第四章 三角函数4.4 三角函数的综合应用高考数学高考数学(浙江专用)考点三角函数的最值与综合应用考点三角函数的最值与综合应用1.(2017课标全国文,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为()A. B.1 C.D.五年高考答案答案Af(x) =sin+cos=+cosx+sinx=sinx+cosx=2sin=sin,f(x)的最大值为.故选A.一题多解一题多解cos=cos=sin=sin,f(x)=sin,f(x)max=.故选A.2.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案答案B依题意,有(m、nZ),又|,m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,=4n+1,=,由f(x)在上单调,得-,12,取n=2,得=9,f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,=-,=4n+3,取n=2,得=11,f(x)=sin,此时,当x时,11x-,f(x)不单调,不合题意.故选B.3.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案答案 解析解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可知f(x)=2cosx+sinx=sin(x+)(tan=2),f(x)的最大值为.4.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是.答案答案1解析解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可得f(x)=-cos2x+cosx+=-+1.x,cosx0,1.当cosx=时,f(x)max=1.5.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x时,f(x)-.解析解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.(2)证明:因为-x,所以-2x+.所以sinsin=-.所以当x时,f(x)-.易错警示易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)-时容易忽视x的取值范围.6.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中03.已知f=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sinx-cosx-cosx=sinx-cosx=sin.由题设知f=0,所以-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,0)的图象变换:由y=sinx的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sinx的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sinx的图象y=sinx的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.7.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析解析(1)由已知,有f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.所以,f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.评析评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.8.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(x+)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f=,求cos的值.解析解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k +,k=0,1,2,. 由 -得k=0,所以=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由得0-,所以cos=.因此cos=sin=sin=sincos+cossin9.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角,f=coscos2,求cos-sin的值.解析解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+x+,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2-sin2),所以sincos+cossin=(cos2-sin2).即sin+cos=(cos-sin)2(sin+cos).当sin+cos=0时,由是第二象限角,知=+2k,kZ.此时,cos-sin=-.当sin+cos0时,有(cos-sin)2=.由是第二象限角,知cos-sin0,此时cos-sin=-.综上所述,cos-sin=-或-.评析评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.10.(2013陕西,16,12分)已知向量a=,b=(sinx,cos2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析解析f(x)=(sinx,cos2x)=cosxsinx-cos2x=sin2x-cos2x=cossin2x-sincos2x=sin.(1)f(x)的最小正周期为T=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x,-2x-.由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,当2x-=,即x=时,f=,f(x)的最小值为-.因此,f(x)在上的最大值是1,最小值是-.评析评析本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的性质及给定区间求三角函数的最值问题,综合考查学生应用知识能力和运算求解能力.正确求解函数f(x)的解析式是解题的关键.11.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要降温?以下为教师用书专用解析解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0t24,所以t+11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此t+,即10t18.在10时至18时实验室需要降温.评析评析考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,5)函数f(x)=2cosxsin的最大值为()A.1-B.1+C.D.2三年模拟一、选择题A组 20152017年高考模拟基础题组答案答案Af(x)=2cosx=sin2x-(1+cos2x)=sin-,f(x)max=1-.2.(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,4)已知函数y=2sinx的定义域为a,b,值域为-2,1,则b-a的值 不 可 能 是()A.B.C.D.2答案答案D函数y=2sinx的最小正周期为2,值域-2,1含最小值不含最大值,故定义域的长度b-a小于一个周期,故选D.二、填空题3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,11)若函数f(x)=asinx+bcosx(ab0)的最小值为f,且f=-2,则=,f(0)的值为.答案答案 ;-2解析解析依题意有asin+bcos=-,即a+b=-,可得b=a,故=,从而f(x)=2asin,所以f=2asin=-2,解得a=-,故f(0)=2sin=-2.4.(2017浙江五校联考(5月)已知函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx).