第15讲导数的意义及运算考纲要求考点分布考情风向标1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能利用给出的 8 个基本初等导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数仅限于形如 f(axb)的复合函数的导数2012 年新课标第 13 题考查导数的几何意义与直线方程；2013 年新课标第 20 题(1)(2)考查导数的几何意义、单调性、极大值等；2013 年大纲第 10 题考查导数切线的几何意义；2015 年新课标第 14 题以三次函数为背景，考查导数切线的几何意义；2016 年新课标第 16 题、山东第 10题考查导数的几何意义与直线方程；2017 年新课标第 14 题考查导数的几何意义.本节复习时，应充分利用实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则对某些函数进行求导1.函数导数的定义2.导数的几何意义和物理意义(1)导数的几何意义：函数yf(x)在x0处的导数f(x0)的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是ss(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时速度为vs(t0).如果物体运动的速度随时间变化的规律是vv(t)，那么该物体在时刻t0的瞬时加速度为av(t0).原函数导函数f(x)Cf(x)_f(x)x(Q*)f(x)_(Q*)f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)_f(x)ax(a0)f(x)axln a(a0)f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)ln xf(x)_3.基本初等函数的导数公式表0x1sin xex4.运算法则u(x)v(x)u(x)_v(x)；u(x)v(x)_；u(x)v(x)u(x)v(x)1.已知函数f(x)42x2，则f(x)( )A.4xB.8xC.82xD.16x2.若f(x)在x0处可导，则f(x0)( )CA3.(2017 年广东广州一模)设函数 f(x)x3ax2，若曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为()A.(0,0)B.(1，1)C.(1,1)D.(1，1)或(1,1)答案：D考点 1 导数的概念例 1：设 f(x)在 x0处可导，下列式子与f(x0)相等的是()A.B.C.D.所以正确.故选 B.答案：B【规律方法】本题需直接变换出导数的定义式其中k(一般用x 表示)可正可负，定义式的关键是一定要保证分子与分母中k 的一致性.【互动探究】A考点 2 导数的计算例 2：(1)(2017 年湖北荆州沙市中学统测)若f(x)x(2017ln x)，f(x0)2018，则x0()A.e2B.1C.ln 2D.e解析：f(x)x(2017ln x)2017xxln x，f(x)20171ln x2018ln x.f(x0)2018，f(x0)2018ln x02018.ln x00ln 1.x01.故选B.答案：B(2)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2).令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)6.答案：6【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x，而f()x2sin 的自变量为.【互动探究】答案：A考点 3 导数的意义考向 1 导数的物理意义答案：D考向 2 导数的几何意义211.所以在(1,2)处的切线方程为 y21(x1)，即 yx1.答案：yx1(2)(2017 年天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_.所以在点(1，a)处的切线为 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x1.所以 l 在 y 轴上的截距为 1.答案：1(3)(2015 年新课标)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：因为 f(x)3ax21，所以f(1)3a1.即切线斜率 k3a1.又因为 f(1)a2，所以切点为(1，a2).因为切线过点(2,7)，所以a27123a1.解得 a1.答案：1(4)(2015 年陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点处的切线垂直，则点 P 的坐标为_.答案：(1,1)【规律方法】求曲线 yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错、易混、易漏混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误例题：已知函数f(x)ax3bx23x在 x1 处取得极值，若过点 A(0,16)作曲线 yf(x)的切线，则切线方程为_.正解： f(x)3ax22bx3，由题意 x1 是方程 f(x)0 的根，曲线方程为 yx33x ，点 A(0,16)不在曲线上.答案：9xy160【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公共点，显然直线 x1 不是切线”.(2)求曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方程，其方法如下：求出函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)，即函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(3)求过点P(x0，y0)(该点不一定为切点)且与曲线 yf(x)相切的切线方程，其方法如下： 设切点A(xA，yA)，求切线的斜率kf(xA)；出xA ，进而求出切线方程.