第4课时弦切角的性质1顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆_的角叫作弦切角2弦切角定理：弦切角_它所夹的弧所对的_相切 等于 圆周角 1如图，直线DE与圆O相切于点A，则下列各角中与BAE相等的是()ACADBACBCAOBDOAB【答案】B2如图，ABC内接于O，AD切O于A，BAD60，则ACB()A120B150C90D100【答案】A【解析】在优弧AB上取一点，连接AE，BE，BAD是弦切角，则AEBBAD60，ACB180AEB120.3如图，直线BC切O于B，ABAC，ADBD，则A()A35B 36C 40D 50【答案】B【解析】ABAC，ABCACBADBD，AABD直线BC切O于B，CBDA又AABCACB180，5A180，A36.故选B4如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC2，BCD30，则圆O的半径为_【答案】2【解析】由弦切角定理和圆心角定理，可知弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半连接OB，OC，则BOC60.又OBOC，所以OBC是等边三角形，OBBC2.【例1】如图所示，AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足为D，求证：AC平分BAD弦切角定理【解题探究】要证AC平分BAD，需证DACBAC，只要证明DCACBA即可【证明】连接BC，AB是O的直径，ACB90.BCAB90.ADCE，ADC90.ACDDAC90.AC是弦，直线CE和O切于点C，ACDBDACCAB，即AC平分BAD证明此题的关键是弦切角DCA等于同弧所对的圆周角CBA利用弦切角等于同弧所对的圆周角是证明角相等的一般方法1(2016年太原模拟)如图所示，点A, B, C在圆O上，BD是圆O的切线且BABC，求证：ACBD【证明】因为BD为圆O切线，所以DBCBAC又因为BABC，所以BACBCA所以DBCBCA，ACBD【例2】如图所示，AD是圆内接ABC的BAC的平分线，交圆于D，E为BC的中点且DEBC，又BF为圆的切线，DFBF，求证：DEDF.弦切角定理的应用【解题探究】要证线段相等的一般方法是先证两线段所在的两个三角形全等可通过证明BEDBFD，从而问题得证【证明】连接BDBF为圆的切线，FBDBADAD是BAC的平分线，BADDACFBDDAC又CBDDAC，FBDCBD又DEBC，DFBF，BEDBFD，故DEDF.由弦切角定理得到角的等式，再结合三角形的全等或相似，是证明线段相等或角相等的常用方法2如图所示，圆O1和圆O2相交于A，B两点，两圆都与直线CD相切且切点分别为点C，D，若CBD130，则CAD_.【答案】50【解析】连接AB，在圆O1中，由弦切角定理可得CABBCD；在圆O2中，由弦切角定理可得DABBDC，所以CAD CAB DAB BCD BDC在 BCD中 ， 由 内 角 和为180，可得BCDBDC180CBD50，所以CAD50.有弦切角立即想到弦切角定理是我们解决有关弦切角问题的一般思维模式3如图所示，ABC内接于O，ABAC，直线XY切O于点C，弦BDXY，AC，BD相交于E.(1)求证：ABEACD；(2)若AB6 cm，BC4 cm，求AE的长【解析】(1)证明：因为XY是O的切线，所以12.因为BDXY，所以13.所以23.又因为34，所以24.又因为ABDACD，ABAC，所以ABEACD在运用弦切角时，首先应根据弦切角的概念准确地找出弦切角，然后运用弦切角进行相关的计算、论证弦切角的运用主要体现在以下几个方面：(1)证明角相等由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需借助其他几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件(2)证明直线平行弦切角定理构建了角与角的相等关系，而直线的平行是以角的关系为基本条件的，因而在圆中我们可以利用弦切角定理来推理论证直线的平行如图所示，若CD切圆O于点M，弦AM与弦BM相等，则由CMAB，AB得到CMAA，从而CDAB(3)证明线段相等借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等(4)证明三角形相似在圆中有丰富的相等的角，利用这些相等的角我们能找出许多与圆有关的相似三角形，进而能得到许多线段的数量关系因而，充分利用圆的有关性质定理如圆周角定理、圆内接四边形性质定理、弦切角定理等结论，架设与三角形有关问题的桥梁，达到解决问题的目的由此可见，弦切角是很重要的与圆相关的角其主要功能在于协调与圆相关的各种角(如圆心角、圆周角等)，是架设圆与三角形全等、三角形相似、与圆相关的各种直线(如弦、割线、切线)位置关系的桥梁，因而弦切角也是证明与圆有关的几何定理的关键环节(如证明切割线定理)