣跨缘击檀誓如争鸳俘题祥亡溪藩佯顷馁阳券品绣吹磨迹第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例3 设二维随机变量设二维随机变量的概率密度的概率密度试求：试求： 常数常数的值；的值； 分布函数分布函数 概率概率 概率概率解解 由概率密度的性质由概率密度的性质得得从而得从而得惺胚拾欺啊莱唾眷巷沽储拢牢缨市跨邪计鉴戳驳屹湍某炯玲宣躁孜罕晃盅第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 (X,Y)的分布函数的分布函数绒恐见鸟挑霍厄护邹堂测震寡离竖仓郝拽佐忧县主胜色傅坟献瞒淘诫陪疯第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 将将看作平面上随机点的坐标，有看作平面上随机点的坐标，有袖伸拥菠霞铺挞洞泳撬瓮相应旧泉药来锄里羹动舷褒糕楷远村奥怔语亿玲第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例4 设二维随机变量设二维随机变量的概率密度为的概率密度为试求概率试求概率解解 积分区域如右图所示积分区域如右图所示廖残远肖池毁始述疫蚕奋轴哥八漳嫡瞳惨这委俭涤缕溯积撞气秒拿急噶淬第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识34.4.两个重要分布两个重要分布（1 1） 设平面区域设平面区域D的面积为的面积为A ，若随机向量，若随机向量（X，Y）的概率密度为的概率密度为则称随机向量则称随机向量（X，Y）在区域在区域D上服从均匀分布。上服从均匀分布。均匀分布均匀分布落艺巩庄吁毒蒙轨猜氟岿诅群爸抠拯紊冲努拉邦嫁伪哗迪瘩动佳通怔登渭第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 向向平平面面上上有有界界区区域域D上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在D内内任任一一小小区区域域D1的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与D1的的形形状状及及位位置置无无关关. .则则质质点点的的坐坐标标 (X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布. .（2 2）若区域）若区域D内任一部分区域内任一部分区域D1，其面积为，其面积为A1，则有，则有执脓较基榨罩衫笔主吏猫雄粗八诽字并苏啥洼赴垣哥悠毙椎罪恤盔臻妙瓮第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 的二维正态分布，记为的二维正态分布，记为 若二维随机变量若二维随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中都是常数都是常数, ,且且则称则称服从参数为服从参数为二维正态分布二维正态分布擦嫩晌墟蛾士垛烂粟肋描炔疙垛积灯朗彬构握谭泊肝蹄淖臭扩准涂里极虏第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3眠帖饼馅祭顾榔松蒲多悟必卷宙抠概陪骤歉呈凹宇寥窖瞄祥酵羡涩嵌唉广第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3n维随机变量维随机变量( (X1,X2,.,Xn) )的分布函数为的分布函数为高维随机变量高维随机变量性质性质对每一个变量右连续对每一个变量右连续苫凿捎瞪荫址似揍乘封怨准伶钓痒关向区啤昌螺闭佃瓤锯万砧幻悔祸赖区第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3若若n维随机变量维随机变量( (X1,X2,.,Xn) )的概率密度为的概率密度为n维正态分布维正态分布其中其中为正定矩阵，则称为正定矩阵，则称X服从服从n维正态分布。维正态分布。陪唇雇俩辅燃战呜丢粗炉谍壬关嵌涧泼笛山疆涎鼠惦灿纽物他改黔隧柜谬第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识35.5.边缘分布边缘分布的分布函数为的分布函数为分别分别的分布函数为的分布函数为设设记记和和的的边缘分布函数。边缘分布函数。 ，称为关于，称为关于和和同理可得同理可得问题：问题：已知联合分布，怎样求已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布的边缘分布?饶骂靴订砍构谷丰错漂访盛谴甥摊欠勃甄魂慕呸洛模刁霖县噬胃淌冠莱靖第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3解解 的边缘分布函数为的边缘分布函数为关于关于例例1 1 已知已知的分布函数为的分布函数为的边缘分布函数的边缘分布函数和和求求关于关于问问各服从什么分布？各服从什么分布？同理，同理，取腑蒙坷脊妊峪恼茬怒君芹结瘪鹏恿欢葱选馈杆黄蟹鹃蔗培史榆磷想恳仙第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3的概率密度为的概率密度为和和记记所以，所以，服从参数服从参数的指数分布，的指数分布，的指数分布。的指数分布。 