19.1 函数函数教学目标教学目标1. 结合实例，了解常量、变量的意义，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）2. 通过动手实践与探索，让学生经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型. 3. 引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情 教学重点教学重点函数图象的画法教学难点教学难点函数概念中的“单值对应”变量与函数变量与函数 先请思考下面几个问题： （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h填写下表，s 的值随 t 的值的变化而变化吗？t /h12345s/ km （2）电影票的售价为10元/张第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y 的值随 x 的值的变化而变化吗？ （3）你见过水中涟漪吗？如下图，圆形水波慢慢地扩大在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的值的变化而变化吗？ （4）用10 m长的绳子围一个矩形当矩形的一边长 x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 这些问题反映了不同事物的变化过程其中有些量的数值是变化的，例如时间 t，路程 s；售出票数x，票房收入 y 有些量的数值是始终不变的，例如速度 60 km/h，票价 10元/张在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量变量，数值始终不变的量为常量常量 练习答案 （1）变量x，y；常量4. （2）变量t，w；常量0.2，30. （3）变量r，C；常量 . （4）变量x，y；常量10. 问题（问题（1） （4）中是否各有两个变量？同一个问）中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？题中的变量之间有什么联系？思考思考 在问题（1）中，观察填出的表格，可以发现：t和 s 是两个变量，每当t 取定一个值时，s 就有唯一确定的值与其对应例如 t，则 s60；t，则 s120t5，则s300 在问题（2）中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应例如，若x150，则y1 500；若x205，则y2 050；若x310，则y3 100 在问题（3）中，可以发现：r和S是两个变量，每当r 取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应它们的关系式为Sr2据此可以算出r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，S分别为100 cm2，400 cm2，900cm2 在问题（4）中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应它们的关系式为 y5x据此可以算出 x 分别为 3 m，3.5m，4m，4.5m时，y分别为2m，1.5m，1m，0.5m 上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应. .归纳归纳 一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间有上面那样的关系思考思考 （1）下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标）下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标表示时间，纵坐标 y表示心脏部位的生物电流，它们是两表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量在心电图中，对于个变量在心电图中，对于x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y都有唯都有唯一确定的值与其对应吗？一确定的值与其对应吗？ （2）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量以分别记作两个变量x与与y对于表中每一个确定的年份对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数，都对应着一个确定的人口数y吗？吗？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与 y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量自变量，y是x的函数函数如果当xa时yb，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值函数值 可以认为：在前面问题（1）中，时间t是自变量，路程s是t的函数，当t1时，函数值s60，当t2时，函数值s120；在心电图中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x2010时，函数值y13.71 从上面可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示 例例1 汽车油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶路程 x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km （1）写出表示y与x的函数关系的式子； （2）指出自变量x的取值范围； （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 解：解：（1）行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量y是 x 的函数，它们的关系为y500.1x （2）仅从式子 y500.1x 看，x 可以取任意实数但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即0.1x 50 因此，自变量x的取值范围是0x500 （3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y500.1x在x200时的函数值将x200代入y500.1x ，得y500.120030 汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油 像y500.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法这种式子叫做函数的解析式解析式 练习答案 1. （1）自变量x，函数S，Sx2. （2）自变量x，函数y，y0.1x. （3）自变量n，函数y，y . （4）自变量t，函数V，V100.05t. 2. S ,即S x 3，2x 5.函数的图象函数的图象 有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 例如，正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为Sx2根据问题的实际意义，可知自变量x 的取值范围是x0我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与 x 的关系 计算并填写下表x00.511.522.533.54S00.251 如下图，在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示当x2时，S4 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象图象上图的曲线即函数Sx2 （x0）的图象 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温某天气温 T如何随时间如何随时间 t 的变化而变化你从图象中得到的变化而变化你从图象中得到了哪些信息？了哪些信息？思考思考 可以认为，气温T是时间t 的函数，上图是这个函数的图象由图象可知： （1）这一天中凌晨4时气温最低（3），14时气温最高（8） （2）从 0 时至4 时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态 （3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少 例例2 如右图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家下图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系 根据图象回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？ （3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ （4）小明读报用了多少时间？ （5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 分析分析：小明离家的距离小明离家的距离y是时间是时间x的函数由图象中有的函数由图象中有两段平行于两段平行于x 轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后轴的线段可知，小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里停留在食堂与图书馆里 解解：（1）由纵坐标看出，食堂离小明家0.6 km；由横坐标看出，小明从家到食堂用了8 min （2）由横坐标看出，25817，小明吃早餐用了17 min （3）由纵坐标看出，0.80.60.2，食堂离图书馆0.2 km；由横坐标看出，28253，小明从食堂到图书馆用了3 min （4）由横坐标看出，582830，小明读报用了30 min （5）由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8 km；由横坐标看出，685810，小明从图书馆回家用了10 min，由此算出平均速度是0.08 km/min 例例3 在式子 yx0.5 中，对于x 的每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即 y 是 x的函数，画出这个函数的图象. 解解：从式子 yx0.5可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数. 从x的取值范围中选出一些数值，算出y的对应值，列表如下. x3210123y2.51.50.50.51.52.53.5 根据表中数值描点（x，y），并用平滑的曲线连接这些点（下图）. 从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，yx0.5随之增大.归纳归纳 描点法画函数图象的一般步骤如下：描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表第一步，列表表中给出一些自变量的值及其对应表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；的函数值； 第二步，描点第二步，描点在直角坐标系中，以自变量的值为在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；各点； 第三步，连线第三步，连线按照横坐标由小到大的顺序，把所按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来描出的各点用平滑曲线连接起来 练习答案 1. （1）图象略； （2）点A，B不在图象上，点C在图象上. 2. （1）7时，12时； （2）07时，1224时上海气温高，712时上海气温 低. 3. （1）图象略； （2）x0，y 随 x 增大而减小； x0， y 随 x 增大而 增大. 由上可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数这三种表示函数的方法，分别称为解析式法、列表法和图象法思考思考 从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？什么优点？ 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法 例例4 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y 表示水位高度t/h012345y/m33.33.63.94.24.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？ （2）水位高度y是否为时间t的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象这个函数能表示水位的变化规律吗？ （3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将为多少米 解解：（1）如下图，描出上表中数据对应的点可以看出，这 6 个点在一条直线上再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3 m由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻（如t2.5 h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的 （2）由于水位在最近5 h内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度y都有唯一的值与其对应，所以y是t的函数开始时水位高度为3 m，以后每小时水位上升0.3 m函数y0.3t3（0t5）是符合表中数据的一个函数，它表示经过t h水位上升0.3t m，即水位 y为（0.3t3）m其图象是下图中点A（0，3）和点B（5，4.5）之间的线段AB 如果在这5 h 内，水位一直匀速上升，即升速为0.3 m/h，那么函数y0.3t3（0t5）就精确地表示了这种变化规律即使在这5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3 m 是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律 （3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2 h，即 t527 （h）时，水位高度y0.3735.1（m） 把该例第一幅图中的函数图象（线段AB）向右延伸到 t7 所对应的位置，得到第二幅图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1 m 练习答案 1. m180(n2) ，n3. 2. l3a (a0). 图象略. 3. 是函数. s20025t(0t8). 8 min后船到码头. 图象略.边数边数n345内角和内角和m/度度180360540再见！再见！