2.4.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程复习回顾：复习回顾：椭圆、双曲线的第二定义：椭圆、双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数是常数e的点的轨迹，的点的轨迹，MFl0e 1lFMe1FMle=1当当e1时，时，当当e=1时，它又是什么曲线？时，它又是什么曲线？是椭圆是椭圆 .是双曲线是双曲线 .当当0e 1时，时， 如图，把一根直尺固定在图板内直线如图，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，把一块三角板的位置，把一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘再把一条细绳的一端固定于三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘再把一条细绳的一端固定于三角板的另一条直角边上的的另一条直角边上的A点，截取绳子的长等于点，截取绳子的长等于A到直线到直线l的距离，并的距离，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点且把绳子的另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线 .A 如图，把一根直尺固定在图板内直线如图，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，把一块三角板的位置，把一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘再把一条细绳的一端固定于三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘再把一条细绳的一端固定于三角板的另一条直角边上的的另一条直角边上的A点，截取绳子的长等于点，截取绳子的长等于A到直线到直线l的距离，并的距离，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点且把绳子的另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线 .这条曲线就叫做这条曲线就叫做抛物线抛物线这条曲线上任意一点这条曲线上任意一点M到到F的的距离与它到直线距离与它到直线l的距离相等的距离相等. A平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线.一、定义一、定义FMlN即：即：则点则点M的轨迹是的轨迹是抛物线抛物线 .定点定点F 叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点.定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线. 二、标准方程二、标准方程FMlN如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？设设KF= p (p0)， 点点 M(x，y)， 由定义，由定义，|MF|=|MN|如图，建立直角坐标系：如图，建立直角坐标系：xNNN（1）（2）（3）二、标准方程二、标准方程xyoFMlNK设设KF= p (p0)则则F（ ，0），），l：x = - p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），）， 由定义可知，由定义可知，|MF|=|MN|化简得化简得 y2 = 2px（p0）如图，建立直角坐标系：如图，建立直角坐标系： 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程。其中其中p为正常数，它的几何意义是：为正常数，它的几何意义是：它表示的抛物线的焦点在它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，轴的正半轴上，坐标是坐标是 ，它的准线方程是，它的准线方程是 xyoFMlNK焦点到准线的距离焦点到准线的距离但是，一条抛物线，由于它在坐标平面但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它线的标准方程还有其它形式形式。图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程四种抛物线的标准方程：四种抛物线的标准方程：四种抛物线的标准方程：四种抛物线的标准方程：例例1. （1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。解：解：（3）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是 y= 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程. 例例2. 求过点求过点 A（-3，2）的抛物线的标准方程）的抛物线的标准方程.AOyx解：解：当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在 y 轴轴当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，所求抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为的正半轴上时，的正半轴上时，代入代入x2 =2py，得，得 p= 把把 A（-3，2）把把A（-3，2）代入）代入 y2 = -2px，得得 p= 例例3. 点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线 l: x+5=0 的距离的距离小小 1，求点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。由已知，得由已知，得|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解解1：设设 M(x，y)，则，则解解2：由已知，得点由已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线由抛物线定义知：由抛物线定义知：所以点所以点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为焦点，为焦点，l: x=-4 的距离的距离.以直线以直线l: x=-4 为准线的抛物线为准线的抛物线.思思考考：在在抛抛物物线线 y2=8x 上上求求一一点点P，使使P到到焦焦点点F 的的距离与到距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。的距离的和最小，并求最小值。解：解：KxyQ2FO4P思考：思考： 当当| |PF|PQ| |为最大时，点为最大时，点P的坐标是的坐标是_