专题2 不等式与线性规划第5练如何让“线性规划”不失分题型分析高考展望“线性规划”也是高考每年必考内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高.二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分.常考题型精析高考题型精练题型一已知约束条件，求目标函数的最值题型二解决参数问题题型三简单线性规划的综合应用常考题型精析题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1若变量x，y满足 约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn等于()A.5 B.6 C.7 D.8解析画出可行域，如图阴影部分所示.由z2xy，得y2xz.A(1，1).B(2，1).当直线y2xz经过点A时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2213m，故mn6.答案B点评(1)确定平面区域的方法：“直线定界，特殊点定域”.(2)线性目标函数在线性可行域中的最值，一般在可行域的顶点处取得，故可先求出可行域的顶点，然后代入比较目标函数的取值即可确定最值.变式训练1(2014山东)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值 2 时，a2b2的最小值为()A.5 B.4 C. D.2解析线性约束条件所表示的可行域如图所示.答案B题型二解决参数问题例2(2014浙江)当实数x，y满足 时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_.解析画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定.有时还需分类讨论.变 式 训 练 2(2015山 东 )已 知 x， y满 足 约 束 条 件 若zaxy的最大值为4，则a等于() A.3 B.2 C.2 D.3解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由zaxy，得yaxz.当a2或a3时，zaxy在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D选项；当a2或3时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.答案B题型三简单线性规划的综合应用例3设变量x，y满足约束条件 则lg(y1)lg x的取值范围为()因为lg(y1)lg x显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，1)连线的斜率.由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值.又函数ylg x为(0，)上的增函数，故选A.答案A点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题.解析画出可行域如图阴影所示，答案3高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112答案D2.(2015安徽)已知x，y满足约束条件 则z2xy的最大值是()A.1 B.2 C.5 D.1高考题型精练123456789101112解析约束条件下的可行域如图所示，由z2xy可知y2xz，当直线y2xz过点A(1,1)时，截距最大，此时z最大为1，故选A.A3.(2014课标全国)不等式组 的解集记为D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2；p2：(x，y)D，x2y2；p3：(x，y)D，x2y3；p4：(x，y)D，x2y1.高考题型精练123456789101112其中的真命题是()A.p2，p3 B.p1，p4C.p1，p2 D.p1，p3解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112观察直线xy1与直线x2y0的倾斜程度，可知ux2y过点A时取得最小值0.答案C高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112x1,1.设zxy，作l0：xy0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin110；过点(0,2)时z有最大值，zmax022，答案C高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112解析不等式组表示的区域如图，则图中 A点 纵 坐 标 yA 1 m， B点 纵 坐 标 yB ，C点横坐标xC2m，高考题型精练123456789101112m12或2(舍)，m1.答案B高考题型精练123456789101112解析当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.高考题型精练123456789101112如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.高考题型精练123456789101112答案C7.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为()A.31 200元 B.36 000元C.36 800元 D.38 400元高考题型精练123456789101112解析设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，则z1 600x2 400y，高考题型精练123456789101112画出可行域如图.高考题型精练123456789101112A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 4001236 800，故租金最少为36 800元.答案C8.在平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为_.高考题型精练123456789101112解析如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，据题意易知平面区域为等腰直角三角形，其中A(a，a4)，C(a，a)，高考题型精练故|AC|2a4|，则SABC |2a4|a2|9，解得a1或a5(不合题意，应舍去).123456789101112答案1高考题型精练123456789101112解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，所求的圆M是相应的平面区域的边界三角形的内切圆，设所求的圆心M坐标是(a，b)，高考题型精练123456789101112由此解得a1，b0，相应的圆的半径是3a2，因此所求的圆M的标准方程是(x1)2y24.答案(x1)2y2410.抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_.解析由yx2得y2x，则y|x12，高考题型精练123456789101112抛物线yx2在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，切线y2x1与两坐标轴围成三角形区域D如图所示(阴影部分).高考题型精练123456789101112由x0得y1知，B(0，1)11.4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要_元.高考题型精练123456789101112解析设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z3x9y，其中x，y满足不等式组高考题型精练123456789101112作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，高考题型精练123456789101112因此当1件A商品的价格为 元，1件B商品的价格为 元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元.答案2212.给定区域 D： 令点集 T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线.高考题型精练123456789101112解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条不同的直线.高考题型精练123456789101112答案6