立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国第第六六章章不不等等式式立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国6.3 不等式的证明不等式的证明考考点点搜搜索索比较法比较法综合法综合法分析法分析法反证法反证法放缩法放缩法换元法换元法判别式法判别式法立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国高高考考猜猜想想 不等式的证明近年来高考虽然淡不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题频繁出现，的、与证明有关的综合题频繁出现，常常与函数、数列、三角函数等综合，常常与函数、数列、三角函数等综合，考查逻辑推理能力，是高考常考的一考查逻辑推理能力，是高考常考的一项重要内容项重要内容.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 一、比较法 1.作差比较法 要证不等式ab(或ab)，只需证a-b0(或a-b0)即可.其步骤为： 作差变形(常用变形方法有：通分，因式分解，配方等)判断(各因式大于或小于0). 2.作商比较法 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时可采用作商比较法.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 若b0,欲证ab,只需证 1;欲证ab,只需证 1.其步骤为： 作商变形判断(大于或小于1). 二、综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的基本性质推导出欲证的不等式(由因导果). 在证明时,还常要用到以下证题依据：立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国1.若a，bR，则|a|0，a20，(a-b)20.2.若a，b同号，则3.平方和不等式：若a，bR，则a2+b24.均值不等式：若a，b均为正数，则若a，bR，则a2+b22ab.5.倒数和不等式：若a，b均为正数，则立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 三、分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手，逐步寻求所需条件成立的充分条件，直至所需的条件已知正确时为止，明显地表现出“执果索因”. 四、反证法 假设所证不等式不成立，结合已知条件和不等式的基本性质推出一个矛盾的结论，从而得出所证不等式成立.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 五、用放缩法证明不等式经常用到的方法技巧有： 1. _ _ . 2. _ _ ； _ _ . 盘点指南：=;=;= =立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 若a、b是正数，则 这四个数的大小顺序是( )立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 解：可设a=1，b=2，则立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 设0x1,则 中最大的一个是( ) A. a B. b C. c D. 不能确定 解：因为0x1，所以1+x 所以只需比较1+x与 的大小. 因为 所以C立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 对实数a和x而言，不等式x3+13a2x5ax2+9a3成立的充要条件是_. 解：(x3+13a2x)-(5ax2+9a3) =x3-5ax2+13a2x-9a3 =(x-a)(x2-4ax+9a2) =(x-a)(x-2a)2+5a20.因为当x2a0时，有(x-2a)2+5a20.由题意知只需x-a0，即xa，以上过程可逆.xa立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 1. 已知ABC的外接圆半径R=1，SABC = ，a、b、c是三角形的三边，令 求证：ts. 证明：题型题型1 用均值不等式证明不等式用均值不等式证明不等式第一课时第一课时立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 又因为R=1，SABC = ,所以abc=1. 所以 所以st,且t=s的条件是a=b=c=1，此时SABC = 与已知矛盾.所以ts. 点评：本题考查均值不等式的应用.应用均值不等式证明时，注意构造成应用均值不等式的形式.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 已知a、b ，求证： 证明：因为a、bR+， 所以 所以立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 2. 已知a0，b0，求证: 证法1： 因为a0，b0，所以 所以 题型题型2 用比较法证不等式用比较法证不等式立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 证法2:由于 且 所以有 证法3:因为 所以 故立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 点评：比较法分差值比较法与商值比较法两种，用比较法证不等式的关键在于作差(商)后的变形，注意因式分解、通分、配方等变形的运用，变形的方向就是有利于式子与0(或1)的比较.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 已知函数f(x)=x2+ax+b(a、bR)，当实数p、q满足p+q=1时，试证明：pf(x)+qf(y)f(px+qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是0p1. 证明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2-2pqxy+q(1-q)y2 =pqx2-2pqxy+pqy2=pq(x-y)2.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国充分性：若0p1，则q=1-p0，1，所以pq(x-y)20，故pf(x)+qf(y)f(px+qy).必要性：若pf(x)+qf(y)f(px+qy),则pq(x-y)20.因为(x-y)20，所以pq0，即p(1-p)0，所以0p1.综上所述，原命题成立.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 3. 已知a0，b0，c0，a，b，c不全相等，求证： 证明：因为a0，b0，c0， 所以 又因为a，b，c不全相等，所以上面三式不能全取等号， 三式相加得 题型题型3 用综合法证不等式用综合法证不等式立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 已知x，y，z是互不相等的正数，且x+y+z=1，求证: 证明：因为x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1， 所以 又因为0x1,所以 同理, 将三式相乘,得立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 已知函数f(x)=|1- |，若ba0，且f(a)=f(b)，证明：ab1. 证明：由已知，当x1时，f(x)=1- ; 当0x1时，f(x)= -1. 所以f(x)在(0，1上是减函数，在1，+)上是增函数.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 因为ba0，f(a)=f(b)，所以0a1b，且 即 即a+b=2ab. 因为a0，b0，ab， 所以a+b2 ，从而2ab2 0， 所以 1，即ab1. 立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第高中总复习（第1 1轮）轮） 文科数学文科数学 全国全国 1. 作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断. 2. 综合法证明不等式，主要利用重要不等式，函数的单调性及不等式的性质，在严密的演绎推理下推导出结论.