1. 1. 局部局部TaylorTaylor展开式：展开式：Taylor Taylor 公式公式12. 带带Lagrange余项的余项的Taylor公式：公式：2带带LagrangeLagrange余项的余项的MaclaurinMaclaurin公式：公式：3 4 4 函数单调性与凸性的判别法函数单调性与凸性的判别法v函数单调性判别法函数单调性判别法v函数的凸性及其判别法函数的凸性及其判别法4一一. . 函数单调性的判别法函数单调性的判别法定义定义5定理定理1 1证明：证明：67说明说明: : 1)单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,8定理定理2 2证明：证明：910证明：证明：1112证明：证明：1314解：解：注意注意: : 函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性15Nove. 17 Mon. Reviewv函数单调性判别法函数单调性判别法16例例4.4. 证明证明时时, 成立不等式成立不等式证证: 令令从而从而因此因此且且证证17* 证明证明令令则则从而从而即即18二二. 函数的凸性及其判别法函数的凸性及其判别法问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?19图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的上方于弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于弦的下方于弦的下方20定义定义1 1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。是凸函数或凹函数。21凹函数凹函数凸函数凸函数22定义定义11凹函数凹函数凸函数凸函数定义定义2 223定理定理证明：证明：2425几何意义：几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。26求拐点的求拐点的步骤：步骤：27解解：28解解：二阶导数不存在的点也可能是拐点二阶导数不存在的点也可能是拐点. .29解：导数不存在，二阶导数也不存在。导数不存在，二阶导数也不存在。34凸凸凹凹凹凹35证明：36证明：37hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5),2(1),3,5,6.更进一步有不等式：更进一步有不等式：385 5 函数极值、函数作图函数极值、函数作图v函数的极值与求法；函数的极值与求法；v渐近线；渐近线；v函数作图。函数作图。45一一. 函数的极值与求法函数的极值与求法定义定义：函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点. .4647定理定理1 1( (必要条件必要条件) )注意注意: :例如例如, ,极值可疑点：极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点导数为零的点，导数不存在的点(尖点尖点).48定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )( (是极值点情形是极值点情形) )49证明：证明：50求极值的步骤求极值的步骤: :( (不是极值点情形不是极值点情形) )51例例1 1. .解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值52图形如下图形如下53解解：5455定理定理3 3（第二充分条件）（第二充分条件）56证明：证明：57极小值极小值极大值极大值58定理定理3 3( (第二充分条件第二充分条件) )59例例 1. 1. 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；求有最大面积的直角三角形；解解：60证明：证明：61证明：证明：6263解：解：6465小小 结结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为极值可疑点极值可疑点. .函数的极值必在极值可疑点取得函数的极值必在极值可疑点取得. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件; ;第二充分条件第二充分条件; ;( (注意使用条件注意使用条件) )HwHw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.66二二. . 渐近线渐近线定义定义: :1.1.垂直渐近线垂直渐近线67例如例如有垂直渐近线两条有垂直渐近线两条: :682.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :693.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法: :70注意注意: :71解：解：72解：解：73三三. . 函数作图函数作图1.1.函数基本性质：函数基本性质：1). 1). 定义域，值域，连续范围；定义域，值域，连续范围；2). 2). 函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶 函数关于函数关于y y轴对称；轴对称；3). 3). 周期性。周期性。742. 2. 利用导数研究函数性质：利用导数研究函数性质：753. 3. 渐近线渐近线1). 1). 垂直渐近线；垂直渐近线；2). 2). 水平与斜渐近线。水平与斜渐近线。4. 4. 描点作图描点作图 76解：解：777879p188 7(1,3,5),8,11(2).p188 7(1,3,5),8,11(2).p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9),p229 4,6,8,9,10(1,4,6,7,9), 12(1),13(1,3),15,20,21,30 12(1),13(1,3),15,20,21,3080列表列表xyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x =0=00(拐点拐点)+因因00+3极小值极小值+例例1.1.0.间断点间断点810xy3.82列表列表xyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y =0=0，因因+0因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x =1，x = 1x = 02.2.830xy11 .84小小 结结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究, ,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察. .最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凸的凸的凹的凹的单增单增单减单减85