第第 3 3 章章 扭 转（Torsion)Torsion)（第二讲）（第二讲）工程中的三类问题工程中的三类问题 在已知荷载、构件的截面尺寸以及材料的在已知荷载、构件的截面尺寸以及材料的情况下，对构件进行强度、刚度校核。即情况下，对构件进行强度、刚度校核。即 1. 1. 强度、刚度校核强度、刚度校核2. 2. 截面设计截面设计 在已知荷载和选定了构件所用材料后，可在已知荷载和选定了构件所用材料后，可确定构件所需的横截面面积。即确定构件所需的横截面面积。即 由强度、刚度求得二个面积，取大的面积作为由强度、刚度求得二个面积，取大的面积作为容许使用面积。容许使用面积。 3. 3. 计算容许荷载计算容许荷载 在已知构件横截面面积及材料的容许条件下，在已知构件横截面面积及材料的容许条件下，可确定构件能够承受的荷载。即可确定构件能够承受的荷载。即 由强度、刚度条件所求得的二个荷载，应由强度、刚度条件所求得的二个荷载，应取小的荷载作为容许荷载。取小的荷载作为容许荷载。 3-5 等值等值圆杆扭转时的变形刚圆杆扭转时的变形刚度条件度条件 微段变形微段变形=d d d dxTGIp pd d =d dxTGIp p1 1、圆轴扭转时的变形、圆轴扭转时的变形TT 整整体体变变形形ABTGIp pl微段变形累加的结果微段变形累加的结果若若T=Const，等直杆，则等直杆，则扭转角扭转角若为阶梯轴，则若为阶梯轴，则TT1 1、圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形GIp 扭转刚度扭转刚度Me2Me1llCBA例：圆轴直径例：圆轴直径d=100mm，l=0.5m， Me1 =7kNm，Me2= 5kNm，G=82GPa，求求C截面对截面对A截面的相对截面的相对扭转角。扭转角。+-2kNm5kNm解：解：x（负号表示从（负号表示从x轴正向看去，轴正向看去，C截面相对截面相对于于A截面顺时针转动）截面顺时针转动）扭矩图：扭矩图：解：解：O1截面：截面：由由 = 0.28例：直径例：直径d=50mm的等直圆杆，在自由的等直圆杆，在自由端截面上受到矩为端截面上受到矩为Me=12kNm的外力偶的外力偶作用。而在圆杆表面上的作用。而在圆杆表面上的A点将位移到点将位移到A1点，已知点，已知E=200GPa，求泊松比求泊松比 。Me1m0.5mAA1O1O2O例：直径例：直径d=25mm的等直圆钢杆，受轴向拉力的等直圆钢杆，受轴向拉力 60kN作用时，在标距为作用时，在标距为200mm的长度内伸长了的长度内伸长了0.113mm；当它受一对矩为当它受一对矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，在的外力偶作用而扭转时，在标距为标距为200mm的长度内扭转了的长度内扭转了0.732o的角度。求钢材的角度。求钢材的弹性常数的弹性常数E、G和和 。解：解：例：直径例：直径d=25mm的等直圆钢杆，受轴向拉力的等直圆钢杆，受轴向拉力 60kN作用时，作用时，在标距为在标距为200mm的长度内伸长了的长度内伸长了0.113mm；当它受一对矩为；当它受一对矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，在标距为的外力偶作用而扭转时，在标距为200mm的长度内的长度内扭转了扭转了0.732o的角度。求钢材的弹性常数的角度。求钢材的弹性常数E、G和和 。0.732o=G=81.7GPa由由 = 0.322 2、圆轴扭转时的刚度条件、圆轴扭转时的刚度条件 扭转构件除了需满足强度条件外，还需扭转构件除了需满足强度条件外，还需对它的扭转变形加以限制，即要满足刚度方对它的扭转变形加以限制，即要满足刚度方面的要求，否则就不能正常工作。为了准确面的要求，否则就不能正常工作。为了准确反映轴的扭转变形，工程中通常采用单位长反映轴的扭转变形，工程中通常采用单位长度内的扭转角来度量变形的程度，即度内的扭转角来度量变形的程度，即d d d dx=TGIp p刚度条件：刚度条件：为单位长度的许用扭转角为单位长度的许用扭转角单位：弧度单位：弧度/米（米（rad/m）工程中常采用度工程中常采用度/米（米（o/m），），则刚度条件可变换为则刚度条件可变换为2 2、圆轴扭转时的刚度条件、圆轴扭转时的刚度条件2、圆轴扭转时的刚度条件、圆轴扭转时的刚度条件刚度条件刚度条件中，应注意单位的统一。中，应注意单位的统一。