2.2.1.2抛物线轨迹方程及实际应用1.能根据抛物线的定义来求抛物线的轨迹方程.2.了解标准方程中p的几何意义.3.了解抛物线在现实生活中的实际意义.1.抛物线定义的应用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离. 名师点拨定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可以相互转化.这也是利用抛物线定义解题的实质.答案:C2.抛物线标准方程中p的几何意义为焦点到准线的距离.名师点拨p是抛物线标准方程中的唯一变量,也是求解标准方程的关键所在.【做一做2】抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.8解析:抛物线标准方程中,2p=8,p=4.故焦点到准线的距离为4.答案:C题型一题型二题型三题型四求动点的轨迹方程 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上均不对分析:可从代数方面考虑,将等式两边平方后再化简,得轨迹方程;也可从几何角度考虑,将等式左边看作两点间的距离,等式右边看作点到直线的距离,分析其几何意义,得轨迹方程.题型一题型二题型三题型四答案:C题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:方法一:设动点M(x,y),动圆M与直线l:x=-3的切点为N,则MNl,且|MA|=|MN|,即动点M到定点A和到定直线l:x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,直线l:x=-3为准线,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.方法二:设动点M(x,y),则点M的轨迹是集合P=M|MA|=|MN|(N为动圆M与直线l:x=-3的切点),化简得y2=12x.故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.题型一题型二题型三题型四利用抛物线定义求最值 【例2】已知抛物线的方程为x2=8y,F是其焦点,点A的坐标为(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.解:因为(-2)284,所以点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图,设抛物线的准线为l,P为抛物线上任意一点,题型一题型二题型三题型四过点P作PQl于点Q,过点A作ABl于点B.由抛物线的定义,知|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|AQ|AB|,当且仅当P,B,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.因为点A的坐标为(-2,4),所以不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0).题型一题型二题型三题型四反思抛物线将其所在平面分成两部分,一般称含焦点的那一部分为抛物线内部,不含焦点的那一部分为抛物线的外部.因此,要结合图形判断点在抛物线的内部还是外部.若点A在抛物线的外部,连接AF,则AF与抛物线的交点P可使|PF|+|PA|的值最小.解关于抛物线的最值、定值问题时,首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短等.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四抛物线的实际应用【例3】某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5m时,水面宽8m,一木船宽4m,高2m,木船载货时露在水面上的部分为0.75m,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通过拱桥?解:以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.题型一题型二题型三题型四反思本题以实际应用问题为载体,利用待定系数法求抛物线方程,解题中利用点与坐标、曲线与方程的对应关系,富有新意.解决实际问题时,建立适当的平面直角坐标系是解题的关键,坐标系的选择直接关系到解题的繁简程度.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为am,求能使卡车通过的a的最小整数值.分析:要求拱宽a的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,然后利用方程求解.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点因考虑不全而致误【例4】动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,求动点M(x,y)的轨迹方程.错解:动点M到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等.动点M的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,且p=4.抛物线方程为y2=8x,即为M的轨迹方程.错因分析:错解中只求出了在x0的情况下的动点M的轨迹方程,忽视了x0),将点D1,D2代入,两式相减得2p(y2-y1)=182-132=155,解得2p=100,故抛物线方程为x2=-100y.故|y1|=3.24m,所以桥梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.