第2章检测系统的误差合成检测系统的误差合成2.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理2.3 系统误差的处理系统误差的处理2.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则2.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法2.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定参考书：参考书：费业泰，误差理论与数据处理，机械工业出版社费业泰，误差理论与数据处理，机械工业出版社1研究误差的意义研究误差的意义 由于实验方法和实验设备的由于实验方法和实验设备的不完善不完善，周围环境的，周围环境的影响，以及受人们的认识能力的限制等，影响，以及受人们的认识能力的限制等，测量和实测量和实验所得的数据验所得的数据和和被测量的真值被测量的真值之间，之间，不可避免不可避免的存的存在差异在差异，这在数值上即表现为，这在数值上即表现为误差误差。为了充分认识，。为了充分认识，并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中验中始终存在始终存在着的误差进行研究。着的误差进行研究。 在科学实验与工程实践中，在科学实验与工程实践中，任何测量结果都存在任何测量结果都存在误差误差。2研究误差的意义：研究误差的意义：1.正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以正确认识误差的性质，分析产生误差的原因，以减小或消除误差。减小或消除误差。2.正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。便在一定条件下得到更接近于真值的数据。3.正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方正确组织实验过程，合理设计或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。法，以便在最经济的条件下得到理想的结果。从根本上，消除或减小误差从根本上，消除或减小误差通过计算得到更接近真值的数据通过计算得到更接近真值的数据根据目标确定最佳系统根据目标确定最佳系统32.1 测量误差的基本概念测量误差的基本概念2.1.1 测量误差的名词术语测量误差的名词术语（1）真值）真值 指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的指一定的时间及空间条件下，某物理量体现的真实数值真实数值。真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念真值是客观存在，但不可测量的，是一个理想的概念。 在测量中，一方面在测量中，一方面无法获得真值无法获得真值，而另一方面又往往，而另一方面又往往需要需要运用真值运用真值。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用。因此，在实际计量和测量工作中，经常使用“约定约定真值真值”和和“相对真值相对真值”。 约定真值约定真值是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真是指对给定的目的而言，他被认为充分接近于真值，因而值，因而可以代替真值来使用可以代替真值来使用。在实际测量中，被测量的实际在实际测量中，被测量的实际值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。值、已修正过的算术平均值均可作为约定真值。 相对真值相对真值叫实际值，是在叫实际值，是在满足规定准确度时满足规定准确度时用来代替真值用来代替真值使用的值。使用的值。4（2）标称值）标称值 计量或测量器具上标注的量值。计量或测量器具上标注的量值。如如:标准砝码上标出的标准砝码上标出的1kg，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他，受制造、测量及环境条件变化的影响，标称值并不一定等于他的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的的实际值。为此，通常在给出标称值的同时也给出他的误差范围误差范围或或精度等级精度等级。（3）示值）示值 由测量仪器给出或提供的量值，也称由测量仪器给出或提供的量值，也称测量值，显示值测量值，显示值。（4）测量结果）测量结果 由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还由测量所得的测量值。在测量结果的表述中，除了示值，还应包括应包括测量不确定度测量不确定度和有关和有关影响量影响量的值。的值。5（5）测量结果的精度）测量结果的精度 反映测量结果与真值接近程度的量。反映测量结果与真值接近程度的量。他与误差大小相对应，他与误差大小相对应，即：即：误差大，精度低；误差小，精度高误差大，精度低；误差小，精度高。也就是说精度是从另。也就是说精度是从另一角度评价测量误差大小的量，可细分为：一角度评价测量误差大小的量，可细分为：（a）准确度）准确度（反映测量中（反映测量中系统误差系统误差的大小，即测量结果偏离真的大小，即测量结果偏离真值的程度），值的程度），（b）精密度）精密度（反映测量中（反映测量中随机误差随机误差的大小，即测量结果的分散的大小，即测量结果的分散程度），程度），（c）精确度）精确度（反映测量中（反映测量中系统误差与随机误差综合影响系统误差与随机误差综合影响的程度）的程度）。6不精密（随机误差大）不精密（随机误差大） 准确（系统误差小）准确（系统误差小） 精密（随机误差小）精密（随机误差小）不准确（系统误差大不准确（系统误差大）不精密（随机误差大）不精密（随机误差大）不准确（系统误差大）不准确（系统误差大）精密（随机误差小）精密（随机误差小）准确（系统误差小）准确（系统误差小） 任何一次测量中，系差和随差都是任何一次测量中，系差和随差都是同时存在同时存在的，而且两者的，而且两者之间之间并没有严格的界限并没有严格的界限。7图2.1测量的准确度与精密度 A为被测量真值，为被测量真值，Aa、Ab分别是两组测量的平均值。分别是两组测量的平均值。精密度精密度与准确度的区别与准确度的区别由图由图2.1可知，可知，曲线曲线1表示准确却不精密表示准确却不精密（小，小，大）的测量，大）的测量，曲线曲线2表示精密却不准确表示精密却不准确（小，小，大）的测量。要大）的测量。要同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。同时兼顾准确度和精密度，才能成为精确的测量。8（6）测量不确定度）测量不确定度 表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估表征被测量的真值在某量值范围内不能肯定程度的一个估计。即计。即不确定度就是测量误差极限估计值的评价不确定度就是测量误差极限估计值的评价。通常采用统。通常采用统计方法和非统计方法估计不确定度。计方法和非统计方法估计不确定度。（7）测量误差）测量误差 测量结果与被测量真值之差，即：测量结果与被测量真值之差，即：测量误差测量误差=测量结果真值。测量结果真值。92.1.2 测量误差的分类测量误差的分类 为便于分析与处理误差，为便于分析与处理误差，按照其特点与性质按照其特点与性质，可将误差分为，可将误差分为系统误差系统误差、随机误差随机误差和和粗大误差粗大误差三大类。三大类。（1）系统误差）系统误差 在相同条件下，对同一被测量进行在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，出现时，出现某种某种保持恒定保持恒定或或按一定规律变化按一定规律变化着的误差称为系统误差。着的误差称为系统误差。 