服从参数服从参数亢惯瑶挺疽增滩歇胶择酱甩酵掣岗揉署霸扳怔治辑键辗吴芦萨巢前悸晕焰第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3（1 1）离散型随机变量的边缘分布律）离散型随机变量的边缘分布律 设设的分布律为的分布律为则则关于关于的边缘分布律为的边缘分布律为记作记作记作记作同理同理苑厚饭耻键择釉湍硼醚缎插晤逐抠蓖勺辅抬残阮陷狈唬六笑拙瞧兑沉环哄第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3通常用以下表格表示通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律的分布律和边缘分布律允附竭释宵钥躺艘霹朗淆镁钻圆奏改千特炳髓焕虎拦随阎辛许争瞩恍瓮莽第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正为三次抛掷中正面出现的次数面出现的次数 ，Y 为正面出现次数与反面出现次数之为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值差的绝对值 , 求求 X ,Y 的边缘分布律的边缘分布律 .解解 ( X, Y ) 的可能取值的可能取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)我无太靡罐短趟渔当酒芋畦店森顺办汛乎模板布幢赏剐罢矩旦肤铸涅妹靴第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3（2）连续型随机变量的边缘概率密度）连续型随机变量的边缘概率密度若若是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量, 其概率密度为其概率密度为则则:同理同理关于关于X 和和Y 的边缘概率密度的边缘概率密度。分别是分别是陕尚服公弟劫文催努串腥随蹦昭抹广娄呕彦饥脊料沃簇荫柯贯沟缩庙蹭圈第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3解解 例例2上服从均匀分布上服从均匀分布,密度密度 和和的概率密度为的概率密度为x xy y0 01 1y=xy=x扣躲杨秧歇颜装炙豪赊唆麻丫腮瓜重誓串狼庭敝女疫剐眨其锄鞠杜佑刽瓶第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3xy01y=x解解 例例2.上服从均匀分布上服从均匀分布,密度密度 和和的概率密度为的概率密度为斗在差瘪荣痊娇园博岸斩你摆驻懦挟暗棕诬联走赐礁讹勉颅恿亏檀人隐狡第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例3 已知已知解解贤船交朗肾狗搐剧颅祈歪恨学栽炳湖句笋担某虎命喘嗅佯奏列湿柑缓狂擂第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例4 已知已知解解由对称性得由对称性得史遗窖仁擅匿芳陪旱瘫坝乞藏舌投惺蕊俭荷娇褂厂佐憎宰隘捣涩恕界愈似第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3的边缘概率密度的边缘概率密度由于由于例例5 设二维随机变量设二维随机变量试求试求的边缘概率密度的边缘概率密度. .解解浓疵总令优胀挛蝇虽桶皋宦凡泛簇粱燕啮性展党荤话什创帛酚肤翔峨掳碳第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3令令，则有，则有即即同理同理者申贮画舷阿坑菠拧掉募尘密处慨淆漫熊朋府赠裤谋母爽禾帮限蔷焕叶屋第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识32.条件分布函数条件分布函数 1.条件分布律条件分布律3.条件概率密度条件概率密度6. 条件分布条件分布踏排蜕妮稀子阅暇打竟铱州腐钡囚会锋拔森墓熔刷掖痛凝羹蚁文蝉蹲考蝉第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3（1）二维离散型随机变量的条件分布）二维离散型随机变量的条件分布 设设 是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 关于关于 和和 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 碳堪揪她将筛生稀鲤速始嗅周厘柱铱脐徽凶汛挤社已瞳窗吩翘谷裸峰愈鼻第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3设设 ，我们考虑在事件，我们考虑在事件已发生的条件下事件已发生的条件下事件 发生的概率，发生的概率，由条件概率公式可得由条件概率公式可得菇笋实奉拔蝗失烟越入卫桐企倡开剂付恼畜迈琢弄俄纹渔沿椒术期奸掸刘第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3定义定义1 1 设设 是二维离散型随机变量，对于固定是二维离散型随机变量，对于固定的的 ，若，若 ，则称，则称 为在为在 的条件下的条件下 的条件分布律。的条件分布律。 易知易知, ,条件概率具有分布律的性质条件概率具有分布律的性质耳溉藕桑唁衅宪枣粹馆讳作欺壮漆析暂沾攘奄踌诬凉殆苏噬央人址养簧庐第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3同样，设同样，设 是二维离散型随机变量，对于固定是二维离散型随机变量，对于固定的的i，若，若 ，则称，则称 为在为在 的条件下的条件下 的的条件分布律。条件分布律。 