专题一探索规律问题 这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征，或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论考查学生或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论考查学生的归纳、概括、类比能力解决这类问题的思路：从简单的归纳、概括、类比能力解决这类问题的思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，必要时发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义，即可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义，即“从特殊情形入手从特殊情形入手探索发现规律探索发现规律猜想结论猜想结论验证验证” 济宁市中考试题经常考查探索规律类的试题例如：济宁市中考试题经常考查探索规律类的试题例如：20172017年第年第1515题以正多边形为背景，考查了面积的变化规律；题以正多边形为背景，考查了面积的变化规律；20162016年第年第1515题给出一列数字，考查了其中的变化规律；题给出一列数字，考查了其中的变化规律；20152015年第年第1515题给出一组等式，考查了其中的变化规律；题给出一组等式，考查了其中的变化规律；20132013年第年第9 9题以矩形、平行四边形为背景，考查了面积的变化规律题以矩形、平行四边形为背景，考查了面积的变化规律类型一类型一 数式规律数式规律 这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论解决这这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系化部分与序号的关系例例1 (20161 (2016济宁济宁) )按一定规律排列的一列数按一定规律排列的一列数 请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为为 【分析【分析】 观察给出的数，可发现所有分数的分子都是观察给出的数，可发现所有分数的分子都是奇数，分母都是质数，所以可将第一个奇数，分母都是质数，所以可将第一个1 1化为化为 ，第二个，第二个1 1化为化为 ，再找出规律、写出答案即可，再找出规律、写出答案即可【自主解答【自主解答】 2. (20162. (2016绥化绥化) )古希腊数学家把数古希腊数学家把数1 1，3 3，6 6，1010，1515，2121，叫做三角数，它有一定的规律性若把第一个三角数记为叫做三角数，它有一定的规律性若把第一个三角数记为a a1 1，第二个三角数记为第二个三角数记为a a2 2第第n n个三角数记为个三角数记为a an n，计算，计算a a1 1a a2 2，a a2 2a a3 3，a a3 3a a4 4，由此推算，由此推算a a399399a a400400 _160 000160 000例例2 2 (2015(2015济宁济宁) )若若1 12 22 22 23 32 21 12 27 7；(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )2 23 31111；(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )(5(56 62 26 67 72 2) )3 34 41515；则则(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )(2n(2n1)1)(2n)(2n)2 22n(2n2n(2n1)1)2 2 【分析【分析】 仔细观察题目提供的三个算式，计算结果有三个仔细观察题目提供的三个算式，计算结果有三个因数相乘，需将第三个因数进行比较并转化，从而发现结果因数相乘，需将第三个因数进行比较并转化，从而发现结果和式子序列号之间的关系，然后写出答案即可和式子序列号之间的关系，然后写出答案即可【自主解答【自主解答】 112 22 22 23 32 21 12 27 71 12 2(4(41 13)3)；(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )2 23 311112 23 3(4(42 23)3)；(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )(5(56 62 26 67 72 2) )3 34 415153 34 4(4(43 33)3)；(1(12 22 22 23 32 2) )(3(34 42 24 45 52 2) )(2n(2n1)1)(2n)(2n)2 22n(2n2n(2n1)1)2 2 n(nn(n1)(4n1)(4n3)3)故答案为故答案为n(nn(n1)(4n1)(4n3)3)3 3(2017(2017铜仁铜仁) )观察下列关于自然数的式子：观察下列关于自然数的式子：4 41 12 21 12 2 4 42 22 23 32 2 4 43 32 25 52 2 根据上述规律，则第根据上述规律，则第2 0172 017个式子的值是个式子的值是( )( )A A8 064 8 064 B B8 0658 065C C8 066 8 066 D D8 0678 067D D类型二类型二 图形规律图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列这类题目通常是给出一组图形的排列( (或通过操作得到或通过操作得到一系列的图形一系列的图形) )，探求图形的变化规律，以图形为载体考查，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系解决此类问题：先观察图案的变化图形所蕴含的数量关系解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值殊情况下的数值例例3 