锐角三角函数锐角三角函数 图 形 定 义 定义域CABbca1 1 1 1：你能用点：你能用点：你能用点：你能用点P P P P的坐标来表示锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？的坐标来表示锐角三角函数吗？问问问问2 2 2 2：对于确定的角，这三个比值的大小和：对于确定的角，这三个比值的大小和：对于确定的角，这三个比值的大小和：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否点在角的终边上的位置是否点在角的终边上的位置是否点在角的终边上的位置是否有关有关有关有关呢？呢？呢？呢？ 问问问问3 3 3 3：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？：你能选出适当的点使表达式简化吗？1 在直角坐标系中，我们称以原点在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，为圆心，以以单位长度单位长度为半径的圆为为半径的圆为单位圆单位圆。 同样的，怎样利用单位圆来定义任同样的，怎样利用单位圆来定义任同样的，怎样利用单位圆来定义任同样的，怎样利用单位圆来定义任意角的三角函数呢？意角的三角函数呢？意角的三角函数呢？意角的三角函数呢？1P(x,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)OyxOyxOyxyxOP(x,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)yxOyxOyxOyxOOxP(x，y)统称为三角函数统称为三角函数你能从函数观你能从函数观点解析点解析任意角任意角三角函数三角函数吗？吗？ 设设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：那么：（2）x叫做叫做 的的余弦余弦余弦余弦（cosine），），记作记作cos ，即，即cos x（1）y叫做叫做 的的正弦正弦正弦正弦（sine），），记作记作sin ，即，即sin y（3） 叫做叫做 的的正切正切正切正切（tangent），），记作记作tan ，即，即tan A(1,0)y（x0） 正弦、余弦、正切都是以正弦、余弦、正切都是以角角为自变量，为自变量，以以单位圆单位圆上上点的坐标点的坐标或或坐标比值坐标比值为函数为函数值的函数，我们将它们统称为值的函数，我们将它们统称为三角函数。三角函数。由于由于角的集合角的集合与与实数集实数集之间可以建立之间可以建立一一对应一一对应关系，三角函数可以看成是关系，三角函数可以看成是自变量为自变量为实数实数的函数的函数.2. 三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域函函 数数定义域定义域值值 域域2. 三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域函函 数数定义域定义域值值 域域三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域函函 数数定义域定义域值值 域域A(1,0)新定义三角函数新定义三角函数设角设角a的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(x,y),它与原点的距离是它与原点的距离是P(x,yP(x,y) )xyor思考：已知角思考：已知角的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角的正的正弦、余弦和正切值。弦、余弦和正切值。Oxy分析： 【例例1】：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ，求角，求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，则可的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。直接利用定义求三角函数值。OxyP（x，y）M点评：若已知角点评：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角终边与单位终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。分析：解RtOMP可得点 ，故【例例2】：求角：求角 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。根据三角函数的定义，研究这三角函数的值在各个象限的符号。oxyoxy+_+_oxy+_各象限角的三角函数值的符号各象限角的三角函数值的符号记忆法则：记忆法则：一全二正弦一全二正弦, 三切四余弦三切四余弦. 全全为正正几个特殊角的三角函数值几个特殊角的三角函数值角角0o30o45o60o90o180o270o360o角角的弧的弧度数度数sinsincoscostantan终边相同终边相同终边相同的角的三角函数值终边相同的角的三角函数值点的坐标相同点的坐标相同同一函数值相同同一函数值相同公式一（弧度制）公式一（弧度制）与与 终边相同的角可以表示为：终边相同的角可以表示为： （角度制）（角度制）0xyP(x,y)1、任意角三角函数的定义：、任意角三角函数的定义：若已知角若已知角终边与单位圆交于点终边与单位圆交于点P(x，y)，则：，则：2、解题方法总结、解题方法总结（1）已知交点）已知交点P的坐标，直接用定义的坐标，直接用定义（2）已知角，则先求交点）已知角，则先求交点P的坐标再用定义的坐标再用定义小结小结1.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值在实数范围内取值. .2.2.三角函数的定义是三角函数的理论基三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函数的定义域、函数值符号、础，三角函数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的公式一等，都是在此基础上推导出来的. . 4.4.一个任意角的三角函数只与这个角的一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点终边位置有关，与点P P（x x，y y）在终边上）在终边上的位置无关的位置无关. .公式一揭示了三角函数值呈公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现一周，函数值重复出现. .3.3.若已知角若已知角的一个三角函数符号，则的一个三角函数符号，则角角所在的象限有两种可能；若已知角所在的象限有两种可能；若已知角的两个三角函数符号，则角的两个三角函数符号，则角所在的所在的象限就惟一确定象限就惟一确定. .