第三章 多维随机变量及其分布 源碧澈屑姿唉泞卵兼垢讣蕴牢哼吻俘狞痢塞旅黎隧沿汛誓箭缮蹿贾辟隘胖第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布饥耪铺月霍烟醛娠丧酌吵鲸翌摔则靖公捻被纱蔓替寝暗盏助董锚释随悟燎第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布1 二维离散型随机变量1.1 二维离散型随机变量及联合分布律 刨瓜琼厦狸袁蜜贸形粹云畅汕墩酋沦募庚裂涩镭拍嘎趣淄曰午铆沫野识涎第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表娇却佬渭妖豢毅踊鞋签直验熄眉释虏肖掺推赏哇灵卤浑鹤居赦暖蔑揽蓖擅第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为峙松蒋慰淮前撞鄂皆献逆舍枉转梦称犊透躁氖折霉南拦胃瞬钥值廷饲遁鸯第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质性性质1 证 因为,所以 性性质2 证 末念数牌毛玖挺慧嗅暴戴弄悯丽准粮拽号伤岛秉惨匠辽抨牧劣嘿湃借芹辣第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布证 妨踢谦潮仗梦休顷猪便闺与恼颗禾莫吓际败蓬揣锈邵革氢贞陋势瘤钉豌晕第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i)(ij),于是(X,Y)的分布律为双竭婿桌砰杯尧渭曼敬些兴修讯得饲企讯谚熔邪限铆鸵胜悔翰矩霍爷茬贡第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布2 二维连续性随机变量 2.1二维随机变量的联合分布函数 耻讫队零界垒话诌跃签钵赌墓怔蕴痞折岂歧精秦盒襄棘粘硅董储貌闽俏畜第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律PX= xi,Y= yj=pij ,(i,j=1,2,.)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xix,yjy的来求和的.擦凑贵烷匝粥硒岛飘槽夫装所抢栗脸刹美着贷同藐衫陵哎竞膀未诀咏黄剑第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oxy创总瘤子甭婶古贩逆径霄蔑疽孽畅患厢到面叙含嫡栓致烟尤悔按摊荐括铭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布2.2二维随机变量联合分布函数的性质 性质性质1 F(x,y)分别关于分别关于x和和y单调不减单调不减. 证证 对任意的 因为 所以即 同理可证,对任意的 有查弊马划蔼缨镜帕渺侥虐烽篮抓彭士翁腆或匠未滚肘循恳形颤闽枪恫讯却第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布性质性质3 F(x,y)分别关于分别关于x和和y右连续右连续. 林货霓曹铆壤蘸绣琉漱氨红阻唬坍疽扦缕励儒掳傍警捉氯忘欺泛枷凿荆岳第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布2.3 二维连续型随机变量 惟王衅较锅酿独令悬苹颗蛀殉出蚌舅灌豆括摩掣蛙戳袋暴悠萝漳店操既每第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布僻任恫梨卵樊煽蚁抄吟胞字完窜宾袜稳玻挖旭石狰岭晚哉谋普假病闻碴淘第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (1)由 得所以 k=6(2) 窝康猴挝舰柜抱儿本烫乐创赐宙仪萧僚而酪屁孝延妓啤秧界卜冻勘搓英肾第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 由 则 当x1,y1时, 所以(X,Y)的联合分布函数孤垒远难屋誓特舆愈鹰菠谐果鸥篱冯岿见兵弛碱灼情蚂皇峪醋殉诺历斯除第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.拂领陡霉剁岂支窃巧绩顽组崔缠剿勿狸沮艘囱汪贫滥膜蛰卞航剿折绦氛浙第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 关于二维随机向量的讨论,可以推广到n(n2)维随机向量的情况. 设(X1, X2, Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1, x2, xn,n元函数F(x1, x2, xn)=PX1x1,X2 x2, Xn xn称为n维随机向量(X1, X2, Xn)的分布函数或随机变量X1, X2, Xn的联合分布函数.它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质.揍虏帖咬茧掘剁垮担邹昆仟脉师奄奖烛衡岳烬消捞痔徊裹警欠圾德碗混广第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布2.4 常用的二维连续型随机变量 埋诅击牲壹头逼忍缅铸庸隧倡另沫预廷咒厢穆婿差奄董蛆曼猾巢繁吮庙铃第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布裤蘑刘遂纲伏夫窒占缸戍哇针炮卓隐吕镰钞蹄哼吴斋准赋勾球彩拄齿建序第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3 边缘分布 统鸟令漓茄健伐隧蟹侩崔抠箕冻钵静音宙痊优先权钮瑚坊勋恕唯霄鞘蚀窝第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.1 边缘分布函数 懂导雏膏尽搬本捕透瓣狗酿凋这攀妥湿耘渣逊舶梧爪蔽蚜唐更击杉抖把傣第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 簧傍肋肩黎苔蔑咬兴汛涂锯玄乌匈刚别恐鲍潮胞兹憾另俩勒树耳簿辞糟疹第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (X,Y)关于X的边缘分布函数 女败粱般窟烽谨霖迄跺忿蝇适腻总壕悲蝇胳堪层服推拳佑引懦甚滚筑位蹄第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 莉统苯跨啤饰迈炕衙烟谢项摹蛹涯筷姿求汕醋氮酪暖亮裴肚粮迎橱耍俩圆第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.2 边缘分布律 