3 (2017(2017济宁济宁) )如图，正六边形如图，正六边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1的边长为的边长为1 1，它的六条对角线又围成一个正六边形它的六条对角线又围成一个正六边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2E E2 2F F2 2，如此继，如此继续下去，则正六边形续下去，则正六边形A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4E E4 4F F4 4的面积是的面积是 【分析【分析】先求正六边形先求正六边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2E E2 2F F2 2的边长，找出两图形的相的边长，找出两图形的相似比，然后求出正六边形似比，然后求出正六边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1的面积，利用相似的规的面积，利用相似的规律求出律求出A A4 4B B4 4C C4 4D D4 4E E4 4F F4 4的面积即可的面积即可【自主解答【自主解答】 5 5(2013(2013济宁济宁) )如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的面积为的面积为20 cm20 cm2 2，对角，对角线交于点线交于点O O；以；以ABAB，AOAO为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形AOCAOC1 1B B，对角线，对角线交于点交于点O O1 1；以；以ABAB，AOAO1 1为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形AOAO1 1C C2 2B B；依此类推，则平行四边形依此类推，则平行四边形AOAO4 4C C5 5B B的面积为的面积为( )( )6 6(2017(2017河北河北) )已知正方形已知正方形MNOKMNOK和正六边形和正六边形ABCDEFABCDEF边长均边长均为为1 1，把正方形放在正六边形中，使，把正方形放在正六边形中，使OKOK边与边与ABAB边重合，如图边重合，如图所示按下列步骤操作：所示按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点将正方形在正六边形中绕点B B顺时针旋转，使顺时针旋转，使KMKM边与边与BCBC边重边重合，完成第一次旋转；再绕点合，完成第一次旋转；再绕点C C顺时针旋转，使顺时针旋转，使MNMN边与边与CDCD边边重合，完成第二次旋转；重合，完成第二次旋转；在这样连续；在这样连续6 6次旋转的过程中，次旋转的过程中，点点B B，M M间的距离可能是间的距离可能是( )( )A A1.4 1.4 B B1.1 1.1 C C0.8 0.8 D D0.50.5类型三类型三 点的坐标规律点的坐标规律 这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律解答时，应面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决步发现规律，从而使问题得以解决例例4 4 (2017(2017东营东营) )如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线l：y y x x 与与x x轴交于点轴交于点B B1 1，以，以OBOB1 1为边长作等边三角形为边长作等边三角形A A1 1OBOB1 1，过点，过点A A1 1作作A A1 1B B2 2平行于平行于x x轴，交直线轴，交直线l于点于点B B2 2，以，以A A1 1B B2 2为边为边长作等边三角形长作等边三角形A A2 2A A1 1B B2 2，过点，过点A A2 2作作A A2 2B B3 3平行于平行于x x轴，交直线轴，交直线l于于点点B B3 3，以，以A A2 2B B3 3为边长作等边三角形为边长作等边三角形A A3 3A A2 2B B3 3，则点，则点A A2 0172 017的的横坐标是横坐标是 【分析【分析】 利用直线的解析式及等边三角形的性质计算出利用直线的解析式及等边三角形的性质计算出A A1 1，A A2 2，A A3 3，A A4 4的横坐标，得出规律，写出的横坐标，得出规律，写出A A2 0172 017的横坐标即可的横坐标即可【自主解答【自主解答】 7 7如图，半径为如图，半径为2 2的正六边形的正六边形ABCDEFABCDEF的中心在坐标原点的中心在坐标原点O O，点点P P从点从点B B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2 2个单个单位长度的速度运动，则第位长度的速度运动，则第2 0172 017秒时，点秒时，点P P的坐标是的坐标是( )( )8 8(2017(2017安顺安顺) )如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线l：y yx x2 2交交x x轴于点轴于点A A，交，交y y轴于点轴于点A A1 1，点，点A A2 2，A A3 3，在直线在直线l上，上，点点B B1 1，B B2 2，B B3 3，在在x x轴的正半轴上，若轴的正半轴上，若A A1 1OBOB1 1，A A2 2B B1 1B B2 2，A A3 3B B2 2B B3 3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x x轴上，则第轴上，则第n n个等腰直角三角形个等腰直角三角形A An nB Bn n1 1B Bn n顶点顶点B Bn n的横坐标为的横坐标为 _._.2 2n n1 12 2