系统误差系统误差根据其变化规律根据其变化规律又可分为又可分为已定系统误差已定系统误差（误差大（误差大小和符号已知）和小和符号已知）和未定系统误差未定系统误差（误差大小和符号未知，但可（误差大小和符号未知，但可以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过以估计其范围）。在测量中，已定系统误差可以通过修正修正来消来消除，且应当消除此类误差。除，且应当消除此类误差。 系统误差系统误差按误差的规律按误差的规律可分为可分为不变系统误差不变系统误差（误差大小和（误差大小和方向为固定值）和方向为固定值）和变化系统误差变化系统误差（误差大小和方向为变化的）。（误差大小和方向为变化的）。变化系统误差变化系统误差按其变化规律又可分为按其变化规律又可分为线性系统误差线性系统误差、周期性系周期性系统误差统误差和和复杂规律系统误差复杂规律系统误差等。等。10图2.2系统误差a不变系统误差；b线性系统误差；c非线性系统误差；d周期性系统误差；e复杂规律系统误差dtabce11（2）随机误差）随机误差 在在相同条件相同条件下，对同一被测量进行下，对同一被测量进行多次重复测量多次重复测量时，受偶时，受偶然因素影响而出现然因素影响而出现误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化着着，则此类误差称为随机误差。，则此类误差称为随机误差。 引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和引起随机误差的原因都是一些微小因素，只能用概率论和数理统计方法计算它出现可能性的大小。数理统计方法计算它出现可能性的大小。随机误差不可能修正，随机误差不可能修正，但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果但在了解其统计规律性之后，可以控制和减少它们对测量结果的影响。的影响。12随机误差具有以下特性：随机误差具有以下特性： 1） 绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的的可能性相等可能性相等； 2） 在一定测量条件下，随机误差的在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一绝对值不会超出某一限度限度； 3） 绝对值小的随机误差绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多（复测量中出现的机会多（概率大概率大）；）； 4） 随机误差的算术平均值随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。随测量次数的增加而趋于零。13（3）粗大误差）粗大误差 在测量结果中有在测量结果中有明显错误的误差明显错误的误差称为粗大误差，也称为寄称为粗大误差，也称为寄生误差。这种误差主要是生误差。这种误差主要是由于某种不正常的原因造成的由于某种不正常的原因造成的，在数，在数据处理时，应该据处理时，应该剔除剔除含有粗大误差的数据，含有粗大误差的数据，但必须有充分依据但必须有充分依据。 2.1.3 误差产生的原因误差产生的原因误差的来源误差的来源测量装置误差测量装置误差环境误差环境误差方法误差方法误差人员误差人员误差142.1.4 测量误差的表示方法测量误差的表示方法（1）绝对误差）绝对误差 被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称被测量的测量值与其真值之差称之为测量绝对误差，简称误差，即误差，即 测量误差测量误差=测量结果真值测量结果真值 用某电压表测量电压，电压表的示值为用某电压表测量电压，电压表的示值为226226V V，查，查该表的检定证书，得知该电压表在该表的检定证书，得知该电压表在220220V V附近的误差附近的误差为为5 5V V ，被测电压的，被测电压的修正值修正值为为5 5V V ，则修正后的测，则修正后的测量结果为量结果为226+(226+(5 5V V )=221 )=221V V。 测得值相对真值绝对误差修正值：修正值：为了消除为了消除固定的系统误差固定的系统误差用代数法加到测量结用代数法加到测量结果上的值。果上的值。修正值修正值=相对真值测量结果相对真值测量结果测量误差测量误差15定义：定义：被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对被测量的绝对误差与其真值之比值的百分数值称为相对误差，即：误差，即： （2）相对误差）相对误差 绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。绝对误差的表示方法不能反映测量结果的准确程度。比比如，测量两个电阻如，测量两个电阻R R1 11010、R R2 210001000，测量过程中的误差，测量过程中的误差RR1 10.10.1、 R R2 21 1,但不能说但不能说R R1 1比比R R2 2测量地准确。测量地准确。16 例：例：用两种方法测得工件用两种方法测得工件 的误差分别为：的误差分别为： ， ，无论从，无论从绝对误差绝对误差还是还是相对误差相对误差看，显然第一看，显然第一种方法精度较高，但若用第三种方法测得：种方法精度较高，但若用第三种方法测得： 时的误差为时的误差为 ，从，从绝对误差绝对误差上不好判上不好判定精度的高低，因为定精度的高低，因为 不是同一被测量，此时三者的相对误不是同一被测量，此时三者的相对误差为：差为：由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法由此可见，第一种方法精度最好，第三种方法次之，第二种方法最差。最差。17（3）引用误差）引用误差 引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，引用误差为仪器仪表示值误差与仪表测范围上限的百分比，即：即：引用误差是为了评价引用误差是为了评价测量仪表精度等级测量仪表精度等级而引入的。而引入的。 测量仪表的测量仪表的精度等级精度等级应用应用最大引用误差最大引用误差，即绝对，即绝对误差的最大绝对值误差的最大绝对值|x |m与量程与量程X Xm m的比值的比值m m ：18国家标准国家标准GB776-76GB776-76测量指示仪表通用技术条件规测量指示仪表通用技术条件规定，定，电测仪表准确度等级指数电测仪表准确度等级指数分为分为7 7个等级：个等级：0.1, 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.00.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0，它们表示仪表的最，它们表示仪表的最大引用误差不能超过其等级指数大引用误差不能超过其等级指数的百分数。的百分数。例如，例如，1.51.5级的电表，表明其级的电表，表明其m m1.5%1.5% 19例例2-22-2：检定一台量程为检定一台量程为5A5A的的1.51.5级的电流表，在电流级的电流表，在电流为为2.0A2.0A处，其绝对误差为处，其绝对误差为0.1A0.1A，问此电流表精度是，问此电流表精度是否合格？否合格？解：由题意解：由题意I Im m5A5A，1.51.5，I I2.0A2.0A， I I0.1A0.1A此电流表精度不合格。此电流表精度不合格。20例例2-32-3：测量一个约测量一个约80V80V的电压，现有两块电压表，一的电压，现有两块电压表，一块量程为块量程为300V 300V 0.50.5级级，另一块量程为，另一块量程为100V 100V 1.01.0级级，问问选择哪一块电压表好？选择哪一块电压表好？解：使用量程为解：使用量程为300V 0.5300V 0.5级电压表，测量的最大相对级电压表，测量的最大相对误差为：误差为：使用量程为使用量程为100V 1.0100V 1.0级电压表，测量的最大相对误级电压表，测量的最大相对误差为：差为：因此，应使用量程为因此，应使用量程为100V 1.0100V 1.0级的电压表。级的电压表。