高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第二节 对坐标的曲线积分 高等数学（下）高等数学（下）一、问题的提出实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功回顾回顾: : 变力沿与物体运动方向一致所作的功：变力沿与物体运动方向一致所作的功：常力使物体位移常力使物体位移 所作的功：所作的功： 高等数学（下）高等数学（下）问题问题: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割 高等数学（下）高等数学（下）求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值 高等数学（下）高等数学（下）二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义4步步:划分划分,取点作乘积取点作乘积,求和求和,取极取极限限. 高等数学（下）高等数学（下）类似地定义类似地定义 高等数学（下）高等数学（下）2.存在条件：存在条件：3.向量形式向量形式 高等数学（下）高等数学（下）4.4.推广推广 高等数学（下）高等数学（下）5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. .其它其它:线性线性,连续是积分存在的充分条连续是积分存在的充分条件等件等. 高等数学（下）高等数学（下）三、对坐标的曲线积分的计算定理定理 高等数学（下）高等数学（下）特殊情形特殊情形 高等数学（下）高等数学（下）简言之简言之:1)代代入入 高等数学（下）高等数学（下）例例1解解 高等数学（下）高等数学（下）注意注意: 第二型曲线积分不能利用对称性第二型曲线积分不能利用对称性. 高等数学（下）高等数学（下）例例2解解 高等数学（下）高等数学（下）注意注意：被积函数相同，起点和终点也相同，：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同但路径不同积分结果不同. .即：即：曲线积分与曲线积分与路径有关路径有关. . 高等数学（下）高等数学（下）例例3解解 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）注意注意：被积函数相同，起点和终点也相同，：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同. .即：即：曲线积分与曲线积分与路径无关路径无关. . 高等数学（下）高等数学（下）例例4 求求从从 z 轴的正轴看取逆时针轴的正轴看取逆时针.解解取取的参数方程为的参数方程为: 高等数学（下）高等数学（下）四、两类曲线积分之间的关系：四、两类曲线积分之间的关系：即即（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 高等数学（下）高等数学（下）可用向量表示可用向量表示 高等数学（下）高等数学（下）例例5解解 高等数学（下）高等数学（下）例例6 将将化为第一类线积分化为第一类线积分.解解取取的参数方程为的参数方程为: 高等数学（下）高等数学（下） 高等数学（下）高等数学（下）四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系 高等数学（下）高等数学（下）思考题思考题 高等数学（下）高等数学（下）思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.