在本在本节中中,二、二、闭区区间上上连续函数的基本性函数的基本性质有关函数极限的有关函数极限的诸多性多性质也可以移到也可以移到连续函数中函数中来来.。 整体性整体性质。函数的。函数的连续是由极限来定是由极限来定义的，因而的，因而在本在本节，我，我们将首先学将首先学习：连续函数的性质连续函数的性质所谓连续函数局部性质就是指所谓连续函数局部性质就是指: :连续连续( (左连续或右连续左连续或右连续),),则可推知则可推知 f 在点在点 x0 的某的某 号性、四则运算的保连续性等性质号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域个局部邻域(左邻域或右邻域左邻域或右邻域)内具有有界性、保内具有有界性、保连续函数的性质连续函数的性质故故| f (x) | 的一个明确的上界的一个明确的上界. .证证注意注意: :我们在证明有界性时我们在证明有界性时, ,而不是用术语而不是用术语定理定理4.2（局部有界性）（局部有界性）则则连续函数的性质连续函数的性质定理定理4.3（局部保号性）局部保号性）则对任意一个满足则对任意一个满足证证连续函数的性质连续函数的性质注注 在具体应用保号性时在具体应用保号性时, ,我们经常取我们经常取 于是证得于是证得定理定理4.4（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算） 连续函数的性质连续函数的性质此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数也是连续函数. .我们知道我们知道, ,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R 上上 到到, 具体过程请读者自行给出具体过程请读者自行给出.的连续函数的连续函数, 故由四则运算性质故由四则运算性质, 易知多项式函数易知多项式函数 连续函数的性质连续函数的性质同理同理, ,有理函数有理函数( (分母不为零分母不为零) )同样是连续函数同样是连续函数. .下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下定理定理4.5是不变的是不变的.连续函数的性质连续函数的性质证证 于是于是连续函数的性质连续函数的性质 对这个定理我们再作一些讨论对这个定理我们再作一些讨论, ,以加深大家对该定以加深大家对该定请大家仔细观察定理请大家仔细观察定理4.5 的证明的证明, 看看此时究竟哪看看此时究竟哪理的认识理的认识. .里出了错里出了错.连续函数的性质连续函数的性质应用定理应用定理4.5, ,就得到所就得到所(*)(*)式相应的结论仍旧是成立的式相应的结论仍旧是成立的. .则有则有改为改为 需要的结论需要的结论. .事实上事实上, ,只要补充定义只要补充定义（或者重新定义）或者重新定义）连续函数的性质连续函数的性质上述上述(1)和和(2)究竟有什么本质的区别呢究竟有什么本质的区别呢? ? 请读者作请读者作例例1解解合，所以合，所以出进一步的讨论出进一步的讨论. .连续函数的性质连续函数的性质 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 在本节中将研究在本节中将研究 f 在在定义定义1若若点点, ,连续函数的性质连续函数的性质既无最大值既无最大值, ,又无最小值又无最小值. .定理定理4.6（最大、最小值定理）（最大、最小值定理） 例如例如, ,符号函数符号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数(其上确界为其上确界为1, 下确界为下确界为- -1 )这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的连续函数的性质连续函数的性质推论推论这是因为由定理这是因为由定理4.6 可知可知, ,值值, , 从而有上界与下界从而有上界与下界, ,于是于是 f (x) 在在a, b 上上是有是有虽然也是连续函数虽然也是连续函数, ,但是但是内涵内涵, ,在今后的学习中有很广泛的应用在今后的学习中有很广泛的应用. .界的界的. .连续函数的性质连续函数的性质这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理定理4.7（介值性定理）（介值性定理）上连续上连续, ,则则( (至少至少) )存在一点存在一点质有着根本的区别质有着根本的区别.连续函数的性质连续函数的性质从几何上看从几何上看, ,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线的一侧穿到另一侧时的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点两者至少有一个交点.连续函数的性质连续函数的性质 推论推论（根的存在性定理）根的存在性定理）应当注意应当注意, 此推论与定理此推论与定理4.7是等价的是等价的. 于是于是, 只要只要则至少存在一点则至少存在一点使使下面用确界定理来证明上述推论下面用确界定理来证明上述推论, 大家要注意学习大家要注意学习证明了推论证明了推论, 也就完成了定理也就完成了定理4.7 证明证明.确界定理的使用方法确界定理的使用方法.连续函数的性质连续函数的性质(E为图中为图中x 轴上的红轴上的红 证证 不妨设不妨设 并设并设零点零点. 证明如下：证明如下：的最大值就是函数的的最大值就是函数的线部分线部分)从几何上看从几何上看, E连续函数的性质连续函数的性质因为因为所以所以又又 E 是有界的是有界的, 故由确故由确我们来否定下面两种情形我们来否定下面两种情形:1.由由 f (x)在点在点 是是连续的连续的, 根据保号性根据保号性, 存在存在界定理界定理, 存在，显然存在，显然连续函数的性质连续函数的性质2. 同样根据保号性同样根据保号性, , 同时由同时由 x0 = = sup E , 对上述对上述d d , , 存在存在 排除了上面两种情形后排除了上面两种情形后, 就推得就推得连续函数的性质连续函数的性质由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题下面再举一些应用介值性定理的例题.设设 在在 上连续上连续, 那么它的最大值那么它的最大值 M 与最与最结论结论:小值小值 m 存在存在, 并且并且连续函数的性质连续函数的性质证证 先证存在性：先证存在性：由极限的保号由极限的保号使使使得使得(读作读作 r 的的 n 次算术根次算术根).例例2则存在唯一的正数则存在唯一的正数连续，连续，连续函数的性质连续函数的性质再证唯一性再证唯一性:设正数设正数 使得使得 ，则有，则有由于第二个括号内的数为正数，所以只能由于第二个括号内的数为正数，所以只能即即得证。得证。连续函数的性质连续函数的性质小结 本次课上我们结合函数极限的性质，学习了连续函数的一些性质，有连续函数的局部保号性、局部有界性、四则运算法则、复合函数的连续性；闭区间上连续函数的最值定理，介值性定理等等。时间原因，没能准备反函数连续性和一致连续的相关知识，希望大家课下自己看一下。谢谢！ 连续函数的性质连续函数的性质函数极限的相关性质 1 . 1 . 局部有界性局部有界性 若 存在，则 在 的某空心邻域 内有界。 2 .2 .保不等式性保不等式性 设 与 都存在，且在某邻域 内有 则 3 .3 .四则运算法则等四则运算法则等连续函数的性质连续函数的性质