6.3 6.3 正方形正方形2002年世界数学大会会标年世界数学大会会标1 1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？图的正方形孔吗？正方形正方形矩形矩形2 2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？邻边相等的矩形邻边相等的矩形正方形正方形菱形菱形想一想想一想菱形经这样变化能成为正方形呢？菱形经这样变化能成为正方形呢？一个角是直角的菱形一个角是直角的菱形平行四边形平行四边形正方形正方形矩形矩形菱形菱形一组邻边相一组邻边相等等一组邻边相一组邻边相等等一内角是直一内角是直角角一内角是直一内角是直角角平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角定义：定义：一组一组邻边相等邻边相等，且有，且有一个角是直角一个角是直角的平行四边的平行四边形叫做形叫做正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。形，也是特殊的菱形。边边: 对边平行对边平行 四边相等四边相等角角 ：四个角都是直角四个角都是直角对角线：对角线： 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形 你觉得什么样的四边形是正方形呢你觉得什么样的四边形是正方形呢?( ?( 判断一个判断一个四边形是正方形有哪些方法？）四边形是正方形有哪些方法？）议一议议一议(1)(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（ ）(2)(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）(3)(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(4)(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(5)(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（ ）试一试试一试1 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A A）四条边相等）四条边相等 （B B）对角线互相垂直平分）对角线互相垂直平分 （C C）对角线平分一组对角（）对角线平分一组对角（D D）对角线相等）对角线相等2 2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） （A A）四个角相等）四个角相等 （B B）对角线互相垂直平分）对角线互相垂直平分 （C C）对角线相等）对角线相等 （D D）对角互补）对角互补3 3、如图：正方形、如图：正方形ABCDABCD的周长为的周长为15cm15cm，则矩形，则矩形EFCGEFCG的周的周长为长为 cmcm。 ABCDEGFD DB B7.57.5试一试试一试已知：如图正方形已知：如图正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O。求证：求证： ABO BCO CDO ADOABO BCO CDO ADO 例例1 1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形。全等的等腰直角三角形。例例2 2、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于O O，MNABMNAB且且MNMN分别交分别交OAOA、OBOB于于M M、N N，求证：，求证：BMBMCNCN。 证明：证明：OAOAOMOMOBOBONONOMOMONONOMNOMN1133ONMONM4545又又MNABMNAB1122334545OAOAOB AB=BCOB AB=BC四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形即：即：AM=BNAM=BNABMBCNABMBCNBM=CNBM=CN1.1.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相相交于点交于点O O，且，且ABAB2cm2cm，则，则AC=AC= , , 正方形的面积正方形的面积S=_.S=_. 224 46 636362.2.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面积面积S=S=_. .则边长则边长ABAB_, , 3 3、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的周长为的周长为15cm15cm，则矩形，则矩形EFCGEFCG的周长为的周长为 cmcm。例例3 3、 直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四边形四边形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( ) DE=DF( )DEACDEAC， DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形( )( )而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90， DFC=90DFC=90证明：证明： DEAC DEAC，DFABDFAB例例4 4、已知：如图、已知：如图(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F F为为CDCD延长线上一延长线上一点，点，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求证：求证：MFDMFD4545证明：证明：DM=DFDM=DFRtCDMRtADFRtCDMRtADF(AAS)(AAS)又又CDCDADAD，ADFADFMDC=RtMDC=Rt1122CMDCMDAMEAMEADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD45451 1、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正方形的一边为正方形的一边在同一侧作正方形在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延长延长BDBD交交AFAF于于H H。求证：求证：(1) ACFDCB (2(1) ACFDCB (2) BHAF) BHAF 练一练练一练2 2、如图、如图(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连，连结结BGBG、CECE，交点为，交点为N N。求证：求证：CEACEAABGABG 证明：证明：四边形四边形ABDEABDE和四边形和四边形ACFGACFG是正方形。是正方形。AEAEABABAGAGACAC11229090又又EACEAC11BACBAC9090BACBACBAGBAG22BACBAC9090BACBAC EACEACBAGBAG AECABGAECABG(SAS)(SAS) CEACEAABGABG3 3、在正方形中，点、在正方形中，点 ， ， ， 分别在分别在，上，且，上，且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DCBADCBAA AB BC CD DE EF FG G4 4、如图，点、如图，点E E、F F在正方形在正方形ABCDABCD的边的边BCBC、CDCD上，上，BE=CFBE=CF，探索图中，探索图中AEAE与与BFBF的关系。的关系。ABDCFE5 5、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E在在BCBC的延长线上，的延长线上，且且CE=ACCE=AC，AEAE交交CDCD于于F F，则求，则求AFCAFC的度数。的度数。6 6、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件, ,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形. .请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线, ,无需证明无需证明) )1 1、通过这节课的学习活动、通过这节课的学习活动 你有哪些收获？你有哪些收获？2 2、你还有什么想法？、你还有什么想法？1 1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）？（至少说出三种） 课外拓展：课外拓展：2 2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由图，由6 6个颜色不同的正方形组成，若中间最小个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为的一个正方形边长为1 1，你能求这矩形色块的面，你能求这矩形色块的面积吗？积吗？课外拓展：课外拓展：