第二十周面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。例题 1。如图 201 所示，求图中阴影部分的面积。【思路导航】解法一 ：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图202） ，等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20210 厘米【3.141021410（ 102） 】 2107 （平方厘米）答：阴影部分的面积是107 平方厘米。解法二 ：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90 度后，阴影部分的面积就变为从半径为10 厘米的半圆面积中， 减去两直角边为10 厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。（202）212（20 2）212107 （平方厘米）答：阴影部分的面积是107 平方厘米。练习 1 1、如图 204 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2、如图 205 所示，用一张斜边为29 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49 厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？4510 201 454510 20 2 203 4545456 C B A D 205 49 29 49 29 49 例题 2。如图 206 所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。【思路导航】解法一 ：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图207 所示。3.146214（ 643.14 4214） 16.82 （平方厘米）解法二 ：把阴影部分看作 （1）和（ 2）两部分如图208 所示。 把大、 小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。3.14 4214+3.14 62144616.28 （平方厘米）答：阴影部分的面积是16.82 平方厘米。练习 2 1、如图 209 所示， ABC 是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。2、如图 2010 所示，三角形ABC 是直角三角形，AC 长 4 厘米， BC 长 2 厘米。 以 AC 、BC 为直径画半圆，两个半圆的交点在AB 边上。求图中阴影部分的面积。3、如图 2011 所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6 厘米和 8 厘米，高为5.2 厘米。求图中阴影部分的面积。例题 3。在图 2012 中，正方形的边长是10 厘米，求图中阴影部分的面积。【思路导航】解法一 ：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图2013 所示） ，再用正方形的面积减去全部空白部分。空白部分的一半：1010（ 102）23.14 21.5 （平方厘米）204 206 6 4 减去a 207 208 （1）（ 2）加减2 A B C 209 A B C D 2010 602011 2012 20 13 2014 分图形进行平移翻折或旋转化难为易有些图形可以根据容斥问题的原理来解答在圆的半径用小学知识无法求出时可以把整体地代入面积公式求面积例题如图所示求图中阴影部分的面积思路导航解法一阴影部分的一半可以看做是扇形平方厘米答阴影部分的面积是平方厘米解法二以等腰三角形底的中为中心把图的右半部分向下旋转度后阴影部分的面积就变为从半径为厘米的半圆面积中减去两直角边为厘米的等腰直角三角形的面积所得的差答阴影部分的面积是平斜边为米的蓝色直角三角形纸片一张黄色的正方形纸片拼成一个直角三角形求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少厘例题如图所示求图中阴影部分的面积单位厘米减去思路导航解法一先用长方形的面积减去小扇形的面积得空白部分阴影部分的面积：1010 21.5 257 （平方厘米）解法二 ：把图中 8 个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图 2014 所示） ，而8 个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。（ 102）23.142101057 （平方厘米）答：阴影部分的面积是57 平方厘米。练习 3 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。例题 4。在正方形 ABCD中， AC 6 厘米。求阴影部分的面积。【思路导航 】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出， AC 是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图 2018 所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD 的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。既是正方形的面积，又是半径的平方为：6（ 62） 2 18（平方厘米）阴影部分的面积为：1818 3.14 43.87 （平方厘米）答：阴影部分的面积是3.87 平方厘米。练习 4 1、如图 2019、20 20 所示，图形中正方形的面积都是50 平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。2、如图 2021 所示，正方形中对角线长10 厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。例题 5。在图 2022 的扇形中，正方形的面积是30 平方厘米。求阴影部分的面积。