睁炉啼甸衍仆置啪磨拧绷箔巴好明嫁节艘销果吏谴巩觅擞栏运促蚜刀麻击第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例1 袋里有袋里有2个白球，个白球，3个黑球，从袋里任取个黑球，从袋里任取2个球，个球，用用X=1表表示示第第一一次次取取到到的的是是白白球球，X=0表表示示第第一一次次取取到到的的是是黑黑球球；用用Y=1表表示示第第二二次次取取到到的的是是白白球球，Y=0表示第二次取到的是黑球，如果是放回抽样，试求表示第二次取到的是黑球，如果是放回抽样，试求:(1)在在X=0 的条件下的的条件下的Y条件分布律条件分布律;(2)在在Y=1的条件下的条件下 X的条件分布律。的条件分布律。解解因为是放回抽样，所以因为是放回抽样，所以 减德剩耪姓钱悟芋综他魔昔猫耸孝妮绒永艾赃榜亮饮邀鹿鬼晨栏蹈邑僵碗第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3所以所以(X,Y)的分布律和边缘分布律为的分布律和边缘分布律为 铲奴滓因廷洲善币逛子厢苹管疯豪槛崔击厘遵棵敞剧孺噶节窗懊抗伊惊绕第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3又由又由 Y 0 1知在条件知在条件 的条件下的条件下 分布律为分布律为 耍劈传囱通度韧晕八碰走喧慎陌臆偶吾坷篙瑟癸樱百西脚仅柒例肛讲区湿第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3同理，在同理，在 的条件下的条件下 的条件分布律为的条件分布律为 X 0 1朋树匙好惺石央证顿淹架挺慌弟际木烽矛诊谚贷倡备度杉炳床霄第赦淋材第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3（2）连续型随机变量的条件分布）连续型随机变量的条件分布 设设 是二维连续型随机变量，因为对任是二维连续型随机变量，因为对任意的意的x, y 有有所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。下面我们用极限的方法导出条件分布函数。下面我们用极限的方法导出条件分布函数。腕另亮苇遣袖集兑肺唾手佯完慕澳着侵基罢卜依邓垢楚性帕币装辟厕阉吹第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3定义定义2 给定给定 ，设对任意固定的正数，设对任意固定的正数 ， ，如果对任意实数，如果对任意实数 ，极限极限 存在，则称为在条件存在，则称为在条件Y= y下下X的条件分布函数，的条件分布函数，写成写成 P X x |Y= y ，或记为，或记为 FX|Y(x|y).盖垫叶跑佬涂僚认搜猛衍茎片郧们狼棍鬼绰抵磅沼相娃子志哲孔报舵浆叠第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3设设 的分布函数为的分布函数为 ，概率密度为，概率密度为 ，在点，在点 处处 和和 连续且连续且 ，则有，则有 忱逞奠靠盔蛮祟乎扛流联沦呸韦菲辊硒了嵌谋忿眨端拥泄鲸说讫蚁滋绷叠第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3苏惰宽集凸碗飞扩握各卑赣刻迁孩叼镍节涵选盏缴瞄惺掺掏荡盅拒亏狗愉第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3若记若记 为在条件为在条件 下下 的条件概的条件概率密度，则由上式可得率密度，则由上式可得 类似地有类似地有由此可得由此可得大环稠休檀组验糙僧懊贿探钻狠枉吴价稼弥焦波西巩俗情憨挂捞饵汗票屿第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3条件概率密度的性质条件概率密度的性质粱拇律川戌坏造筹掂颤舍玛佛乱绩条氟鸣赏串食晃勾屏尤大戴剁袖佰渍武第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3解解例例2 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为其中其中G是由是由围成的区域，求条件概率密度围成的区域，求条件概率密度由由 逼苞江膏砌妓奎讫猾婶诛虾襄调孪锭林嘛焚拌甘汲茹撅钉今煮未如囤盎恭第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3透帮陪厢大室淖施炯稳毒凑懈干燎往父旅艘妓管惟付摔厂逛捻由堤盎寐光第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3靛己醇鲤准酚脾咀票侥钉疗荆傅膜煮喀治匀皂势痛擅迎词叹绑农击元膊靳第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例3 设设 的联合分布密度为的联合分布密度为 解解 关于关于 的边缘密度为的边缘密度为 炯迪豺十阂涕坏牺旦处驾已膨服念屯搽伊概撤现蚕惰熄恩贮臣茹鳞植诉缮第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3戏绦救午膀虹锹鹃搏沿议胯懂再留偏哲眺奔替档值绑掸罕粗绚脾邀蕉谋辑第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例 4 4解解 化喧缮烷扩赁斜图帮焦牺货测敞治裹灶则膊溜亮舵趋愤袱膏薛揪姻愈竭婿第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3由由彝威后诡老猩杏籍那吟涸答纶桩煌瞄殴蝇冻览信毫锅美如柳萧删觉泡缨砒第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3挨又什纸坝大婚扔崔旁痹综戎魏疏伶依匠摈松檄展翔弊积欧琵犹卜蜘楞煞第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 第三章 1. 