第二章函数、导数及其应用第1讲 函数与映射的概念考纲要求考点分布考情风向标1.了解构成函数的要素2.会求一些简单函数的定义域和值域3.了解映射的概念4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)2011年大纲卷第2题考查求反函数；2012年大纲卷第2题考查求反函数；2013年大纲卷第6题考查求反函数对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本节重点解决求函数的定义域但是也要补充反函数的概念及求法，全国卷在2011年、2012年、2013年连续三年都考查求简单函数的反函数映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，通常记为f：AB函数的概念函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，通常记为yf(x)，xA函数的三个要素定义域x的取值范围A值域函数值的集合f(x)|xA对应关系f)B1下列函数中与函数 yx 相同的是(2(2013 年江西)函数 y ln(1x)的定义域为()BA(0,1)B0,1)C(0,1D0,13(2013 年大纲)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()BA(1,1)BC(1,0) D4设 Mx|0x2，Ny|0y3，给出如图 2-1-1所示的四个图象，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是_(填序号)图 2-1-1考点 1 有关映射与函数的概念例 1：(1)若集合A1,2,3，k到集合B4,7，a4，a23a是一个映射， 对应关系为 f ： xy 3x 1 ， 则自然数 a _，自然数 k_；集合 A_，B_.解析：令 yf(x)，f(1)3114，f(2)3217，f(3)33110，f(k)3k1.由映射的定义知，aN，方程组(1)无解解方程组(2)，得 a2 或 a5(舍去)则3k116，k5.A1,2,3,5，B4,7,10,16答案：251,2,3,54,7,10,16(2)下列四个图象中，是函数图象的是()ACBD解析：由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知不是函数图象，是函数图象答案：B(3)(2015 年浙江)存在函数 f(x)满足，对任意 xR 都有()Af(sin2x)sinxCf(x21)|x1|Bf(sin2x)x2xDf(x22x)|x1|答案：D【规律方法】理解映射的概念，应注意以下几点：集合 A，B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象考点 2求函数的定义域C(2,3)(3,4D(1,3)(3,6解析：由函数 yf(x)的表达式可知，函数 f(x)的定义域应x25x6满足条件 4|x|0，x30，解之，得4x4，x2，x3，即函数 f(x)的定义域为(2,3)(3,4故选 C.答案：CA(2,3) B(2,4A(0,2)C(2，)B(0,2D2，)解析：由已知，得 log2x10，log2x1.解得x2.答案：C(3) 若函数 f(x) 1x1， 则 函 数 y ff(x) 的定义域为_答案：x|xR，x1，且 x2【规律方法】(1)求定义域的一般步骤：写出使得函数式有意义的不等式(组)；解不等式(组)；写出函数的定义域(2)常见的一些具体函数的定义域：有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且不等于 1.考点 3 反函数f1(x)()答案：A 答案：B(3)函数 f(x)2x的反函数yf1(x)的图象为()ABCD解析：指数函数 f(x)2x 的反函数为对数函数 ylog2x.故选 A.答案：A【规律方法】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解，再互换得到结论，同时也考查了函数值域的求法；特别要注意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视易错、易混、易漏对复合函数的定义域理解不透彻例题：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2) 若函数 f(x 1) 的定义域为 2,3 ， 则 f(x)的定义域为_，f(2x1)的定义域为_；(3)若函数 f(x)的值域为2,3，则 f(x1)的值域为_，f(x)1 的值域为_正解：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则对 f(x1)，有 2x13.解得 3x4，即 f(x1)的定义域为3,4(2)若函数 f(x1)的定义域为2,3，即 2x3，有 1x12，则 f(x)的定义域为1,2而对 f(2x1)，有 12x12，(3)f(x1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的，不改变值域f(x)1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1个单位长度得到的故 f(x1)的值域为2,3，f(x)1 的值域为1,2答案：(1)3,4(2)1,20，12(3)2,31,2【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用第(2)小题的方法求 f(x)的定义域，然后利用第(1)小题的方法求解1函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相同即可2对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形：(1)已知 f(x)的定义域为a，b，求 f(u(x)的定义域，只需求不等式 au(x)b 的解集即可；(2)已知 f(u(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)在区间a，b内的值域；(3)已知 f(u(x)的定义域为a，b，求 f(g(x)的定义域，必须先利用题方法求 f(x)的定义域，然后利用题的方法求解