返回一、多元复合函数的求导链式法则一、多元复合函数的求导链式法则二、多元复合函数的微分法则二、多元复合函数的微分法则7.5 7.5 多元复合函数的求导法则和微分法则多元复合函数的求导法则和微分法则 导言：导言：首先要求对首先要求对一元（一元（复合）函数求导法复合）函数求导法则则烂熟于胸烂熟于胸 其次，要求对本节所介绍的多元函数求导法其次，要求对本节所介绍的多元函数求导法则理解透彻。简言之，则理解透彻。简言之，要熟悉多元的游戏规则。要熟悉多元的游戏规则。一、多元复合函数的求导链式法则一、多元复合函数的求导链式法则一元复合函数求导法则一元复合函数求导法则y yu ux x1.1.全导数全导数A.典型结构典型结构 定理定理1 1（全导数）（全导数） 设函数设函数 u u = = ( (x x) ) 与与v v = = ( (x x) ) 在在x x 处均可导处均可导, , 二元函数二元函数 z z = = f f ( (u u , , v v) )在在 x x 对对应点应点( (u u , , v v) )处有一阶连续偏导数，则对于复合函数处有一阶连续偏导数，则对于复合函数zuvx求导公式求导公式函数结构（路线图）函数结构（路线图）最终的自变量只有一个时求全导最终的自变量只有一个时求全导例例1 1设设 求全导数求全导数解解1 1 由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得类似题型：类似题型：P322 16P322 16（4 4）；）；P285 P285 例例2 2（1 1）解解2 2用用7.3的方法直接求偏导数的方法直接求偏导数zuvx推广：设推广：设z= f (u,v,w), 这些结构均为典型结构这些结构均为典型结构其复合函数为其复合函数为最终的自变量只有一个时求全导最终的自变量只有一个时求全导解：解：B.B.特殊结构特殊结构: :双重身份，身兼数职双重身份，身兼数职彻底彻底求导求导不彻底不彻底求导求导将复合函数将复合函数 挖地三尺，对所有的挖地三尺，对所有的t t（包（包括在线的和隐身的）求导括在线的和隐身的）求导将函数将函数z=f (u, v, t)中中的的u, v看成不变，而看成不变，而对明摆着的对明摆着的t求偏导求偏导zuvttSol.zuvtt特殊结构特殊结构:双重身份双重身份 身兼数职身兼数职类似题型：类似题型： P285 P285 例例2 2（2 2） ； P323 P323 1616（7 7）2.2.偏导数偏导数A.典型结构典型结构 定理定理2（偏导数）（偏导数） 设设 在在点点(x, y)处有偏导数处有偏导数, 而而 z = f (u, v)在对应点在对应点(u, v)有连有连续偏导数续偏导数, 对于复合函数对于复合函数 有：有：求导公式求导公式函数结构（路线图）函数结构（路线图）zuvxy 例例 求求解解1 1由复合函数求导法则由复合函数求导法则解解2 2用用7.3的方法直接求偏导数的方法直接求偏导数zuvxy类似题：类似题：P322 16P322 16（1,2,31,2,3） P284 P284 例例1 1（2 2）推广(1) 设z= f (u,v,w),其复合函数为zuvwxyxyzuvw求和的项数等于路径条数求和的项数等于路径条数( (加法原理）加法原理）复合函数求导法则特征说明复合函数求导法则特征说明 每一项的因子数等于每条路线上的步骤数每一项的因子数等于每条路线上的步骤数（乘法原理）（乘法原理）zuvwxy推广(2) 设w = f (u, v) , 其复合函数为uvwxyzuvwxyzzuvwxyzuvxy这些结构均为这些结构均为典型结构典型结构uzxy求全导还是求偏导求全导还是求偏导不用死记硬背不用死记硬背类似题：类似题：P322 16P322 16（5 5） P284 P284 例例1 1（1 1）zxvxyB 特殊结构：双重身份，身兼数职特殊结构：双重身份，身兼数职 注意注意1: 这里的这里的 与与 是代表是代表不同不同的意义的意义. 设设z=f (x, v) , 复合函数为复合函数为彻底求导彻底求导不彻底求导不彻底求导将复合函数将复合函数 中的中的y y看成不变对看成不变对x x求偏导求偏导将函数将函数z=f (x, v)中的中的v v看成不变对看成不变对x x求偏导求偏导zxvxy 注意注意1: 这里的这里的 与与 是代表是代表不同不同的意义的意义. 彻底求导彻底求导不彻底求导不彻底求导上式中的上式中的 与与 代表代表 的意义的意义. . 以上几种符号，以上几种符号，神马（什么）都是一样的神马（什么）都是一样的不至于引起混淆时，不必区分不至于引起混淆时，不必区分zxvxy相同相同见教材见教材P271倒数倒数第第2行行Solution.yuxzxyC.抽象函数的导数抽象函数的导数及其导数简便符号的引入及其导数简便符号的引入（如教材（如教材P285例例4）例例 设设解解 对于函数的乘积，先用乘积的求导法则对于函数的乘积，先用乘积的求导法则 设设 分别表示函数分别表示函数 f 对第一、二个变量求导对第一、二个变量求导（此题为教材（此题为教材P285例例3和例和例4的综合）的综合）例例练习：练习：P324P324 1616(8(8,9,9) )D 二阶导数二阶导数解解 令令记记同理有同理有wuvxyw12xy或或注意注意xyz1212xyzw12xy二、多元复合函数的微分法则二、多元复合函数的微分法则得（偏）导数者得（全）微分得（偏）导数者得（全）微分作业：作业：P323 16P323 16（3 3，4 4，5 5，7 7，8 8，9 9）