选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满选择仪表时，尽量使被测量接近满量程，至少为满量程的量程的2/32/3。21（4）分贝误差）分贝误差分贝误差定义为：分贝误差定义为： 分贝误差的单位为分贝误差的单位为dB。22 随机误差随机误差：服从大数统计规律的误差。：服从大数统计规律的误差。 在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量在相同的条件下，重复测量某一量时，每次测量的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总的随机误差或正或负，不能预知；但多次测量的总体却体却服从正态分布服从正态分布。2.2 随机误差及其处理随机误差及其处理23随机误差的特点正态分布随机误差的特点正态分布 若测量结果中若测量结果中不含系统误差和粗大误差不含系统误差和粗大误差，测量列，测量列中的中的随机误差随机误差一般有以下几个特点：一般有以下几个特点：1.误差的对称性误差的对称性：绝对值相等的正误差和负误差出：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数（概率）相等；现的次数（概率）相等；2.误差的单峰性误差的单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多（概率大）；差出现的次数多（概率大）；3.误差的有界性误差的有界性：在一定的测量条件下，随机误差：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；的绝对值不会超过一定的界限；4.误差的抵偿性误差的抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。的算术平均值趋向于零。24随机误差随机误差 是是测量结果测量结果与在与在重复条件重复条件下对同一被测量下对同一被测量进行进行无限多次无限多次测量所得结果的平均值（测量所得结果的平均值（真值真值）A A之之差。即差。即 式中：式中： 正态分布的随机误差正态分布的随机误差 的概率密度的概率密度 为为 为均方根误差：为均方根误差： 25 2.2.1 随机误差的概率分布随机误差的概率分布 由由于于随随机机误误差差是是由由测测量量中中一一系系列列随随机机因因素素所所引引起起的的，因因而而随随机机变变量量的的分分布布函函数数可可用用来来描描述述随随机机误误差差取取某某一一范范围围值值及及取取值值的的概概率率。若若有有一一非非负负函函数数 ，使使得得对对任任意意的的实实数数 有有分分布布函函数数 ： 则称则称 为的概率分布密度函数，即为的概率分布密度函数，即 为误差在为误差在a与与b之间的概率。之间的概率。261、正态分布、正态分布如果用函数如果用函数 来表示各个来表示各个测得值出现的概率密度分布函数测得值出现的概率密度分布函数，则：则：称为称为正态分布函数正态分布函数或或高斯分布函数高斯分布函数。由此可见，只要参数。由此可见，只要参数m和和已知，正态分布曲线就确定了。所以已知，正态分布曲线就确定了。所以m和和是决定正态分布曲线是决定正态分布曲线的两个特征参数，其中的两个特征参数，其中m表示测得值分布的集中位置，称为正态表示测得值分布的集中位置，称为正态分布的分布的位置特征位置特征，m值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状值改变时，分布曲线沿横坐标移动，而形状不变。不变。则表示测得值的则表示测得值的分散程度分散程度，称为，称为离散特征离散特征。当。当改变时，改变时，分布曲线位置不变，但形状改变。分布曲线位置不变，但形状改变。 为为均方差均方差（标准偏差），而即（标准偏差），而即2为方差，即为方差，即27 小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现小，则曲线尖锐，表示测得值的离散性小，也即小误差出现的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，的机会越多，而大误差出现的机会少，即测量精度高；反之，大，曲线平坦，表示所测得值分散。大，曲线平坦，表示所测得值分散。当测量次数趋于无穷大时，当测量次数趋于无穷大时，m即为真值。即为真值。 通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就通常所说随机误差服从正态分布是从统计角度而言的，也就是是针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言针对测量次数极大而测量分辨率又极高的测量情况而言的。的。28实验数据分析中，常常采用去偏差并归一化的前处理方法，即设标准单位利用标准正态分布进行分析考察，如式表2.1给出了标准正态分布的一些与的代表数值。29表2.1正态分布的概率密度和置信概率的数值表测量结果在区间测量结果在区间a, ba, b内的概率为：内的概率为：30 在在研研究究随随机机误误差差的的统统计计规规律律时时，不不仅仅要要知知道道随随机机变变量量在在哪哪个个范范围围内内取取值值，而而且且要要知知道道在在该该范范围围内内取取值值的的概概率率，两者是相互关联的。两者是相互关联的。 置置信信区区间间：定定义义为为随随机机变变量量取取值值的的范范围围，常常用用正正态态分分布布的的标标准准误误差差 的的倍倍数数来来表表示示，即即 ，其其中中 为为置置信信系数。系数。 置置信信概概率率：随随机机变变量量在在置置信信区区间间 内内取取值值的的概概率率，即：即： 置置信信水水平平：表表示示随随机机变变量量在在置置信信区区间间以以外外取取值值的的概概率率，即：即： 置信系数置信系数Z越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，越大，置信区间就越宽，置信概率就越大，对测量精度的要求就越低。对测量精度的要求就越低。312.2.2 随机误差的估计随机误差的估计 1、随机误差的表示方法、随机误差的表示方法由由前前面面分分析析可可知知，在在一一定定的的置置信信概概率率P下下，真真值值 一一定定落落在在以以测测得得值值 为为中中心心，以以误误差差限限 为为区区间间的的一一个个范范围围内内，即即 （2.16）式中式中 由于所取由于所取置信概率不同置信概率不同，以及表示误差的习惯差异，以及表示误差的习惯差异，误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。误差有各种表示方法，但以下面两种情况最为常见。 32 标准偏差所对应的置信度标准偏差所对应的置信度P=68.3%，置信系数，置信系数k1，即真，即真值值 处于处于 范围内的可信程度为范围内的可信程度为68.3%。 从正态分布曲线的几何图形上看，当从正态分布曲线的几何图形上看，当 处正好是曲处正好是曲线的拐点，也即当线的拐点，也即当 以后，概率密度变化比较慢，这就是以后，概率密度变化比较慢，这就是选用标准差作为误差限的理由之一。选用标准差作为误差限的理由之一。1)标准偏差标准偏差 当置信系数当置信系数 时，置信度时，置信度P=99.73%，故可以认为真值落，故可以认为真值落在在 范围内的概率已接近范围内的概率已接近100%。因此，在工程测试中常以。因此，在工程测试中常以 这个参数来表示测量精度，称为这个参数来表示测量精度，称为极限误差极限误差或或最大误差最大误差，用，用 表表示，即示，即2)极限偏差极限偏差33 当每个测量结果当每个测量结果 按按 正态分布时，一组测量数据正态分布时，一组测量数据 的平均值为：的平均值为：2、真值与标准偏差的估计、真值与标准偏差的估计 测量的主要任务是求得被测量的真值测量的主要任务是求得被测量的真值。真值真值是对同一检测是对同一检测量在同样条件下进行量在同样条件下进行无限多次测量无限多次测量所取得的所取得的测量平均值测量平均值。由于。由于实际测量中的测量次数是有限的实际测量中的测量次数是有限的，所以，所以测量平均值并不等于真测量平均值并不等于真值值。