2.3.1 直线与平面垂直的判定观察图中立柱与地面观察图中立柱与地面, ,立柱与桥面之间是怎样立柱与桥面之间是怎样的位置关系的位置关系? ? 旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象的形象. .思考思考1 1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系. .A AB B1.1.旗杆所在的直线始终与旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直影子所在的直线垂直. .2.2.事实上，旗杆事实上，旗杆ABAB所在直线与所在直线与地面内任意一条不过点地面内任意一条不过点B B的的直线也是垂直的直线也是垂直的. .ABCBB1C1 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 如果直线如果直线l与平面与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面与平面互相垂互相垂直直, ,记作记作l. l平面平面的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面A A垂足垂足直线和平面垂直的画法直线和平面垂直的画法P注：注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直边垂直. .l思考思考2 2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？不一定不一定如图：如图：BCBCl“任何任何”表示所有表示所有. .直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足的交点叫做垂足. . 等价于对任意的直线等价于对任意的直线 ，都有，都有利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质最基本的性质. .【提升总结提升总结】请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过ABCABC的顶的顶点点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BDBD，DCDC与桌面与桌面接触）接触）. .A ABCD动手操作动手操作ABDC思考思考3 3 (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？(2)(2)如何翻折才能保证折痕如何翻折才能保证折痕ADAD与桌面所在平面与桌面所在平面垂直？垂直？当折痕当折痕ADBCADBC且翻折后且翻折后BDBD与与DCDC不在一条直线上时不在一条直线上时, ,折痕折痕ADAD与桌面所在平面垂直与桌面所在平面垂直. .ABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCABDCBDCA BD,CD BD,CD都在桌面内，都在桌面内，BDCD=DBDCD=D，ADCD,ADBD,ADCD,ADBD,直线直线ADAD所在的直线与桌面垂直所在的直线与桌面垂直mnP 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直线和平面垂直的判定定理直线和平面垂直的判定定理mnP符号表示：符号表示：“平面内平面内”，“相交相交”，“垂直垂直”三个条件必不可少三个条件必不可少简记为：线线垂直简记为：线线垂直 线面垂直线面垂直定理补充定理补充例例1 1 如图，已知如图，已知abab，aa，求证：，求证：b.b.分析：在平面内作两条相交直线分析：在平面内作两条相交直线. .是两条相交直线，是两条相交直线，直线直线m m，n n证明：在平面证明：在平面 内作两条相交内作两条相交因为直线因为直线 根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知又因为又因为所以所以又因为又因为所以所以结论：结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面. .例例2：正方体：正方体 中，求证中，求证: . 下列命下列命题中正确的个数是中正确的个数是( () )如果直如果直线l与平面与平面内的无数条直内的无数条直线垂直，垂直，则l；如果直如果直线l与平面与平面内的一条直内的一条直线垂直，垂直，则l；如果直如果直线l不垂直于不垂直于，则内没有与内没有与l垂直的直垂直的直线；如果直如果直线l不垂直于不垂直于，则内也可以有无数条直内也可以有无数条直线与与l垂直垂直A A0 0B B1 1C C2 2D D3 3B B【变式练习变式练习】OPA斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAOPAO）射影射影关键：关键：过斜线上一点作平面的垂线过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角线面所成的角一条直线垂直于平面，它们所一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角成的角是直角. .一条直线在平面内，或与平面平行，它们所一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是成的角是0 0的角的角. .【提升总结提升总结】A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例例3 3 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求直线中，求直线A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. .分析分析: :找出直线找出直线A A1 1B B在在平面平面A A1 1B B1 1CDCD内的射影内的射影, ,就可就可以求出以求出A A1 1B B和和平面平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. .O O例例4 如图，如图，AB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B为斜足，为斜足，AO 平面平面，垂足为，垂足为O，直线，直线BC在平在平面面内，已知内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线，求斜线AB和平面和平面所成的角所成的角.VABCVA= VC，AB=BC,ABCV-求证求证: : VB AC. .中，中，在三棱锥在三棱锥1. 1. 如图，如图，提示：找提示：找ACAC中点中点D,D,连接连接VD,BDVD,BD【变式练习变式练习】中中外外垂垂1 1下列下列说法中法中错误的是的是( () )如果一条直如果一条直线和平面内的一条直和平面内的一条直线垂直，垂直，该直直线与与这个平面必相交；个平面必相交；如果一条直如果一条直线和平面的一条平行和平面的一条平行线垂直，垂直，该直直线必在必在这个平面内；个平面内；如果一条直如果一条直线和和平面的一条垂平面的一条垂线垂直，垂直，该直直线必定在必定在这个平面内；个平面内；如果一条直如果一条直线和一个平面垂直，和一个平面垂直，该直直线垂直于平面垂直于平面内的任何直内的任何直线A A B BC C D DD D2 2一条直一条直线和平面所成角和平面所成角为，那么，那么的取的取值范范围 是是 ( () ) A A0090 B90 B009090 C C009090 D D00180180【解析解析】由线面角的定义知由线面角的定义知B B正确正确B B90 直线与平面垂直直线与平面垂直判定定理判定定理及应用及应用定义定义直线与平面所成的角直线与平面所成的角转化思想：线面垂直转化思想：线面垂直 线线垂直线线垂直定义定义判定定理判定定理 不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。