第第2节节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的假设检验假设检验一、单个总体参数一、单个总体参数的检验的检验二、两个总体参数的检验二、两个总体参数的检验三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验)四、小结四、小结一、单个正态总体均值与方差的检验对于给定的对于给定的检验水平检验水平由标准正态分布分位数定义知，由标准正态分布分位数定义知，因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 其中其中 为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态分布, 且标准差没有且标准差没有变化变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解查表得查表得注意注意：“接受接受H0”，并不意味着并不意味着H0一定为真；一定为真；“拒绝拒绝H0” 也不意味着也不意味着H0一定不真。一定不真。 0 0 0 0 0u检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域根据根据抽样分布定理抽样分布定理知知,由由t分布分位数的定义知分布分位数的定义知 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?解解查表得查表得例例2 0 0 0 0 0t检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域例例3 3 某厂生产小型马达某厂生产小型马达, ,说明书上写着说明书上写着: :在正常负载在正常负载下平均消耗电流不超过下平均消耗电流不超过0.8 0.8 安培安培.随机测试随机测试1616台马达台马达, ,平均消耗电流为平均消耗电流为0.920.92安培，标准差为安培，标准差为0.320.32安培安培. . 解解 根据题意待检假设可设为根据题意待检假设可设为设马达所消耗的电流服从正态分布设马达所消耗的电流服从正态分布, ,取显著性水平取显著性水平为为 = 0.05,= 0.05,问根据此样本问根据此样本, ,能否否定厂方的断言能否否定厂方的断言? ? H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知未知, , 选检验统计量选检验统计量:代入得代入得故接受原假设故接受原假设 H H0 0 , , 即不能否定厂方断言即不能否定厂方断言.:拒绝域为拒绝域为落在拒绝域落在拒绝域外外将将解二 H0 : 0.8 ； H1 : 02 2 02 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 取取统计量统计量拒绝域拒绝域 ：落落在拒绝域在拒绝域内内, , 故拒绝故拒绝H H0 0. . 即改革后的方差显即改革后的方差显著大于改革前著大于改革前, , 因此下一步的改革应朝相反方向因此下一步的改革应朝相反方向进行进行. . 有时，我们需要有时，我们需要比较两总体的参数是否存在比较两总体的参数是否存在显著差异显著差异。比如，两个农作物品种的产量，两种。比如，两个农作物品种的产量，两种电子元件的使用寿命，两种加工工艺对产品质量电子元件的使用寿命，两种加工工艺对产品质量的影响，两地区的气候差异等等。的影响，两地区的气候差异等等。二、两个二、两个正态总体均值与方差正态总体均值与方差的检验的检验1. 方差已知方差已知时，两正态总体均值的检验时，两正态总体均值的检验需要检验假设需要检验假设:上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 利用利用u检验法检验法检验检验.故拒绝域为故拒绝域为由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知1 2 = ( 12，22 已知)关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检的检验验1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域2. 方差未知方差未知时两正态总体均值的检验时两正态总体均值的检验 利用利用t检验法检验法检验具有相同方差的两正态总体检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设均值差的假设.根据根据抽分布定理抽分布定理知知,统计量统计量引入引入 t对给定的对给定的故拒绝域为故拒绝域为例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 1 2 = 1 2 1 2 1 2 1 2 其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域需要检验假设需要检验假设:3.两正态总体方差比的检验两正态总体方差比的检验根据抽样根据抽样分布定理分布定理知知为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(公斤公斤), 得到结果如下得到结果如下:已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异差异?(1) 检验假设检验假设:例例3查表知拒绝域为查表知拒绝域为(2) 检验假设检验假设:查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验的检验1, 2 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域三、基于配对数据的检验（三、基于配对数据的检验（t t检验）检验） 有时为了比较两种产品，两种仪器，或两有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。种方法常称为配对分析法。 例例9 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取甲，乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各取个，其中各取一个组成一对。再随机选择一个组成一对。再随机选择8架飞机，将架飞机，将8对轮对轮胎随机地搭配给胎随机地搭配给8家飞机，做耐磨性实验家飞机，做耐磨性实验飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：位：mg）数据如下：数据如下：轮胎甲：轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎乙；轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，5010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量假定假定 ，其中，其中 ，欲检验假设，欲检验假设下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）实验数据配对分析：记）实验数据配对分析：记 ，则，则 ，由正，由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分布服从正态分布 。于是，对于是，对 与与 是否相等的检验是否相等的检验就变对就变对 的检验，这时我们可采用关于一的检验，这时我们可采用关于一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮检验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的样本值为：的样本值为：-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算得样本均值计算得样本均值对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。有显著差异。（2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两个总体的样本观测值，这种方据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设法称为不配对分析法。欲检验假设我们选择统计量我们选择统计量由样本数据及由样本数据及 可得可得对给定的对给定的 ，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布表，得临界值表，得临界值 ，由于，由于 ，因而接受，因而接受 ，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。以上是在同一检验水平以上是在同一检验水平 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将我们将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，这是样本间对数据的影响交织在一起，这是样本 下采用不同方法下采用不同方法与样本与样本 实际上不独立，因此，实际上不独立，因此， 用两个独立正态总体的用两个独立正态总体的t检验法是不合适的。检验法是不合适的。有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分有本例看出，对同一批试验数据，采用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。 接受域置信区间假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（ 2 已知)（ 2 已知)原假设 H0备择假设 H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（ 2未知）（ 2未知）接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 2 02 2= 02 2(未知)(未知)四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 432 1765作业P169 EX 4、5、6、7、8、9