的单位分别为的单位分别为N.m，Pa,M1M2M3ABC123500400例：传动轴的转速例：传动轴的转速 n=500r/min，主动轮，主动轮1的输入功率的输入功率P1=500马力，从动轮马力，从动轮2、3的输出功率分别为的输出功率分别为P2=200马马力，力， P3=300马力，已知马力，已知（1）试确定）试确定AB段的直径段的直径d1和和BC段的直径段的直径d2。（2）若）若AB和和BC两段选用两段选用同一直径，试确定直径同一直径，试确定直径d。（3）主动轮和从动轮如何主动轮和从动轮如何安排才比较合理。安排才比较合理。M1M2M3ABC123500400例：例：n=500r/min，P1=500马力，马力，P2=200马力，马力， P3=300马力，已马力，已知知（1）试确定）试确定AB段的直径段的直径d1和和BC段的直径段的直径d2。（2）若）若AB和和BC两段选用同一两段选用同一直径，试确定直径直径，试确定直径d。（3）主动轮和从动轮如何安排主动轮和从动轮如何安排才比较合理。才比较合理。解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩-7030Nm4220Nm扭矩图：扭矩图：（1）确定）确定AB段的直径段的直径d1和和BC段的直径段的直径d2根据强度条件：根据强度条件：可确定可确定AB段的直径段的直径：M1M2M3ABC123500400-7030Nm4220Nm例：例：n=500r/min，P1=500马力，马力，P2=200马力，马力， P3=300马力，已马力，已知知根据强度条件：根据强度条件：根据刚度条件：根据刚度条件：可确定可确定AB段的直径段的直径：取取d1=85mmM1M2M3ABC123500400-7030Nm4220Nm例：例：n=500r/min，P1=500马力，马力，P2=200马力，马力， P3=300马力，已马力，已知知根据强度条件确定根据强度条件确定BC段的直径：段的直径：根据刚度条件确定根据刚度条件确定BC段的直径：段的直径：取取d2=75mm例：例：n=500r/min，P1=500马力，马力，P2=200马力，马力， P3=300马力，已马力，已知知M1M2M3ABC123500400-7030Nm4220NmMe1Me2Me3BAC500400（2）若若AB和和BC两段选用同两段选用同一直径，轴的直径取一直径，轴的直径取d=85mm（3）主动轮和从动轮任何安排主动轮和从动轮任何安排才比较合理？才比较合理？ 主动轮放在两从动轮之间，主动轮放在两从动轮之间，可使最大扭矩取最小值，所以可使最大扭矩取最小值，所以这种安排较合理。这种安排较合理。+-2810Nm4220NmM1M2M3ABC123500400例：例：n=500r/min，P1=500马力，马力，P2=200马力，马力， P3=300马力，已马力，已知知3-6 等值等值圆杆扭转时的应变能圆杆扭转时的应变能剪切应变能剪切应变能 固体受外力作用而变形。在变形过程中，固体受外力作用而变形。在变形过程中，外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当外力逐渐减小时，变形逐渐恢复，固体又将当外力逐渐减小时，变形逐渐恢复，固体又将释放出储存的能量而作功。释放出储存的能量而作功。 固体在外力作用下，因变形而储存的能量固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为称为应变能应变能。 由功能原理，固体的应变能由功能原理，固体的应变能V在数值上等在数值上等于外力所作的功于外力所作的功WV= Wdxdydzxyz 设左侧面固定，则右侧面剪力为设左侧面固定，则右侧面剪力为右侧面向下错动的距离为右侧面向下错动的距离为剪切应变能密度剪切应变能密度剪切胡克定律剪切胡克定律这表明这表明v v等于等于- -曲线下的曲线下的面积面积应用应用柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 螺旋弹簧簧丝的轴线是一螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形条空间螺旋线，其应力和变形很复杂。但当螺旋角很复杂。但当螺旋角很小时（很小时（ 50)，便可省略，便可省略的影响，认的影响，认为簧丝横截面与弹簧轴线在同为簧丝横截面与弹簧轴线在同一平面内。这种弹簧称为一平面内。这种弹簧称为密圈密圈螺旋弹簧。螺旋弹簧。应用应用圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形取簧丝的任意横截面取簧丝的任意横截面作研究对象，由平衡作研究对象，由平衡方程得方程得 FS=F，T=FD/2FS-簧丝横截面上的剪簧丝横截面上的剪力力T-横截面上的扭矩。