其数学期望值恰好就是真值其数学期望值恰好就是真值m，即：，即：说明说明数据平均值就是真值数据平均值就是真值 的无偏估计的无偏估计，即当，即当 时，时， 。34由于由于 也属于正态分布，因此可以也属于正态分布，因此可以用用 的标准偏差来表征的标准偏差来表征 的离的离散度散度，由误差传递法则可得：，由误差传递法则可得：其其标准偏差标准偏差为：为：此式表明，子样平均值的方差此式表明，子样平均值的方差 并不等于母体方差并不等于母体方差 ，而只是，而只是它的它的N分之一。由这一结论可分之一。由这一结论可推论到等精度测量条件下，推论到等精度测量条件下，多批次多批次测量测量（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的（即分组多次测量）所获得的平均值（也即分组平均值的平均值）平均值） 要要比单批次测量所获得的结果精确比单批次测量所获得的结果精确，而且测量次数越，而且测量次数越多，多， 越小，越小， 越向母体真值越向母体真值 集中，即用集中，即用 作为作为 的最佳估计的最佳估计值的离散度越小。然而，由于值的离散度越小。然而，由于 与与 成反比，随着测量次数增加，成反比，随着测量次数增加， 值的减小逐渐不显著了，故并非值的减小逐渐不显著了，故并非N越大越好。越大越好。35 由上所述，由上所述，通常把测量数据的通常把测量数据的算术平均值算术平均值作为被测量真作为被测量真值值m的最佳估计值的最佳估计值，即，即定义残差：定义残差：把把测量值测量值与与算术平均值算术平均值之差称为之差称为剩余误剩余误差差（残余误差），简称（残余误差），简称残差残差，即，即 因为无法得到因为无法得到真值真值，实际中用各个，实际中用各个残差残差来代替来代替各个各个随机误差随机误差。3、标准偏差、标准偏差的估计的估计36例：例：测量某物理量测量某物理量1010次，估计其真值并计算每次测量次，估计其真值并计算每次测量的残差。的残差。测量结果：测量结果：1879.641879.64、 1879.69 1879.69、 1879.60 1879.60、 1879.69 1879.69、 1879.571879.57、 1879.62 1879.62、 1879.64 1879.64、 1879.65 1879.65、 1879.641879.64、 1879.65 1879.65平均值：平均值：残差：残差：37先考虑残差平方和S则的期望值为：即标准偏差标准偏差的估计：的估计：38所以，方差的无偏估计为：无偏标准偏差为：平均值的标准偏差的无偏估计值为：39由于由于真值真值A A未知未知，无法使用：，无法使用： 来计算来计算随机误差随机误差，故，故用平均值代替真值用平均值代替真值，即，即用残余用残余误差来代替随机误差误差来代替随机误差。可以证明可以证明，测量列单次测量，测量列单次测量标准差的估计值标准差的估计值为：为： 上式称为上式称为贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）公式）公式，根据此公式可由，根据此公式可由残余误差求得单次测量的残余误差求得单次测量的标准差的估计值标准差的估计值。（1 1）测量列中测量的标准差）测量列中测量的标准差 测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定测量列中各个测量值围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散性，此分散性说明了测量的的分散性，此分散性说明了测量的不可靠性不可靠性，由，由单次测量列的单次测量列的标准差来作为其不可靠的评定标准标准差来作为其不可靠的评定标准。总结：总结：40算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：（2 2）测量列算术平均值的标准差）测量列算术平均值的标准差 在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因在测量中，是以算术平均值作为测量结果的，因此必须研究此必须研究算术平均值不可靠性算术平均值不可靠性的评定标准的评定标准测量测量列算术平均值的标准差列算术平均值的标准差。 由此可知，在由此可知，在n次测量的测量列中，算术平均值的标准差次测量的测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的为单次测量标准差的 。当测量列的。当测量列的测量次数测量次数n越大越大，算术，算术平均值越接近测量值的真值，平均值越接近测量值的真值，测量精度也越高测量精度也越高。在实际测量在实际测量中，一般取中，一般取n次左右即可。次左右即可。41 例例 甲、乙二人分别用甲、乙二人分别用不同的方法不同的方法对对同一电感同一电感进行多次测量进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）：结果如下（均无系统误差及粗差）： 甲甲(mH)(mH)：1.281.28，1.311.31，1.271.27，1.261.26，1.191.19，1.251.25 乙乙(mH)(mH)：1.191.19，1.231.23，1.221.22，1.241.24，1.251.25，1.201.20试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及试根据测量数据对他们的测量结果进行评价（求算术平均值及其标准差）其标准差）解：解：算术平均值：算术平均值：42求各个残差：求各个残差：使用使用贝塞尔公式贝塞尔公式求甲乙二人测量的标准差求甲乙二人测量的标准差：求算术平均值的标准差求算术平均值的标准差：可见两人测量次数虽相同、但可见两人测量次数虽相同、但甲的算术平均值的标准差估计值甲的算术平均值的标准差估计值相差较大相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。，表明乙所进行的测量精密度高。43例：例：对某量进行对某量进行6 6次测量，测得结果如下：次测量，测得结果如下：802.40, 802.40, 802.50, 802.38, 802.48, 802.42, 802.46802.50, 802.38, 802.48, 802.42, 802.46, ,求算术求算术平均值及置信概率为平均值及置信概率为95.44%95.44%（正态分布）时算术平（正态分布）时算术平均值的极限误差。均值的极限误差。解：解：算术平均值：算术平均值：标准差：标准差：算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：44置信概率为置信概率为95.44%95.44%（正态分布），得到置信系数（正态分布），得到置信系数t=2t=2算术平均值的极限误差：算术平均值的极限误差：单次测量的极限误差：单次测量的极限误差：即单次测量的误差绝对值不超过即单次测量的误差绝对值不超过0.0940.094的概率为的概率为95.44% 95.44% 即即多次测量的平均值误差多次测量的平均值误差的绝对值不超过的绝对值不超过0.0380.038的概率为的概率为95.44% 95.44% 455 5、测量结果的数字表示方法测量结果的数字表示方法 ）如果已知测量列标准偏差为）如果已知测量列标准偏差为 ，作一次测量，测，作一次测量，测得值为得值为X X，则通常将被测量，则通常将被测量X X的大小表示为的大小表示为）当用）当用n n次等精度测量的算术平均值次等精度测量的算术平均值 作为测量结作为测量结果时，其表达式为果时，其表达式为 462.3 系统误差的处理系统误差的处理 系系统统误误差差的的特特点点是是在在一一定定条条件件下下，其其数数值值服服从从某某一一确确切切函函数数规规律律，故故其其处处理理方方法法原原则则上上可可结结合合专专业业知知识识，通通过过理理论论分分析析或或实实验验方方法法加加以以掌掌握握。