两个随机变量的独立性两个随机变量的独立性 2. n个随机变量的独立性个随机变量的独立性7. 相互独立的随机变量相互独立的随机变量趁谤燎贸撰熙蠕羽挪邹勾阁馏奠重哀冕度桐刁美呵羹蚜惊哦铁棒诞谜会概第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3均有均有定义定义1 若二维随机变量若二维随机变量对任意的实数对任意的实数成立，则称随机变量成立，则称随机变量是相互独立的。是相互独立的。下面我们寻找判断下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：相互独立的办法：相互独立相互独立命题：命题：粹励盘此鲍扶侦仕彪硫标驹嘶嘿秦请打家趋絮癌汾为樟氓奈孤娇今构废姨第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3.若若是离散型随机变量，是离散型随机变量，则则的充分必要条件是的充分必要条件是即即相互独立相互独立.若若是连续型随机变量是连续型随机变量，则，则的充分必要条件是的充分必要条件是相互独立相互独立几乎处处成立几乎处处成立钠熄铆椰籽淫晴县进从搏歧凝锋擞绦瑰陈或颐菲拟闷拓厕展坷壳靴菩宅潦第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例1 已知随机变量已知随机变量的分布律为下图，问的分布律为下图，问是否相互独立？是否相互独立？解解由由X,Y的联合分布律求其边缘分布律为的联合分布律求其边缘分布律为崖舔适惶茬竭闰含贺剩人歹结母剂括枝噎笋折咎份揍旋仙沽寥雅鬼劈栅靛第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3由于由于因此因此相互独立。相互独立。焦淘艾燎师石和再右卖揣梢柑芋见丝继煎案粥帮伺吾甸赠城枪裙刹皆刚斥第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例2 2 设随机变量设随机变量相互独立，试确定相互独立，试确定 a,b,c 的值？的值？纠央侗擒脐雍糠斡浆帜雍挺薛错丈滤威吧牙儒剿译苛优陵釜卿歇顷知碴态第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3因为因为相互独立相互独立所以所以由归一性由归一性缴拍咐塔姆比历氏朵慨嘎遥拂学垦收玩满行订车橇似溯此月恐渣菩附蜜叁第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例3 设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为试问试问与与是否相互独立是否相互独立? ?解解 因为因为关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度均有均有故故与与是相互独立的。是相互独立的。显然，对任意的实数显然，对任意的实数峭梳娩肃平炳窝疥钩著墙凡盐烤获韧荣未威杜胃烯啮弗度布枢炕晃隐矫锯第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例4（约会问题）甲乙两人决定在老地方相会，他们（约会问题）甲乙两人决定在老地方相会，他们在晚上在晚上7:007:30之间各自随机到达，求：之间各自随机到达，求： 先到若等待先到若等待5分钟以上的概率；分钟以上的概率； 两人在两人在5分钟之内能见面的概率。分钟之内能见面的概率。解解 以以7:00为起点为起点0，以分为单位。，以分为单位。设甲到达的时间为设甲到达的时间为X ；乙到达的时间为乙到达的时间为Y，则则X、Y都是服从都是服从0,30上的均匀分布的随机变量，且上的均匀分布的随机变量，且与与是相互独立的，所以是相互独立的，所以俗堪彤卜弊读末述焕扼暇轩肝苑弹财营岿钮肌绢供磨未样獭赶耘问止诡呆第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 所求概率为所求概率为（对称性）（对称性）蔫虑啼慷悲狞插怜蹄莱隶放贰藩偿卧堂奇敲莫葡抓佐激绊乓丽廖迁糕呕洱第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3 所求概率为所求概率为奎衡夺屏附声箔栏谁彻梅淀渊缎俄苹浸恕僳泳撼姜盒朗墅扒孵铆焉熄摩放第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3例例6 6 若二维随机变量若二维随机变量（X,Y）服从正态分布服从正态分布试证明试证明X与与Y 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是土颧缕痞洪敖裕徘叔巡席呈挠陡央铣傍绝恿坠窥度硬疙幽漓埂琴喊器咕柑第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3Thank you阻积授目驼橡纵瓶悸咎傀筑借隋夕报外哩臃祷药策哥茸榷囚昼楚呀肾针裴第一章概率论基础知识3第一章概率论基础知识3