横截面上的扭矩。一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力与剪力与剪力FS对应的切应力对应的切应力与扭矩与扭矩T对应的最大切对应的最大切应力应力在靠近内侧点在靠近内侧点A处，总应力最大处，总应力最大一、弹簧丝横截面上的应力一、弹簧丝横截面上的应力最大总应力最大总应力当当 时，可略去剪力（第一项）的影响时，可略去剪力（第一项）的影响 当当 时，需考虑剪力及簧丝曲率的影响，最大切应时，需考虑剪力及簧丝曲率的影响，最大切应力可用修正公式计算力可用修正公式计算C=D/d弹簧指数弹簧指数弹簧的强度条件弹簧的强度条件 二、弹簧的变形二、弹簧的变形应用应用圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形二、弹簧的变形二、弹簧的变形由由W=V，得，得其中其中R=D/2是弹簧圈的平均半径是弹簧圈的平均半径令令 弹簧刚度弹簧刚度例：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径例：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径D=300mm，簧丝横截面直径簧丝横截面直径d=30mm，有效圈数，有效圈数n=10，受力前，受力前弹簧的自由长度为弹簧的自由长度为400mm，材料的，材料的=140MPa，G=82GPa。试确定弹簧所能承受的压力（注意弹。试确定弹簧所能承受的压力（注意弹簧可能的压缩量）。簧可能的压缩量）。解：弹簧指数解：弹簧指数C=D/d=300/30=10由强度条件由强度条件 F4300N例：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径例：圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径D=300mm，簧丝横截，簧丝横截面直径面直径d=30mm，有效圈数，有效圈数n=10，受力前弹簧的自由长度为，受力前弹簧的自由长度为400mm，材料的，材料的=140MPa，G=82GPa。试确定弹簧所。试确定弹簧所能承受的压力（注意弹簧可能的压缩量）。能承受的压力（注意弹簧可能的压缩量）。F3070N弹簧的最大压缩量为弹簧的最大压缩量为 max=400-10d=100mm由刚度条件，则有由刚度条件，则有弹簧所能承受的压力弹簧所能承受的压力F=min4300, 3070=3070N3-7 等直非圆杆自由扭转的应非圆杆自由扭转的应力和变形力和变形矩形截面杆扭转切应力矩形截面杆扭转切应力变形特征变形特征变形特征变形特征 翘翘曲曲矩形截面杆扭转切应力矩形截面杆扭转切应力T由平衡直接得到的结论由平衡直接得到的结论角点切应力等于零角点切应力等于零边缘各点切应力边缘各点切应力沿切线方向沿切线方向矩形截面杆自由扭转时的切应力矩形截面杆自由扭转时的切应力切应力分布切应力分布角点切应力等角点切应力等于零于零边缘各点切应力边缘各点切应力沿切线方向沿切线方向最大切应力最大切应力发生在长边中点发生在长边中点 矩形截面杆扭转切应力矩形截面杆扭转切应力T切应力分布切应力分布切应力分布切应力分布(1) 角点切应力角点切应力等于零等于零(2) 边缘各点切边缘各点切应力沿切线方向应力沿切线方向(3) 最大切应力最大切应力发生在长边中点发生在长边中点矩形截面杆自由扭转时的切应力矩形截面杆自由扭转时的切应力T 3-8 开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力闭口薄壁圆环的扭转闭口薄壁圆环的扭转闭口薄壁圆环的扭转闭口薄壁圆环的扭转开口薄壁圆环的扭转开口薄壁圆环的扭转开口薄壁圆环的扭转开口薄壁圆环的扭转开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力A 放大放大3-8 开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力3-8开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力扭转切应力扭转切应力圆截面扭转圆截面扭转矩形截面自由扭转矩形截面自由扭转平面假设平面假设变形关系变形关系物性关系物性关系静力关系静力关系平面假设不成立平面假设不成立由弹性力学由弹性力学给出公式给出公式长边中点长边中点