由由于于系系统统误误差差常常涉涉及及到到对对具具体体测测量量对对象象、测测量量原原理理及及测测量量方方法法的的具具体体分分析析，因因此此，系系统统误误差差的的发发现现与与处处理理往往往往比比随随机机误误差差困困难难得得多多，而而系系统统误误差差的的存存在在对对测测量量结结果果的的影影响响也也比比随随机机误误差差严严重重，所所以以，必必须须消消除除系系统统误误差差的的影影响响，以以将将其其降降低低到到允允许许限限度度之之内内。对对系系统统误误差差的的处处理理，通通常常涉涉及及到到以下几个方面：以下几个方面： 1） 判断系统误差是否存在；判断系统误差是否存在； 2） 分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除；分析产生系统误差的原因以及在测量前尽量消除； 3）在在测测量量过过程程中中采采取取某某些些有有效效措措施施，尽尽量量消消除除或或减减小小系系统统误差的影响；误差的影响； 4）设法估计出残存系统误差的数位或范围。设法估计出残存系统误差的数位或范围。471、恒值系差的判别、恒值系差的判别 实验对比法。实验对比法。这种方法主要是这种方法主要是用于发现不变系统误差（恒值用于发现不变系统误差（恒值系差）系差）。例如。例如0级量块，公称尺寸级量块，公称尺寸 时，由于制造偏差，时，由于制造偏差，其中心长度相对其中心长度相对 有一不变系统误差有一不变系统误差 ，多次重复测量不能，多次重复测量不能发现此误差，当用发现此误差，当用一等量块一等量块与其比较测量时，就可检定出与其比较测量时，就可检定出0级量级量块中心长度实际值块中心长度实际值 ， ，系统误差，系统误差 可以找出来。可以找出来。 系统误差的系统误差的特征特征是是在同一条件下，多次测量同一量值时，在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化定的规律变化。 系统误差系统误差不具有抵偿性不具有抵偿性，它是固定或服从某一确定规律变，它是固定或服从某一确定规律变化的误差。化的误差。系统误差有系统误差有恒值系差恒值系差和和变值系差变值系差两种情况，下面分两种情况，下面分别介绍这两种系差的常用判别方法。别介绍这两种系差的常用判别方法。2.3.1 系统误差的判别系统误差的判别482 2、变值系差的判别残余误差观察法、变值系差的判别残余误差观察法 残残余余误误差差观观察察法法是是根根据据测测量量列列的的各各个个残残余余误误差差大大小小和和符符号号的的变变化化规规律律，直直接接由由误误差差数数据据或或误误差差曲曲线线图图形形来来判判断断有有无无系系统统误差。这种主要用来误差。这种主要用来发现有规律变化的系统误差发现有规律变化的系统误差。 若测量列含有若测量列含有变值系差变值系差，其，其测得值测得值为：为： 。设其。设其系统误差系统误差为：为： ，其，其不含系统误差测量值为不含系统误差测量值为： ，则有：，则有： 取算术平均值：取算术平均值： 。其中。其中 表示表示不含系差的测得值不含系差的测得值的平均值的平均值， 表示表示系统误差的平均值系统误差的平均值。因为。因为 ，相，相应应 （不含系差测量值与其平均值之差），所以有（不含系差测量值与其平均值之差），所以有49式中式中 系差的算术平均值。系差的算术平均值。由由于于 = =不不含含系系差差测测量量值值- -不不含含系系差差测测量量值值的的平平均均值值，故故 主主要要反反映映了了随随机机误误差差的的影影响响，当当测测量量列列中中系系统统误误差差显显著著大大于于随随机机误误差差或或测测量量次次数数比比较较大大时时， 可可以以略略去去，则则 ，由由于于 为为确确定定值值，所所以以测测量量列列中中残残余余误误差差 的的变变化化主主要要反反映映测测量量中中系系统统误误差差 的的变变化化。若若将将测测量量列列的的 按按序序作作图图进进行行观观察察，并并与与下下图图的的图图形形比比较较，即即可可判判断断有有无无系统误差。系统误差。 由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其由上式看出，显著含有系统误差的测量列，其任一测量值的任一测量值的残余误差残余误差约为约为系统误差系统误差与与测量列系统误差平均值测量列系统误差平均值之差。之差。50图2.6含系差的测量列（a）大体上正负相间无显著变化规律不存在变化的系差；（b）有规律地向一个方向成比例变化有线性系差存在；（c）有规律地重复交替呈周期性变化周期性系差存在；（d）呈周期性与线性复合变化复杂系差存在。51例例：对恒温箱温度测量：对恒温箱温度测量1010次，数据如下：次，数据如下：20.06, 20.06, 20.07, 20.06, 20.08, 20.10, 20.12, 20.14, 20.07, 20.06, 20.08, 20.10, 20.12, 20.14, 20.18, 20.18, 20.2120.18, 20.18, 20.21。判断该测量有无有规律变化。判断该测量有无有规律变化的系统误差。的系统误差。解：解：1 1、求测量值的算术平均值：、求测量值的算术平均值：2 2、求残差：、求残差：3 3、按测量的顺序作图：、按测量的顺序作图：52规律曲线规律曲线可见有近似线性的系差存在可见有近似线性的系差存在533 3、不同公式计算标准差比较法、不同公式计算标准差比较法按按贝塞尔公式贝塞尔公式：按按捷尔斯公式捷尔斯公式：令令若若则怀疑测量列中存在系统误差。则怀疑测量列中存在系统误差。542.3.2 减小或消除系统误差的方法减小或消除系统误差的方法 一般来说，消除或减小系统误差的方法有：一般来说，消除或减小系统误差的方法有： （1）从产生误差根源上消除）从产生误差根源上消除 在在测测量量前前，通通过过分分析析比比较较尽尽量量发发现现并并消消除除（或或减减小小）产产生生系系统统误误差差的的来来源源。例例如如按按测测量量规规程程调调整整仪仪器器，测测量量前前后后都都必必须须检检查查仪仪器器零零位位是是否否变变化化，选选择择合合理理的的支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。支撑与定位面，进行周期的检定和维护仪器设备等等。55（2）用修正方法消除恒值系差）用修正方法消除恒值系差 引引用用修修正正值值对对测测量量结结果果进进行行修修正正，即即对对仪仪器器不不仅仅要要正正确确选选择择和和使使用用，且且要要定定期期检检定定和和校校准准。例例如如，将将测测量量出出的的系系统统误误差差数数值值做做成成误误差差表表或或误误差差曲曲线线，或或作作为为修修正正值值，将将与与其其大大小小相相等等、符符号号相相反反的的数数值值加加入入到到测测量量结结果果中中，即可基本消除测量结果中系统误差的影响。即可基本消除测量结果中系统误差的影响。（3）采采用用一一些些专专门门的的测测量量技技术术和和测测量量方方法法。典典型型测测量量方方法法有以下几种：有以下几种： 1） 替代法消除恒值系差替代法消除恒值系差 替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量替代法是比较测量法的一种，它是先将被测量 接接在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与在测量装置上，调节测量装置处于某一状态，然后用与被测量相同的同类标准量被测量相同的同类标准量 替代替代 ，调节标准量，调节标准量 ，使，使测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，测量装置恢复原状态，则被测量等于调整后的标准量，即即 = 。可见替代法的特点是测量装置的误差不影响测。可见替代法的特点是测量装置的误差不影响测量结果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。量结果，但测量装置必须有一定的稳定性和灵敏度。 56 例例如如：在在电电桥桥上上用用替替代代法法测测电电阻阻，先先把把被被测测电电阻阻 ，调节电桥比例臂调节电桥比例臂 和比较臂和比较臂 使电桥平衡，则使电桥平衡，则 。显显然然桥桥臂臂参参数数的的误误差差会会影影响响测测量量结结果果。若若以以标标准准量量电电阻阻 代代替替被被测测 接接入入电电桥桥，调调节节 使使电电桥桥重重新新平平衡衡，则则 。