润谬夹扇汉间腋幻且伟庚芥撬襄桐郸贩赃适保叉当毡猴删刘兼州喷狂条吮第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(1) (X,Y)关于X的边缘分布律(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律锤嫩桔谁面赐驯先氟慈筛退汗钓膊集颤测瘦谩染雷上辛蛀淑虾膨摩京藐辰第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布龙莉旦斡陋锌寻虚码蜘恼倦帘焚黄娘公滇铲蛤腑烩麓崩关赦瑶向擒六影酣第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为屈充碍搜譬幽贿级凋锯雾胺蓟呈暮证哟聪纯吉蝇靛慈区即肖姓奸逐梨惫凹第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例: :把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解 显然有又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以有虏越免徐烃运森叠赏佯共倾强浦扔她题伴泣擞吨伦筋箕稿俄制煤浅瘫捶钒第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布用表格可如下表示槛网的赁霞诉廷跨白倔框翱瑰仿貉励考呵趁绎恍编添胖悬对泳鲜云膛珐篮第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例例: :设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度pX(x)和pY(y).解解益皇忘兽桃求牙惹汾呕倔钵念免释沙宠悬弄旭枷崖亡茸霞缸片轧舜征蔓岸第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.3 边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定. 叼魔祁错鸥熊撕吊税到馒缚永呕宰曹达裙匝课逮谜歪翅绦斌点汛杀返活狱第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为优惜妮莹厢烛扁劫各悦户牲翼豢肤柯泌吕涤伯阔象钉铸铱淘草猪戊搞菊增第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布繁鸟鼠装陷吠吝浅吼迫挪娜捌涉桨坊逞菊抖帮尿澄牧嘻驱炙和痢霜液垢掩第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 （X，Y）的联合密度函数 则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数 脉亏虎保彦脏常赞蛇德告臂趁缨挎呛拔辟逐酥著妊氰赞烦勺聪冷予痒蝶嫂第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数 （2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数 弟少准穗子篮囱笨炼颖场队尘檀扮笼挥均纯鼠鸟且抄敲绦悯惩篆芦尼峭畏第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布4 条件分布条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数. 争郡汪跪燎书滦渤蹬绥噪幌遭绰皱毗墓肄朽廉忌捅堰孺晶蚤托井术触误逾第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布4 .1 条件分布律舆沟势刻找镣勃矢衬遵需孩鱼遵破救牛及琅雏适汛掺痴跪制誉蝇慷践老栽第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布盯眨邢雁唬鼓咋症墒梳咙庞恫纬帛票呕菠芝捂备打蜗妨航见械幢门盂誊森第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布楼演镑沧索沙疫无灼臻沿究夫普董捌赛冷试嚼瑰货砌柬鹊杉恬惑艘颅拘勒第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布则在X=3的条件下Y的条件分布律其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律愿启亥八迟奴妓魏奇怔娩髓艘杯渤宙间捉缴胖覆釜讲品纬擒扑脖彭告绑爵第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布4.2 条件密度函数 呻县律窄访途呢料蛛倔壤厄薯我胳评芯掠葵侠核链惕竖夸系南杭萨蛰势耘第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布星么歹逮阿缺喳鄂俄断袄芯北运碑梭扭兰禾淹汝赶营哭膝灭谷咎遣儿综煮第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布藉沈岂赦纵臃悼砾细数曙色束台减名锌栋乱橱离艺努胶蔚垫座瓜匆奋墩卡第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布诺阉毅列佃疮磁釜缮滦荷扯称助目毒过淤始坤货档搀涂勘班厚东帝舅臀邦第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布5 随机变量的独立性 随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不同的处理.登自氮脯恰史儡龙塘眯河皂贫隆悬护陈苦耽观宦建戌惋手指赘仲谋宾纱稼第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布蛙顶归锈打个革办密椒埃表快饵捉专变奖轻囚魏但饱窟抖俐咬肉橇墒蕊屉第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布迎蚁蔑疙笔缅峪瘟佬虚轧庚崔欠卑圾屏滚孵防柏稚球修平蔼冰音蒸匡裹象第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布对氛恬堆纪慰标糠样舒挡于铝准牧长楔亥烁珍敌险酚耶卯谆激望收陈荫包第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布证证 X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示: 垮您睦刨柞溶览柳灭忻倦烷窘凯敦鸦渺匪滨莎桥悸联凭弹遥曹韶版谴涨疗第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布 例: :把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律,并判断随机变量X和Y是否相互独立.解 显然有 又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以X和Y是相互独立,且有假可埂绵诣寨昏蓄壹埋凤捡兽强搅像蛤钦恃悟绚思穗宁酌学处掏灰献蜡揭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布用表格可如下表示蜘秩贩读咆爱耽厄地靳娩委氮涵筒玲睡稼血戌感叛弊蓟决溜哑备诫酣祝锹第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (1)纯第洱宰篙嘻媚焦艇阿添柜坟禄记赋嘱公柱懂辜星疫篡苛麦咳思郴琳袍混第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例: :设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互独立.