5.3直线与平面的夹角第二章5夹角的计算1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角.学习目标知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理 自主学习知识点一直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的 的夹角叫作该直线与此平面的夹角.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为 .(3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 .(4)直线与平面夹角的范围： .(5)斜线与平面夹角的范围： .答案0投影返回知识点二直线与平面夹角的向量求法设平面的斜线l的方向向量为a，平面的法向量为n.(1)当a，n与，l的关系如图所示时，则l与所成角与a，n所成的角互余.即sin cosa，n.(2)当a，n与，l的关系如图所示时，题型探究重点突破题型一求直线与平面的夹角的基本方法例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角.解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点.求EB与平面ABCD夹角的余弦值.解析答案题型二空间夹角的综合应用例2四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分别为CD，PB的中点.(1)求证：EF平面PAB；解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点.(1)求证：CMEM；证明如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，设EAa，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).解析答案返回(2)求CM与平面CDE的夹角.解设向量n(1，y0，z0)与平面CDE垂直，所以y02，z02，即n(1,2，2)，因此直线CM与平面CDE的夹角是45.当堂检测123451.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A.等于90B.小于90C.大于90D.不确定解析A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，A解析答案MPMN，即PMN90.也可由三垂线定理直接得MPMN.12345解析答案2.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值为()12345解析答案A.60 B.90 C.105 D.75解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，B即AB1与C1B所成角的大小为90.解析答案4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D12345解析答案解由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).12345课堂小结利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.返回