由由此此可可知知， = ，且且桥桥臂臂参参数数的的误误差不影响测量结果，差不影响测量结果， 仅取决于仅取决于 的准确度等级。的准确度等级。 2） 交换法消除恒值系差交换法消除恒值系差 交交换换法法又又称称对对照照法法。它它将将测测量量中中的的某某种种条条件件相相互互交交换换，使使产产生生系系统统误误差差的的原原因因对对测测量量结结果果起起相相反反的的作作用用，从从而而抵抵消了系统误差。消了系统误差。 例例如如：如如图图2.8所所示示测测量量物物体体重重量量装装置置，x与与P平平衡衡后后，则则 ，然然后后将将x与与P交交换换位位置置，由由于于臂臂长长 与与 不不可可能能绝绝对对相相等等，即即 ，则则 ，二二式式相相乘乘即即可可得到：得到：57将上式按级数展开，舍去高阶项，即得：图2.8代替法消除不变系差582.4 测量粗大误差的存在判定准则测量粗大误差的存在判定准则 在在无无系系统统误误差差的的条条件件下下进进行行等等精精度度测测量量时时，对对残残差差绝绝对对值值较较大大的的测测量量数数据据，可可列列为为可可疑疑数数据据，它它对对平平均均值值，特特别别是是对对标标准准误误差差的的估估计计将将会会产产生生较较大大的的影影响响。如如果果可可疑疑数数据据确确实实是是由由粗粗大大误误差差所所引引起起，则则称称其其为为坏坏值值。坏坏值值必必须须剔剔除除，否则会造成测量结果错误。，否则会造成测量结果错误。 但但并并不不是是所所有有可可疑疑值值均均为为坏坏值值，它它可可能能预预示示着着测测量量仪仪器器、测测量量方方法法、测测量量条条件件的的不不正正常常、不不稳稳定定，甚甚至至于于预预示示着着一一种种新新的的物物理理现现象象被被发发现现。故故发发现现可可疑疑数数据据时时，要要仔仔细细分分析析或或增增加加观观测测次次数数，进进行行重重复复测测量量，尽尽可可能能正正确确判判断断所所产产生生的的原原因因，决决不不能能轻轻易易将将其其示示为为坏坏值值的的数数据据，应应根根据据误误差理论来决定取舍。差理论来决定取舍。 根根据据误误差差理理论论判判定定粗粗大大误误差差的的基基本本方方法法是是：给给定定一一个个置置信信概概率率，并并确确定定一一个个置置信信区区间间，凡凡超超过过此此区区间间的的误误差差即即认为它不属于随机误差而是粗大误差。认为它不属于随机误差而是粗大误差。592.4.1 拉依达准则拉依达准则 准则准则一般呈正态分布的随机误差分布在以外的概率为0.0027，即约0.3%，相当于，为小概率事件，故当测量值的时，则可认为对应的测量值含有粗大误差，应予以剔除。式中被怀疑为坏值的测量值；所有测量值的算术平均值；被怀疑为坏值的测量小残差；包括坏值在内的全部测量值的标准误差的估计值。60例：例：对某量进行了对某量进行了1515次等精度测量，结果如下：次等精度测量，结果如下：20.42, 20.43, 20.40, 20.43, 20.42, 20.43, 20.42, 20.43, 20.40, 20.43, 20.42, 20.43, 20.39, 20.39, 20.3020.30, 20.40, 20.43, 20.42, 20.42, , 20.40, 20.43, 20.42, 20.42, 20.39, 20.39, 20.4020.39, 20.39, 20.40。这些测量值已经消除了系统。这些测量值已经消除了系统误差，试判断结果中是否有含有粗大误差的测量值。误差，试判断结果中是否有含有粗大误差的测量值。解：解：1 1、求平均值：、求平均值：2 2、求残差：、求残差：3 3、求标准差：、求标准差：61根据根据 准则，第准则，第8个测量值的残差：个测量值的残差：因此，第因此，第8个测量值含有粗大误差，应剔除。个测量值含有粗大误差，应剔除。剔除后，再根据剩下的剔除后，再根据剩下的14个数据重新计算。个数据重新计算。剩下的剩下的14个数据的残差均满足：个数据的残差均满足：故可以认为这故可以认为这14个数据不再含有粗大误差。个数据不再含有粗大误差。62数据处理实例数据处理实例例：例：对某一轴径等精度测量对某一轴径等精度测量9次，得到数据如下（单位次，得到数据如下（单位mm）：）：24.774, 24.778, 24.771, 24.780, 24.772, 24.777, 24.773, 24.775 , 24.774 。分析测量结果（假。分析测量结果（假定不存在恒值系统误差）。定不存在恒值系统误差）。解：解：1、求算术平均值：、求算术平均值：2、求各个残差：、求各个残差：634 4、判断粗大误差（根据、判断粗大误差（根据 准则）：准则）：所有数据的残差均满足：所有数据的残差均满足：故可以认为这故可以认为这9 9个数据未含有粗大误差（个数据未含有粗大误差（如果含有粗如果含有粗大误差应剔除，然后重新判断剩下的数据大误差应剔除，然后重新判断剩下的数据）。）。3 3、求单次测量的标准差（、求单次测量的标准差（贝塞尔公式贝塞尔公式）：）：645 5、判断有无按一定规律变化的系统误差：、判断有无按一定规律变化的系统误差：方法方法1 1：将各个残差按照测量的顺序将各个残差按照测量的顺序绘制图形绘制图形，观察。（，观察。（图略图略） 通过图形可以判断该测量列没有变化的系差存在。通过图形可以判断该测量列没有变化的系差存在。方法方法2 2：不同公式计算标准差比较法。不同公式计算标准差比较法。 捷尔斯公式：捷尔斯公式：因为：因为：故可判断无有规律变化的系统误差。故可判断无有规律变化的系统误差。656 6、求算术平均值的标准差：、求算术平均值的标准差：7 7、算术平均值的极限误差（、算术平均值的极限误差（置信概率为置信概率为95.44%95.44%，正态，正态分布分布）8 8、最后，写出测量结果：、最后，写出测量结果：662.5 测量系统的误差计算方法测量系统的误差计算方法 一个一个测量系统总是由若干子系统所组成测量系统总是由若干子系统所组成，每个子系统都具每个子系统都具有不同的误差有不同的误差，这些误差再通过一定的，这些误差再通过一定的传递传递从而形成从而形成系统的总误系统的总误差差。 比如，要测量电阻的功率，就需要测得电阻、电流和电压中比如，要测量电阻的功率，就需要测得电阻、电流和电压中的任意两个，如：的任意两个，如：PUI 被测量相当于函数，直接测量得到的被测量相当于函数，直接测量得到的U、I为函数的变量。为函数的变量。显然，直接测量的变量含有误差，显然，直接测量的变量含有误差，被测量的误差被测量的误差（函数误差函数误差）必）必然与自变量的误差有关。然与自变量的误差有关。 任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个任何测量结果都包含一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。本章前面部分主要介绍了环节一系列误差因素共同作用的结果。本章前面部分主要介绍了直接测量直接测量的误差计算，本节将介绍的误差计算，本节将介绍间接测量间接测量中的误差问题。中的误差问题。67研究函数误差理论主要解决三个问题：研究函数误差理论主要解决三个问题：1.已知函数关系和自变量求函数误差已知函数关系和自变量求函数误差误差的合误差的合成成；2.已知函数关系和函数误差求各个自变量的误差已知函数关系和函数误差求各个自变量的误差误差的分配误差的分配；3.寻找使函数误差达到最小值的条件。寻找使函数误差达到最小值的条件。68一、误差的合成一、误差的合成 间接测量间接测量是通过直接测量与被测量有一定函数是通过直接测量与被测量有一定函数关系的其他量，关系的其他量，按照已知的函数关系按照已知的函数关系计算出被测量，计算出被测量，间接测量的误差则是直接测量值误差的函数，故称间接测量的误差则是直接测量值误差的函数，故称这种误差为这种误差为函数误差函数误差。 研究函数误差的内容，实质上就是研究研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的误差的传递问题传递问题，对于这种具有确定关系的误差计算，也，对于这种具有确定关系的误差计算，也称之为称之为误差合成误差合成。