实数 考点一、实数的倒数、相反数和绝对值 （3 分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ， 从数轴上看， 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果 a 与 b 互为相反数，则有 ab0，ab，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|a，则 a0；若|a|a，则 a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和1。零没有倒数。 考点二、平方根、算数平方根和立方根 （310 分） 1、平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数 a 的平方根记做“a” 。 2、算术平方根 正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“a” 。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a（a0） 0a aa2 ；注意a的双重非负性： a（a0） a0 3、立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点三、科学记数法和近似数 （36 分） 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做na 10的形式，其中101 a，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点四、实数大小的比较 （3 分） 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设 a、b 是实数， ,0baba ,0baba baba0 （3） 求商比较法： 设 a、 b 是两正实数，;1;1;1babababababa （4）绝对值比较法：设 a、b 是两负实数，则baba。 （5）平方法：设 a、b 是两负实数，则baba22。 考点五、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律 abba 2、加法结合律 )()(cbacba 3、乘法交换律 baab 4、乘法结合律 )()(bcacab 5、乘法对加法的分配律 acabcba )( 6、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 一、选择题 1. （2017湖北随州3 分）的相反数是（ ） A B C D 2. （2017湖北武汉3 分）实数2的值在（ ） A0 和 1 之间 B1 和 2 之间 C2 和 3 之间 D3 和 4 之间 3. （2017江西3 分）下列四个数中，最大的一个数是（ ） A2 B C0 D2 4 （2017 贵州毕节 3 分）的算术平方根是（ ） A2 B2 C D 5 （2017 贵州毕节 3 分）估计的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到6 之间 6 （2017 海南 3 分）面积为 2 的正方形的边长在（ ） A0 和 1 之间 B1 和 2 之间 C2 和 3 之间 D3和 4 之间 7.(2017 河北 3 分）关于12的叙述，错误的是（ ） A12是有理数 B面积为 12 的正方形边长是12 C122 3 D在数轴上可以找到表示12的点 8.（2017福建龙岩4 分）下列四个实数中最小的是（ ） A2 B2 C3 D1.4 9.（2017广西桂林3 分）下列实数中小于 0 的数是（ ） A2017 B2017 C D 10. （2017云南省昆明市4 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a29 Ba2a4a8 C 3 D 2 11（2017四川南充）下列计算正确的是（ ） A 2 B C x D x 12. （2017黑龙江齐齐哈尔3 分）下列算式 3；9；26234；2017；aaa2 运算结果正确的概率是（ ） A B C D 二、 填空题 13.（2017山东省德州市4 分）化简的结果是 14（2017山东省济宁市3 分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 15. （2017重庆市A卷4 分）计算： （2）0 16. （2017重庆市B卷4 分）计算： （）2（1）0 17.(2017 河北 3 分）8 的立方根为_. 18（2017 河南）计算：（2）0 19（2017湖北黄石3 分）观察下列等式： 第 1 个等式： a11， 第 2 个等式：a2， 第 3 个等式：a32， 第 4 个等式：a42， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：an ； ； （2）a1a2a3an 20（2017湖北荆州3 分）当a1 时，代数式的值是 三、解答题 21. （2017湖北随州5 分）计算：|1|cos30（）2（3.14）0 22. （2017辽宁丹东8 分）计算：4sin60|3|（）1（2017）0 23.（2017四川攀枝花） 计算； 20170|2|1 24（2017四川南充）计算： （1）0sin45|2| 25（2017四川泸州）计算： （1）0sin60（2）2 26（2017四川内江） (7 分)计算：|3|3tan3038(2017)0(12)1 27（2017四 川宜宾） （1）计算； （） 2（1）2017（1）0 28. （2017湖北黄石4 分）计算： （1）20172sin60|0 29.（2017湖北荆门4 分）计算：|1|3tan30（）0（）1 30.（2017湖北荆州6 分）计算： 31.（2017湖北荆州6 分）计算： 32.（2017青海西宁分）计算： 33. （2017陕西）计算：|1|（7）0 34.（2017四川眉山）计算： 35.（2017福建龙岩6 分）计算： 36.（2017广西百色6 分）计算： 2sin60|3|（）0 37.（2017贵州安顺8 分）计算：cos6021（3）0 38.（2017广西桂林6 分）计算：（4）|5|4tan45 39.（2017 广西南宁）计算：|2|4cos30（）3 40 （2017 贵州毕节）计算： 41 （2017 海南）计算： （1）6（3）822； （2）解不等式组： 42.（2017云南省昆明市）计算：20170|2sin45 43. （2017浙江省湖州市）计算：tan45sin30（2）0 44.（2017浙江省绍兴市4 分）计算：（2）0（）2 45.（2017山东省菏泽市3 分）计算：222cos60|（3.14）0 46.（2017山东省东营市3 分）计算：(12016)1(3.14)02sin6012|133|； 答案 一、选择题 1. （2017湖北随州3 分）的相反数是（ ） A B C D 【考点】实数的性质 【分析】利用相反数的定义计算即可得到结果 【解答】解：的相反数是， 故选C 2. （2017湖北武汉3 分）实数2的值在（ ） A0 和 1 之间 B1 和 2 之间 C2 和 3 之间 D3 和 4 之间 【考点】有理数的估计 3. （2017江西3 分）下列四个数中，最大的一个数是（ ） A2 B C0 D2 【考点】实数大小比较 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 202， 故四个数中，最大的一个数是 2 故选：A 4 （2017 贵州毕节 3 分）的算术平方根是（ ） A2 B2 C D 【考点】立方根；算术平方根 【分析】首先根据立方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解： 2，2 的算术平方根是 故选：C 5 （2017 贵州毕节 3 分）估计的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到6 之间 【考点】估算无理数的大小 【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围 【解答】解：23， 34， 故选 B 6 （2017 海南 3 分）面积为 2 的正方形的边长在（ ） A0 和 1 之间 B1 和 2 之间 C2 和 3 之间 D3和 4 之间 【考点】估算无理数的大小 【分析】面积为 3 的正方形边长是 2 的算术平方根，再利用夹逼法求得的取值范围即可 【解答】解：解：面积为 2 的正方形边长是， 124， 故选 B 【点评】本题考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，运用“夹逼法”是解答此题的关键 7.