第二节第二节 向量的乘积向量的乘积1向量的乘积启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积2向量的乘积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .3向量的乘积关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证4向量的乘积数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：若若 、 为数为数：应用投影证明5向量的乘积设设数量积的数量积的坐标表达式坐标表达式6向量的乘积两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为7向量的乘积解解8向量的乘积证证9向量的乘积实例实例二、两向量的向量积10向量的乘积定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.11向量的乘积向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：证证/12向量的乘积设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式13向量的乘积向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出14向量的乘积补充补充例如，例如，15向量的乘积解解16向量的乘积解解三角形三角形ABC的面积为的面积为17向量的乘积解解18向量的乘积定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积19向量的乘积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：20向量的乘积解解例例621向量的乘积解解22向量的乘积式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.23向量的乘积向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.七、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量的数量积、向量的数量积、 向量的向量积、向量的向量积、向量的混合积、向量的混合积、（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）24向量的乘积思考题思考题25向量的乘积思考题解答思考题解答1.对角线的长为对角线的长为26向量的乘积2.27向量的乘积 二阶三阶行列式计算二阶三阶行列式计算补充知识要点-28向量的乘积定义定义：称为二阶行列式。称为三阶行列式。称行列式中的数为元素。29向量的乘积 通常用行列式中元素 aij 的下标表示元素所在的位置。第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。二阶和三阶行列式的计算二阶和三阶行列式的计算对角线法则：主对角线主对角线副对角线副对角线30向量的乘积31向量的乘积例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有32向量的乘积例例 求证证明：证明：33向量的乘积小结小结1、二阶和三阶行列式分别是形如表达式2、二阶和三阶行列式都可按对角线法则进行计 算。后面还将介绍其他计算方法。3、在用对角线法则计算三阶行列式时：34向量的乘积6项的行下标全为123，而列下标分别为123123，231231，312312 此三项均为正号，132132，213213，321321 此三项均为负号。4、对角线法则不用于计算更高阶的行列式。35向量的乘积5、二阶或三阶行列式中的元素无论有没有足标，都不改变对角线法则。36向量的乘积