1 1、函数、函数系统误差系统误差的计算：（系统误差的合成）的计算：（系统误差的合成） 设被测量设被测量y y与与n n个独立变量个独立变量x x1 1, x, x2 2, , x, , xn n具有函具有函数关系：数关系：69对于多元函数，其增量可用函数的对于多元函数，其增量可用函数的全微分全微分表示：表示：若已知各个直接测量值的若已知各个直接测量值的系统误差系统误差为：为：由于这些误差值都较小，可用来近似代替上式中的由于这些误差值都较小，可用来近似代替上式中的 从而可以近似得到从而可以近似得到函数的系统误差函数的系统误差为：为：上式称为上式称为函数系统误差公式函数系统误差公式。70如果函数形式为线性公式：如果函数形式为线性公式：则函数系统误差为：则函数系统误差为：例：例：用用弓高弦长法弓高弦长法间接测量大直径，直接测得弓高间接测量大直径，直接测得弓高h和和弦长弦长s，然后通过函数关系计算出直径，然后通过函数关系计算出直径D。若弓高与弦长的测量值及其系统误差为：若弓高与弦长的测量值及其系统误差为：求测量结果。求测量结果。71已知函数关系式：已知函数关系式：解：解：若不考虑测量的系统误差：若不考虑测量的系统误差：直径直径D的系统误差：的系统误差：通过修正可消除直径通过修正可消除直径D的系统误差，则被测直径的实际尺寸为：的系统误差，则被测直径的实际尺寸为：722 2、函数、函数随机误差随机误差的计算（随机误差的合成）的计算（随机误差的合成） 随机误差随机误差用表征其取值分散程度的用表征其取值分散程度的标准差标准差来评定，对于来评定，对于函数随机误差也用函数的标准差来评定。因此，函数随机误函数随机误差也用函数的标准差来评定。因此，函数随机误差的计算，就是差的计算，就是研究函数研究函数y y的标准差与各测量值的标准差与各测量值x x1 1, x, x2 2, , , , x xn n的标准差之间的关系的标准差之间的关系。 如果如果将各测量值的随机误差将各测量值的随机误差 代替函数全微分代替函数全微分式中的式中的 ：则只能得到则只能得到函数的随机误差函数的随机误差 ，而得不到，而得不到函数的标准差函数的标准差 。73 为了得到函数随机标准差，要对函数的每一个为了得到函数随机标准差，要对函数的每一个变量都进行变量都进行n n次测量，这样可得到每个变量的次测量，这样可得到每个变量的标准差标准差： 可推导出，可推导出，当各测量值当各测量值x x1 1, x, x2 2, , x, , xn n相互独相互独立立时，时，函数随机误差公式函数随机误差公式为：为：74例：例：用弓高弦长法间接测量大直径，直接测得弓高用弓高弦长法间接测量大直径，直接测得弓高h和和弦长弦长s，然后通过函数关系计算出直径，然后通过函数关系计算出直径D。（假设测（假设测量过程中无系统误差）量过程中无系统误差）若经多次测量得弓高与弦长的算术平均值和标准差为：若经多次测量得弓高与弦长的算术平均值和标准差为：求测量结果。求测量结果。已知函数关系式：已知函数关系式：75解：解：若不考虑测量的误差：若不考虑测量的误差：直径直径D的标准差：的标准差：测量结果为：测量结果为：76二、误差的分配二、误差的分配 函数误差是由函数的各个变量的误差综合影响函数误差是由函数的各个变量的误差综合影响所决定的，那么，当如果所决定的，那么，当如果给定了测量结果允许的最给定了测量结果允许的最大总误差，如何来确定各个变量的误差大总误差，如何来确定各个变量的误差，这就是，这就是误误差分配问题差分配问题。 误差分配问题在设计实验中经常遇到。比如用误差分配问题在设计实验中经常遇到。比如用伏安法测电阻：伏安法测电阻： 要求满足一定的要求满足一定的 ，就要首先确定，就要首先确定 、 ，以进一步选择所用电压表、电流表的精确等级。以进一步选择所用电压表、电流表的精确等级。 误差的分配主要是研究随机误差的分配问题。误差的分配主要是研究随机误差的分配问题。77若已经若已经给定给定 ，需要确定需要确定 或相应的或相应的 ，使满足：，使满足： 显然，式中显然，式中 可以是任意解，为不确定解，因此可以是任意解，为不确定解，因此需要按以下步骤求解。需要按以下步骤求解。 设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则由设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则由函数随机误差公式函数随机误差公式：式中：式中：781 1、按等作用原则分配误差、按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分对函数误差的影响相等等作用原则认为各个部分对函数误差的影响相等，即：，即：由此可得：由此可得：2 2、按可能性调整误差、按可能性调整误差 等作用原则分配误差可能出现不合理的情况，所等作用原则分配误差可能出现不合理的情况，所以必须根据实际情况对按等作用原则分配的误差进以必须根据实际情况对按等作用原则分配的误差进行调整，行调整，对于难以实现测量的误差适当扩大对于难以实现测量的误差适当扩大，对，对容容易实现测量的易实现测量的误差尽可能的缩小。误差尽可能的缩小。793 3、验算调整后的总误差、验算调整后的总误差 调整后，再用调整后，再用函数随机误差公式函数随机误差公式验算，看调整验算，看调整后函数误差是否适合给定的要求。后函数误差是否适合给定的要求。例：例：根据下面公式测量一个圆柱体的体积根据下面公式测量一个圆柱体的体积V V，其中，其中D D为为圆柱直径，圆柱直径，h h为高。若要求测量体积为高。若要求测量体积V V的相对误差为的相对误差为1%1%，试确定，试确定D D和和h h的测量精度。的测量精度。 已知直径和高的标称值为：已知直径和高的标称值为：D D0 020mm20mm，h h0 050mm50mm80解：解：不考虑误差体积为：不考虑误差体积为：允许的体积的最大绝对误差为：允许的体积的最大绝对误差为：按等作用原则分配误差，可得直径按等作用原则分配误差，可得直径D D和高和高h h允许的最大允许的最大误差为：误差为：81接下来选择测量器具：接下来选择测量器具：1 1、选择某千分尺测直径、选择某千分尺测直径D D，在，在20mm20mm测量范围内，测量测量范围内，测量的最大误差为的最大误差为0.013mm0.013mm；高度；高度h h用分度为用分度为0.10mm0.10mm的的游标卡尺测量，游标卡尺测量，50mm50mm内测量的最大误差为内测量的最大误差为0.150mm0.150mm。那么用这两种器具测量体积的函数误差为：那么用这两种器具测量体积的函数误差为： 因为：因为： 显然用这两种器具测量可以满足测量要求，但显然用这两种器具测量可以满足测量要求，但不够合理不够合理，需要进行调整，选用精度较低的器具。，需要进行调整，选用精度较低的器具。822 2、改用分度值为、改用分度值为0.05mm0.05mm的游标卡尺测量直径和高，在的游标卡尺测量直径和高，在50mm50mm内，最大误差为内，最大误差为0.08mm0.08mm。调整后，测量结果。调整后，测量结果的最大误差为：的最大误差为：调整后，用一把游标卡尺测量即能保证测量精度。调整后，用一把游标卡尺测量即能保证测量精度。83作业1 1、用两种方法测量用两种方法测量L1L150mm50mm、L2L280mm80mm，测量结果各，测量结果各为为50.004mm50.004mm和和80.006mm80.006mm，试评价两种测量方法测量，试评价两种测量方法测量精度的高低。精度的高低。2 2、被测电压实际值大约为被测电压实际值大约为21.7 V21.7 V，现有，现有1.51.5级、量程级、量程为为0 030 V30 V的的A A表，表，1.51.5级、量程为级、量程为0 050 V50 V的的B B表，表，1.01.0级、量程为级、量程为0 050 V50 V的的C C表，表，0.20.2级、量程为级、量程为0 0360 V360 V的的D D表，四种电压表，请问选用哪种规格的电表，四种电压表，请问选用哪种规格的电压表进行测量所产生的测量误差较小压表进行测量所产生的测量误差较小? ? 