(2017 河北 3 分）关于12的叙述，错误的是（ ） A12是有理数 B面积为 12 的正方形边长是12 C122 3 D在数轴上可以找到表示12的点 答案：A 解析：12是无理数，故A项错误。 知识点：无理数是无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应；根号下有相同的两个数是相乘，可以向外提出一个数，如，1833232。 8.（2017福建龙岩4 分）下列四个实数中最小的是（ ） A2 B2 C3 D1.4 【考点】实数大小比较 【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 1.4232， 四个实数中最小的是 1.4 故选：D 9.（2017广西桂林3 分）下列实数中小于 0 的数是（ ） A2017 B2017 C D 【考点】实数大小比较 【分析】根据正数大于负数 0，0 大于负数进行选择即可 【解答】解：2017 是负数， 20170， 故选 B 10. （2017云南省昆明市4 分）下列运算正确的是（ ） A （a3）2a29 Ba2a4a8 C 3 D 2 【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式 【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项 【解答】解：A、 （a3）2a26a9，故错误； B、a2a4a6，故错误； C、3，故错误； D、2，故正确， 故选 D 11（2017四川南充）下列计算正确的是（ ） A 2 B C x D x 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案 【解答】解：A、2，正确； B、，故此选项错误； C、x，故此选项错误； D、|x|，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键 12. （2017黑龙江齐齐哈尔3 分）下列算式 3；9；26234；2017；aaa2 运算结果正确的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、同底数幂的除法运算法则、合并同类项法则进行判断，再利用概率公式求出答案 【解答】解：3，故此选项错误； 9，正确； 2623238，故此选项错误； 2017，正确； aa2a，故此选项错误， 故运算结果正确的概率是： 故选：B 三、 填空题 13.（2017山东省德州市4 分）化简的结果是 【考点】分母有理化 【专题】计算题 【分析】先把分子分母都乘以，然后约分即可 【解答】解：原式 故答案为 【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去 14（2017山东省济宁市3 分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质可以得到x1 是非负数，由此即可求解 【解答】解：依题意得 x10， x1 故答案为：x1 15. （2017重庆市A卷4 分）计算： （2）0 3 【分析】根据开平方，非零的零次幂等于 1，可得答案 【解答】解： （2）0 21 3 故答案为：3 【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于 1 是解题关键 16. （2017重庆市B卷4 分）计算： （）2（1）0 8 【考点】零指数幂；实数的运算；负整数指数幂 【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于 1，可得答案 【解答】解：原式291 8 故答案为：8 【点评】本题考查了零指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于 1 是解题关键 17.(2017 河北 3 分）8 的立方根为_2_. 解析：开 3 次方。 18（2017 河南）计算：（2）0 1 【考点】实数的运算；零指数幂 【分析】分别进行零指数幂、开立方的运算，然后合并 【解答】解：原式12 1 故答案为：1 【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、开立方等知识，属于基础题 19（2017湖北黄石3 分）观察下列等式： 第 1 个等式： a11， 第 2 个等式：a2， 第 3 个等式：a32， 第 4 个等式：a42， 按上述规律，回答以下问题： （1）请写出第n个等式：an ； ； （2）a1a2a3an 1 【分析】 （1）根据题意可知，a11，a2，a32，a42，由此得出第n个等式：an； （2）将每一个等式化简即可求得答案 【解答】解： （1）第 1 个等式：a11， 第 2 个等式：a2， 第 3 个等式：a32， 第 4 个等式：a42， 第n个等式：an； （2）a1a2a3an （1）（）（2）（2）（） 1 故答案为；1 【点评】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案 20（2017湖北荆州3 分）当a1 时，代数式的值是 【分析】根据已知条件先求出ab和ab的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可 【解答】解：a1， ab112，ab112， ； 故答案为： 【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简 三、解答题 21. （2017湖北随州5 分）计算：|1|cos30（）2（3.14）0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂 5个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式1241 1341 1 22. （2017辽宁丹东8 分）计算：4sin60|3|（）1（2017）0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60|3|（）1（2017）0的值是多少即可 【解答】解：4sin60|3|（）1（2017）0 42321 224 44 23.（2017四川攀枝花） 计算； 20170|2|1 【考点】实数的运算；零指数幂 【专题】计算题 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式20170|2|1 的值是多少即可 【解答】解： 20170|2|1 21（2）1 321 2 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a01（a0）；001 24（2017四川南充）计算： （1）0sin45|2| 【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 【解答】解：原式312 3 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 25（2017四川泸州）计算： （1）0sin60（2）2 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指 数幂的性质以及二次根式的性质分别化简进而求出答案 【解答】解： （1）0sin60（2）2 124 134 2 26（2017四川内江） (7 分)计算：|3|3tan3038(2017)0(12)1 考点实数运算。 