【思路导航 】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出， 所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以2015 10 2016 10 2017 4 3 5 2018 A B C D D C B A 20 19 2020 2021 20 22 B B A A 分图形进行平移翻折或旋转化难为易有些图形可以根据容斥问题的原理来解答在圆的半径用小学知识无法求出时可以把整体地代入面积公式求面积例题如图所示求图中阴影部分的面积思路导航解法一阴影部分的一半可以看做是扇形平方厘米答阴影部分的面积是平方厘米解法二以等腰三角形底的中为中心把图的右半部分向下旋转度后阴影部分的面积就变为从半径为厘米的半圆面积中减去两直角边为厘米的等腰直角三角形的面积所得的差答阴影部分的面积是平斜边为米的蓝色直角三角形纸片一张黄色的正方形纸片拼成一个直角三角形求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少厘例题如图所示求图中阴影部分的面积单位厘米减去思路导航解法一先用长方形的面积减去小扇形的面积得空白部分扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图2023 所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30260 平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。3.14（ 302）1430 17.1（平方厘米）答：阴影部分的面积是17.1 平方厘米。练习 5 1、如图 2024 所示，平行四边形的面积是100 平方厘米，求阴影部分的面积。2、如图 2025 所示， O 是小圆的圆心，CO 垂直于 AB, 三角形 ABC 的面积是45 平方厘米，求阴影部分的面积。3、如图 2026 所示，半圆的面积是62.8 平方厘米，求阴影部分的面积。答案：练 1 1、如图答 201 所示，因三角形BCD 中 BC 边上高等于BC 的一半，所以阴影部分的面积是： 623.14 453606（ 62）125.13 平方厘米2、如图答202 所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49 厘米和 29 厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：492912710.5 平方厘米练 2 1、如图答 203 所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。（2 2）23.14 1222 212 1.14 平方厘米2、思路与第一题相同（42）23.14 12+（22）23.14 124 212 3.85 平方厘米3、如图答 204 所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：【 （ 82+62） 3.14 6036085.2】 221715平方厘米练 3 1、如图答 205 所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：（10 2）23.14 1241010 57 平方厘米2、如图答 206 所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即： 1023.1445360+（102）23.14 12 10101228.5 平方厘米3、如图答 207 所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：（42）23.14 12+（32）23.1412+4 312（ 5 2）23.14126 平方厘米练 4 1、（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的14，所以阴影部分的面积是（ 504） 3.1439.25 平方厘米（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是2024 O B C D A 2025 C B A O 2026 45分图形进行平移翻折或旋转化难为易有些图形可以根据容斥问题的原理来解答在圆的半径用小学知识无法求出时可以把整体地代入面积公式求面积例题如图所示求图中阴影部分的面积思路导航解法一阴影部分的一半可以看做是扇形平方厘米答阴影部分的面积是平方厘米解法二以等腰三角形底的中为中心把图的右半部分向下旋转度后阴影部分的面积就变为从半径为厘米的半圆面积中减去两直角边为厘米的等腰直角三角形的面积所得的差答阴影部分的面积是平斜边为米的蓝色直角三角形纸片一张黄色的正方形纸片拼成一个直角三角形求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少厘例题如图所示求图中阴影部分的面积单位厘米减去思路导航解法一先用长方形的面积减去小扇形的面积得空白部分5050 3.14141075 平方厘米2、提示：仔细阅读例4，仿照例 4 先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。10（ 102） 3.1414210（ 102） 28.5 平方厘米练 5 1、如图答 208 所示，连结AC 可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是1002 3.1414100 1414.25 平方厘米2、如图答 209 所示，（1） 因为三角形ABC 的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45 3.141270.65 平方厘米（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的2 倍，所以大圆的面积的14是 4523.1414 70.65 平方厘米（3）弓形 AB 的面积是 70.65 45 25.65 平方厘米（4）阴影部分的面积是70.65 25.65 45 平方厘米3、如图答 2010 所示，（1）半圆半径的平方是62.8 2+3.14 40 平方厘米（2）三角形 AOB 的面积是40 220 平方厘米（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40 280 平方厘米（4）阴影部分的面积是803.14 453602011.4 平方厘米分图形进行平移翻折或旋转化难为易有些图形可以根据容斥问题的原理来解答在圆的半径用小学知识无法求出时可以把整体地代入面积公式求面积例题如图所示求图中阴影部分的面积思路导航解法一阴影部分的一半可以看做是扇形平方厘米答阴影部分的面积是平方厘米解法二以等腰三角形底的中为中心把图的右半部分向下旋转度后阴影部分的面积就变为从半径为厘米的半圆面积中减去两直角边为厘米的等腰直角三角形的面积所得的差答阴影部分的面积是平斜边为米的蓝色直角三角形纸片一张黄色的正方形纸片拼成一个直角三角形求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少厘例题如图所示求图中阴影部分的面积单位厘米减去思路导航解法一先用长方形的面积减去小扇形的面积得空白部分