843、对某量进行对某量进行10次测量，测得数据为：次测量，测得数据为：14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0。使用。使用不同公式计算法不同公式计算法，判断测量，判断测量列中是否含有系统误差。列中是否含有系统误差。4、对某信号源输出电压的频率对某信号源输出电压的频率f进行进行8次测量，次测量，数据如下（单位数据如下（单位Hz）：）：1000.82，1000.79，1000.85，1000.84，1000.78，1000.91，1000.76，1000.82。求测量列的数学期望及标。求测量列的数学期望及标准差的估计值。准差的估计值。855 5、测量某电路的电流测量某电路的电流I I22.5mA22.5mA，电压，电压U U12.6V12.6V，测，测量的标准差分别为：量的标准差分别为： 求所耗功率求所耗功率P PUIUI及其标准差。（及其标准差。（随机误差的合成随机误差的合成）6 6、按公式按公式 求圆柱体体积，若已知求圆柱体体积，若已知r r约为约为2cm2cm，h h约为约为20cm20cm，要使，要使体积的相对误差等于体积的相对误差等于1%1%，试问，试问r r和和h h测量时误差应为测量时误差应为多少。多少。（按等作用分配按等作用分配）862.5.1 测量系统随机误差的计算测量系统随机误差的计算一般常用初等多元函数表达系统中各直接测量值与函数的内在联系，即，而多元函数的增量可用其全微分表示，即（2.36）式中函数误差，可认为是系统总随机误差；各分项随机误差的大小（）；误差传递系数（）。下页下页上页上页返回返回87式（2.36）可以作为随机误差计算的通用公式。当函数关系确定后，函数总随机误差可求。在一般情况下，常采用标准偏差作为随机误差的统计平均估计。式（2.36）中用代替后，其传递关系将发生变化。一般情况下，随机误差按方差传递计算为：（2.37）当各测量值的随机误差为同一分布时（即在同概率水平下），可用随机误差极限值进行计算：（2.38）若时，则（2.39）下页下页上页上页返回返回88式（2.38）和式（2.39）可作为广泛使用的极限误差合成公式。2.5.2 测量系统系统误差的计算测量系统系统误差的计算（1）已定系差的计算由式（2.36）知，当各分项误差为已定系差时，可视为其增量，即：（），则函数增量为系统误差，即：。故（2.40）只要函数关系及（）确定后，总可求得系统误差。（2）未定系差的计算 在一定测量条件下，未定系差只能估计取值范围（ ），而不能确定其具体值，在取值范围内，下页下页上页上页返回返回89随机测量条件的改变，往往未定系差也随之变化，多次测量取平均值也消除不了其影响。因此在（）区间，未定系差具有与实验条件密切相关的概率分布。由于实际上此分布很难求出，故往往按均匀分布或正态分布去处理，这样就可以像随机误差一样用未定系差分布的标准差或极限误差来表征其取值的布散性。若有项未定系差，其标准差分别为，相应的误差传递系数为，设各测量值相互独立，即相关系数，协方差（）。则项未定系差合成后的总标准差为（2.41）下页下页上页上页返回返回90若各单项未定系差的极限误差为。项合成后总未定系统误差为：（2.42）将式（2.41）代入可得：（2.43）（2.44）在同概率同分布时，有相同的置信系数，因此，则（2.45）下页下页上页上页返回返回91需要说明的是：式（2.43）中的置信系数，在各分布不同时，可用卷积求出；在正态分布时，式（2.45）仍是一般计算的通用公式。 2.5.3 测量系统总误差的计算测量系统总误差的计算（1）按极限误差合成若测量系统中有r项已定系差，s项未定系差，q项随机误差，其极限值分别为：（相当于）（相当于）为处理方便，假设其传递系数，协方差简化为，则系统总的极限误差为：下页下页上页上页返回返回92（2.46）其中可用卷积积分求出。在r、s、q较大时已趋于正态，故上式多项不同分布之总和分布可简化为：（2.47）若修正系差确定后，则总的极限误差为：（2.48）考虑到测量中常常以多次测量平均值为结果，系统中随机误差由于有抵消性而减至，未定系差则不变，故上式为下页下页上页上页返回返回93（2.49）（2）按方差合成此时只考虑未定系差与随机误差。设系统中有：s项未定系差，其标准差为；q项随机误差，其标准差为。假设其传递系数，协方差为，不管未定系差、随机误差分布如何，总的标准差为：（2.50）取算术平均值后其结果为：（2.51）下页下页上页上页返回返回942.6 测量系统最佳测量方案的确定测量系统最佳测量方案的确定面对各种各样的被测对象和被测量，由于所采用的测量设备及条件不同，可设计出各种不同的测量方案，但哪种方案最佳，即能最经济保证测量精度要求，从而达到试验设计的目的，是测量设计必须研究的问题。 2.6.1 微小误差准则微小误差准则在实际中，系统误差不可能完全消除，而只能减小到某种程度，使它对测量结果的影响小到可以忽略不计。在测量方案中，可不考虑此项误差时，测量方案既精减，而又减少了不必要的计算，则可大大简化工作量，这种误差称为微小误差。那么，如何确定微小误差呢？下面介绍几种常用的准则。下页下页上页上页返回返回95（1）恒值系统误差的微小准则设第项系统误差为微小误差，当不超过总误差的最后一位有效数的1/2时，根据舍入原则，可把忽略掉。所以，当误差仅用一位有效数字表示时，恒值系统误差的消除准则为即当小的恒值系统误差与用绝对值合成的总误差之比不大于1/20时，则认为该小误差是微小误差，可忽略。工程上，1/20要求太苛刻，故常常放宽到1/10，即1/10准则。即当时，可视为微小误差而忽略。（2）随机误差的微小准则微小误差的1/3准则下页下页上页上页返回返回96（2）随机误差的微小准则微小误差的1/3准则设合成的总随机误差为，而第项随机误差为微小误差，令，则同样可得到此时的微小误差准则。当误差取一位有效数时，则即则即所以其准则为：当小的随机误差不大于用方和根法合成的随机总误差的1/3时，则该误差为微小误差可略去。（3）不确定度的微小准则与随机误差微小误差准则相似，设用广义方和根法合成的总不确定度为，第项不确定度为微小不确定度，若下页下页上页上页返回返回97时，则为微小不确定度，可略去。值得注意的是：这个准则是对系统不确定度和随机不确定而言的，当为随机不确定度时，可选择1/3限制；当为系统不确定度时，可选择1/31/9限制。在工程中常分不清系统不确定度与随机不确定度各占多少，因而可笼统地平均选择1/5限制。2.6.2 确定最佳测量条件确定最佳测量条件由式（2.37）可知，当时，若能使为最小，即为最佳测量条件。一般可以从以下几个方面考虑：（1）选择使函数误差值较小的测量方案下页下页上页上页返回返回98一般情况下，同一种被测量可以有不同的测量方案。若能使测量方案中包含的局部误差的组成项数愈少，测量结果的总误差就会愈小。因此，首先选用测量项目较少的函数公式；其次考虑当组成的项数相同时，应选取测量误差较小的测量方法，以达到最佳的函数误差传递。（2）使各个测量值的误差传递系数等于零或最小若，则；若为最小，则为最小。由式（2.37）知，在上述条件下或为最小值。下页下页上页上页返回返回992.6.3 函数误差的分配函数误差的分配实际工作中，往往是根据测试目的和要求，先规定被测量的总误差要求，后根据测量精度要求设计或选择测试方案，确定各分项误差的允许大小，即合理地进行测量误差的分配，以保证测量精度。由于任何测量皆存在多个分项，所以从理论上讲，误差分配方案可有无穷多个。因此，只能在某些前提下进行分配。下面介绍两种常用的误差分配原则。（1）等精度分配等作用原则是指分配给各分项误差彼此相等，即：由此可得到分配给各项的误差为：下页下页上页上页返回返回100通常，等精度分配用于各分项性质相同（量纲相同），大小相近的情况。（2）抓住主要误差项进行分配当各项误差中第项误差特别大，而其他各项误差按微小误差准则可忽略，这时可不考虑次要分项的误差分配，只要保证主要项的误差小于总误差即可，即：当时，可只考虑主要项的影响，即下页下页上页上页返回返回101主要误差项也可以是若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，对影响较小的次要误差项可不考虑或酌情分给少量误差比例。上页上页返回返回102