1二阶线性偏微分方程理论二阶线性偏微分方程理论第二章第二章 定解问题与偏微分方程理论定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容本次课主要内容与与函数函数(一一)、二阶线性偏微分方程理论、二阶线性偏微分方程理论(二二)、 函数函数2(一一)、二阶线性偏微分方程理论、二阶线性偏微分方程理论基本概念基本概念T为算子，若为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称称T为线性算子为线性算子2. 二阶线性偏微分算子二阶线性偏微分算子 1. 线性算子线性算子 3于是于是 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程可以简记为可以简记为：齐次形式为齐次形式为：其中其中:43.边界条件算子边界条件算子主要判定方法有：主要判定方法有：M判别法，柯西一致收敛判别法，柯西一致收敛准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。4.函数项级数的一致收敛函数项级数的一致收敛定义：对级数定义：对级数若对若对当nN时，对任意称级数一致收敛于和函数称级数一致收敛于和函数S(x).5物理背景：物理背景：叠加原理叠加原理原理原理1： 在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因素产生的效果总和。生的总效果等于各因素产生的效果总和。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。线性定解问题中的叠加原理。 设设ui满足线性方程满足线性方程(或线性定解条件或线性定解条件)：又设：又设：6其中：其中： 收敛，且算子收敛，且算子L与和号能交换与和号能交换次序。次序。原理原理2： 那么：那么：7其中，其中，M表示自变量组，表示自变量组，M0为参数组为参数组 .设设u(M,M0)满足线性方程满足线性方程(线性定解条件线性定解条件)：原理原理3：且积分且积分收敛，收敛，并满足并满足L中出现的偏导数与积分号交换次中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么序所需要的条件，那么U(M)满足方程满足方程(或或定解条件）：定解条件）：8原理原理3的证明：的证明：主要假定了主要假定了L与积分号的次序可交换！与积分号的次序可交换！解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。程的一个特解之和。9例例1 求泊松方程求泊松方程 ：的一般解的一般解。解解:(1)先求出方程的一个特解先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：代入方程可得：注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方程特解。程特解。10(2)、求对应齐次方程通解、求对应齐次方程通解对应齐次方程为：对应齐次方程为：作变换：作变换：则齐次方程化为：则齐次方程化为：再作变换：再作变换：11方程化为：方程化为：齐次方程通解为：齐次方程通解为：原方程通解为：原方程通解为：12背景：背景：齐次化原理齐次化原理 在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相关的两个齐次化原理。关的两个齐次化原理。 齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。 齐次化原理又称为冲量原理。齐次化原理又称为冲量原理。 齐次化原理的具体物理分析在此略去。齐次化原理的具体物理分析在此略去。13齐次化原理齐次化原理1如果如果满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为：为了证明该定理，先介绍：为了证明该定理，先介绍：14含参变量积分求导法则含参变量积分求导法则定理定理在在上连续，而上连续，而a(u),b(u)在在， 上可上可导，且，且对任意对任意u属于属于，有：，有：则：则：15证明：首先，证明：首先，16齐次化原理齐次化原理2如果如果满足方程：满足方程：那么非齐次柯西问题那么非齐次柯西问题的解为：的解为：17对齐次化原理的三点说明：对齐次化原理的三点说明：1、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程，、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程，对稳态的泊松方程不能使用这两个原理；对稳态的泊松方程不能使用这两个原理；2、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零；、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零；3、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初始条件为零，边界条件齐次！始条件为零，边界条件齐次！18例例2、若、若V (x, t ;)是定解是定解问题是定解问题是定解问题的解，则：的解，则：的解的解.19证明：首先，证明：首先，其次，因其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因是齐次定解问题的解，因此，不难证明此，不难证明20解的适定性解的适定性 满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。为解的适定性。 解的稳定性是指若定解条件有微小变化，解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化。其解也只有微小变化。 只有解满足稳定性，其解才有意义，因定只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。解条件常为实验数据，有测量误差。21 1、 定义定义 函数是指满足下面两个条件的函数函数是指满足下面两个条件的函数 (二二)、 函数函数 几点说明：几点说明：22 (1) 、 几何意义几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。 (2)、物理意义、物理意义x0x(x-x(x-x0 0) ) 定义中条件定义中条件(1)反映物理量集中在反映物理量集中在x0处，该处，该处称为点源；条件处称为点源；条件(2)反映物理量有限。反映物理量有限。23 例例3 3、两端固定的长为、两端固定的长为L L的弦，密度为的弦，密度为，初，初始时刻在始时刻在x x0 0处受到冲量处受到冲量I I的作用。求初速度和的作用。求初速度和定解问题。定解问题。解解:(1)x0u(x,t)xL024(2) 由动量定理由动量定理F F t t= = mv得：得：所以有：所以有：定解问题为：定解问题为：25 例例4 4、一根长为、一根长为L L的导热杆，密度为的导热杆，密度为，比热，比热为为c c，初始时刻在，初始时刻在x x0 0处用火焰烧了一下，传杆处用火焰烧了一下，传杆的热量为的热量为Q Q。求初始温度分布和定解问题。求初始温度分布和定解问题。解解:(1)x0u(x,t)xL026(2)所以有：所以有：定解问题为：定解问题为：27 2、 性质性质(1)(1)筛选性质：对任意连续函数筛选性质：对任意连续函数(x),(x),有：有：28所以，所以，证明：由于证明：由于(2)(2)函数是偶函数函数是偶函数, ,即：即：有有证明：由于对任意连续函数证明：由于对任意连续函数(x),(x),有有所以，所以，29函数的导数函数的导数定义：设定义：设定义的算符定义的算符(n)(n)称为称为(x)(x)的的n n阶导数。阶导数。合理性解释：作形式分部积分：合理性解释：作形式分部积分：由由30 1、 定义定义 函数是指满足下面两个条件的函数函数是指满足下面两个条件的函数 高维高维函数函数 物理解释：表示点源的广义函数。物理解释：表示点源的广义函数。31 例例6、在、在M0处放置单位电荷，则电荷体密度处放置单位电荷，则电荷体密度 为为函数。函数。三维三维函数与一维函数与一维函数的关系：函数的关系： 2、 性质性质(1)(1)筛选性质：对任意连续函数筛选性质：对任意连续函数f(M),f(M),有：有：32(2)(2)函数是偶函数函数是偶函数, ,即：即： 例例7、求证：、求证：33分析：需证明等式右端满足分析：需证明等式右端满足函数两条件。函数两条件。 又当又当x不等于不等于0时有：时有：证明：当证明：当x=0x=0时，考虑到：时，考虑到：34 由于由于35 例例8、求证：、求证：其中其中证明：当证明：当M M不等于不等于M M0 0时，直接计算可得：时，直接计算可得：36 另一方面：另一方面： 所以：所以： 提示：提示：37作业作业P40习题习题2.5第第1、2题题P45习题习题2.6第第1、3题题38Thank You !