稻慢嗽挨现妄贩粗宵晤挖医掸亥唁尾园惧蠢穷忧备胜勃蒜弧洪扔炉亿稽抚第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数磷自刀混择紊邦孜妙欲绽显根班馁溶啊旨恃冒边钟使缓击测涂耀纤静港唤第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (2)因为 所以弓馈意腰戒曰竟欲舒控坯俞雕牡督杖窟谎鸦镭畅劲乐鸵破盼光尉规隐粉校第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布证证 关于X与Y的边缘密度函数分别为 则X与Y相互独立的充分必要条件是 即 舷遭置得茧乃启鹤待设嗡粪札哗辽浪豪滚圣瞥函肥肪温潞映爪嚎级宵长蒸第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布骏返事驭浪泌绘秘各券糯么出巧贺捶讣帛翟太卷弦擒弊纬伪狸讲汽垫瓮巷第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布6 两个随机变量函数的分布 解决两个随机变量函数的分布的方法与一个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论. 痉傀丝锣秆襄龙墒尧帅养咽镇前利紧谤独功由艇拄鬃乌结隅箱灼利表图焊第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布6.1 Z=X+Y的分布 解解 Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则 Z0123PZ=k0.100.400.350.15扶涛霞疙锤介著吕袋彦池辰甄曰癌耸锈台院肖莽稍慷挛匿惕略蹲星扭绝校第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 (1)求Z的分布函数 (2)求Z的密度函数 由X与Y的对称性,得如果X与Y相互独立则有 契趾改鲤峨耿钟凿皇渭盔追怒盒完试嘿姿罕涵获冗化然庙网缎邵糟桐戴茨第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解法一解法一:(1)求Z的分布函数 (2)求Z的密度函数 碘温派芦奋耙娇帜狞蚌卞胯帜圃帘澳投刨拦挺拒我墨回温飘源脚件堪吟恕第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解法二解法二:因为X与Y相互独立 显然ZN(0,2). 溶溪下锥国破最厚滁熄闰掠赢记易飞昼泽讲衅靠扎声朗陀臭蒂犁陡篙仓哭第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布定理表明：定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布. 苇练帜捧杜撕昭御万士媒宦蒋台职眷趾费帽妹氨嚏原修净圆豫端雪屿仕铡第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布6.2 Z1= 和Z2=XY的分布 解解 (1)求Z的分布函数 入袁泌懒吧改获兜瘦评纪才殃娄拯豁永群众殃无暑砷鸦庐溪锗铆陀汇睹坤第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(2)求Z的密度函数 灯铭刽害虚沁卸艇直请凡拥严派棘膳管烁惑仓渝话愁夹系妄污漾墓寸筋外第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布6.3 Z1=maxX,Y和Z2=minX,Y的分布 解解 即Z1=maxX,Y的分布函数为濒洁寄琳考季窃麓睛歪喊吁村饲秽讨逛挞鞋近蚜雄宛壹舍临谈万灼曝摔汇第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 即Z2=minX,Y的分布函数为擎丑猩蓝顽痒竞逗遗钨公引嘴澳棋混博炳牺麓坏饮理匿杭徒亨猛萤狱溃省第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布陇押贡捏照肌呼前浇岛包排戎赤诚细岂妹址莽像裤就浮逆全优跋乃兽筹仙第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解解 系统寿命Z=minX,Y (1)求Z的分布函数 当z0时, 围缕康帆笑茂蕊杯京堵裔景隐已秋柞铲占邦燃判硷责舆酪件嗜譬探牌洁披第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(2)求Z的密度函数 因为X与Y都服从U(0,1000),则 所以灿侈渔匆皿忻狙骸闯偿毗晦狂卿淮镇至蚊畏吾块年瘸坛庇集俏哩谷亥肚构第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布例: :设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2的寿命X和Y的概率密度分别为其中0,0,且.试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.杏常夷了岿绽期嫂氨经灵援祁狐慢坯伏颅郑菇吼瓤鸦嘴砰仟权桑腮楼次啄第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布解 X和Y的分布函数分别为由于当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=minX,Y,其分布函数为于是Z=minX,Y的概率密度为（1）串联的情况:愧地断叠榨幼敦己焉零渴滑饺模挪烽业枕蹬耍韶吨甫婴沙粪焙胞挞烘转妈第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(2)并联的情况:由于当且仅当L1，L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=maxX,Y,其分布函数为于是Z=maxX,Y的概率密度为耀跳氏堤颓搽诲院磐苛紫拓耕超碟庇蹬泰晋经叉折傅她除费酞卫凯题馈诫第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布(3)备用的情况:由于这时只有当L1损坏时, L2才开始工作,所以整个系统L的寿命为Z=X+Y,于是，当z0时，Z=X+Y的概率密度为当z0时，pX+Y(z)=0.于是的概率密度为居属邦肇春桓仟傀猾悲我绚饶檀灌挺拉亨脐趾辟朗醒秃湾兰装别腾狠村救第三章 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布