(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若f(x0)=,x0,求cos2x0的值.三、解答题解析解析(1)f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=2sin.令2k-2x+2k+(kZ),得k-xk-(kZ),故函数f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)f(x0)=2sin=,sin=,又x0,cos=-,cos2x0=cos=+=.5.(2017浙江名校协作体,18)已知0,函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)若=,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是,求的值.解析解析(1)由题意可知,f(x)=cos2x-sin2x+(3分)=cos+.(5分)由2k-2x+2k,kZ,得k-xk-,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.(8分)(2)由题意可知,f(x)=(cos2xcos-sin2xsin)+,所以f(x)=cos2x-sinsin2x+,(10分)由于函数f(x)的最大值为,所以+=1,(12分)从而cos=0,又00)的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA=2c-a,求f(B)的值.解析解析(1)f(x)=sinxcosx-cos2x+=sin2x-+=sin2x-cos2x=sin,T=(0),=1.(2)由2bcosA=2c-a2b=2c-a.整理得a2+c2-b2=ac,故cosB=.0B0,函数f(x)=sin在上单调递减,则的取值范围是()A.B.C. D.答案答案A依题意得y=sinx在区间上为减函数,从而有(kZ),则(kZ),解得(kZ),则(kZ),得-k.又kZ,则k=0,所以.3.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|(a,bR)的最大值为11,则a2+b2=.二、填空题答案答案50解析解析f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|asinx+bcosx|+|bsinx-acosx|+12+1=+1.令+1=11,所以a2+b2=50.4.(2016浙江镇海中学测试(五),15)若存在mR,使得对于任意xa,b,均有(m-sinx)(m-cosx)0,则b-a的最大值是.答案答案解析解析由不等式的几何意义知,函数y=m的图象在函数y=sinx和y=cosx的图象之间,如图所示,要使得b-a达到最大,仅需m=或m=-,此时b-a=.5.(2017浙江温州2月模拟考,18)已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若-0,f()=,求sin2的值.三、解答题解析解析(1)f(x)=sin2x+=sin+.(4分)函数f(x)的最小正周期是.(6分)(2)f()=sin+=,sin=,(8分)-0,-2+0,02+0),使其在区间0,1上恰好出现2017次最大值,求m的取值范围.解析解析(1)f(x)=cos+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x.令2k+2x2k+,kZ,得k+xk+,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)设变换后的图象对应的函数解析式为g(x),则g(x)=f(mx)=-sin2mx,要使g(x)在区间0,1上恰好出现2017次最大值,仅需函数g1(x)=sin2mx在区间0,1上恰好出现2017次最小值,故T+2016T1T+2017T,所以T,即,解得m0)的最小正周期为4.(1)求函数f(x)的最大值;(2)若,且f=,求f()的值.解析解析(1)f(x)=4sin+=sinx-(1-cosx)+=2sin.因为f(x)的最小正周期为4,且0,所以=4,得=.所以f(x)=2sin,其最大值为2.(2)f=,即2sin=,而,可知cos=,所以f()=2sin=2sin=2sincos+2cossin=.评析评析本题主要考查两角和与差、二倍角的正余弦公式、辅助角公式、同角三角函数关系式、三角函数的性质等基础知识,同时考查运算求解能力.8.(2015浙江新阵地教育研究联盟联考,16)已知函数f(x)=2sin(+x)sin+2cos2x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在锐角ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若f(A)=0,b=4,c=3,点D为BC上一点,且对于任意实数t恒 有 |+t |成立,求AD的长.解析解析(1)f(x)=-2sinxcosx+2cos2x=cos2x-sin2x+=-2sin+.(4分)由+2k2x-+2k(kZ),得+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为,kZ.(7分)(2)因为f(A)=0,所以sin=,又A,所以2A-,所以2A-=,所以A=,(9分)又b=4,c=3,由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=25-24cos=13,所以a=.(11分)由|+t |对于任意实数t恒成立,得ADBC,(13分)又SABC=bcsinA=43sin=3,所以AD=.(15分)1.(2016浙江镇海中学测试(五),15)要在一块圆心角为,半径为1的扇形纸片中截出一块矩形,则该矩形面积的最大值是.一、填空题C组 20152017年高考模拟创新题组答案答案解析解析第一种情形,矩形的一条边落在半径上,要使得矩形面积最大,则其中一个顶点必在圆心O处(如图所示),设AOD=,则|OA|=cos,|AD|=sin,所以矩形面积S=sincos=sin2,当=时取等号.第二种情形,矩形的两个顶点分别在两条半径上,另外两个顶点在圆弧上(如图所示),E,F分别是AB,CD的中点,则问题转化为求矩形BCFE和ADFE的面积和的最大值.连接OD,设DOF=,则|OF|=cos,|DF|=sin,故|OE|=,所以S矩形ADFE=sin=sin2-(1-cos2)=sin-,当=时取等号.根据对称性,知S矩形BCFE=S矩形ADFE,所以矩形ABCD的最大面积为.综上,截出的矩形面积的最大值为.2.(2017浙江台州调研,18)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量.(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)f,求函数g(x)的值域.二、解答题解析解析(1)由已知得xQ=cos=coscos-sins i n =,yQ=sin=sincos+cossin=,所以点Q的坐标为.(2)函数f(x)=cos+sin=cosx-sinx+cosx+sinx=cosx,于是,g(x)=cosxcos=-sin2x=-sin.因为-1sin1,所以g(x)的值域为.3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,18)已知f(x)=sin(x+)满足f=-f(x),且其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数.(1)求f(x)的解析式;(2)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(2c-a)cosB=bcosA,求f(A)的取值范围.解析解析(1)f=-f(x),f(x+)=-f=f(x),T=,=2,设f(x)的图象向左平移个单位后得到的函数图象的解析式为g(x),则g(x)=sin,又g(x)为奇函数,+=k,kZ,即=k-,kZ,|,=-,故f(x)=sin.(2)由(2c-a)cosB=bcosA,得2sinCcosB=sin(A+B)=sinC.C,sinC0,cosB=,B=.ABC是锐角三角形,C=-A,A,02A-0时,a+(1-a)=2-2=a(-1)a=-;当a=1时,f(x)=1,不合题意,舍去;当1-a1时,1a4+3;当a1时,-a1.综上可知,-a4+3.