解：原式3333212 5 分 31212 6 分 3 7 分 27（2017四 川宜宾） （1）计算； （） 2（1）2017（1）0 【考点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂 【解答】解： （1）原式91514； 28. （2017湖北黄石4 分）计算： （1）20172sin60|0 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（1）20172sin60|0的值是多少即可 【解答】解： （1）20172sin60|0 121 11 2 【点评】 （1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用 （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a01（a0） ；001 （3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30、45、60角的各种三角函数值 29.（2017湖北荆门4 分）计算：|1|3tan30（）0（）1 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计算即可； 【解答】解：原式131（3）132； 30.（2017湖北荆州6 分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案 【解答】解：原式3221 61 5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键 31.（2017湖北荆州6 分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案 【解答】解：原式3221 61 5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键 32.（2017青海西宁分）计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值和二次根式的化简分别进行计算即可得出答案 【解答】解：原式3121 4 33. （2017陕西）计算：|1|（7）0 【考点】实数的运算；零指数幂 【分析】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案 【解答】解：原式2（1）1 22 2 34.（2017四川眉山）计算： 【分析】分别利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简求出答案 【解答】解：原式1312 112 【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键 35.（2017福建龙岩6 分）计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂法则，以及平方根定义计算即可得到结果 【解答】解：原式23311 36.（2017广西百色6 分）计算： 2sin60|3|（）0 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 本题涉及二次根式化简、 特殊角的三角函数值、 绝对值、 负整数指数幂 4 个考点 在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： 2sin60|3|（）0 3231 331 5 37.（2017贵州安顺8 分）计算：cos6021（3）0 【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式21 1 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 38.（2017广西桂林6 分）计算：（4）|5|4tan45 【考点】零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】先去括号、计算绝对值、零指数幂、三角函数值，再计算乘法、减法即可 【解答】解：原式451416 39.（2017 广西南宁）计算：|2|4cos30（）3 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简，进而求出答案 【解答】解：原式2482 46 【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键 40 （2017 贵州毕节）计算： 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案 【解答】解：原式1121 1 1 41 （2017 海南）计算： （1）6（3）822； （2）解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂 【分析】 （1）根据实数的运算顺序，先计算除法、开方、乘方，再计算乘法，最后计算加减可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集 【解答】解： （1）原式2282； （2）解不等式x12，得：x3， 解不等式1，得：x1， 不等式组的解集为：1x3 【点评】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 42.（2017云南省昆明市）计算：20170|2sin45 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】分别根据零次幂、实数的绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值进行计算即可 【解答】解： 20170|2sin45 1（31）12 13 4 43. （2017浙江省湖州市）计算：tan45sin30（2）0 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分析得出答案 【解答】解：原式11 44.（2017浙江省绍兴市4 分）计算：（2）0（）2 【考点】实数的运算 【分析】本题涉及二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解： （1）（2）0（）2 14 3； 45.（2017山东省菏泽市3 分）计算：222cos60|（3.14）0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实数 【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果 【解答】解：原式221 2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 46.（2017山东省东营市3 分）计算：(12016)1(3.14)02sin6012|133|； 【知识点】整式的乘除负整数指数的意义、零指数的意义，锐角三角函数特殊角的三角函数值，二次根式化简，实数的有关概念绝对值 【思路分析】根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可 【解答】(1)原式2017123223（331） 20171323331 2017. 【方法总结】原式第一项利用利用负指数幂的意义计算：ap(1a)p（a0） ；第二项利用零指数幂法的意义计算：a01（a0） ；第三项利用特殊角的三角函数值计算，学习中，需要熟记 30、45、60角的三角函数值；第四项利用a2a（a0）计算；第五项利用绝对值的代数意义化简：|a|a(a0)a(a0)a(a0)