数值积分数值积分Numerical Integration 基本思想 插值型求积公式 求积公式余项 复化求积为什么需要数值积分？为什么需要数值积分？f 有些被积函数是无法用初等函数来表示的f 有些表达式复杂，不便使用f 有些只用图形或一张数据表来表示然而实际中，对有些函数来说，找到原函数往往很困难！数值方法求近似解！2基本思想基本思想 依据积分中值（第一中值）定理：3基本思想基本思想求积系数求积节点4插值型求积公式插值型求积公式 最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式求积公式，具体步骤如下，具体步骤如下:原函数容易求得5插值型求积公式插值型求积公式求积余项 6代数精度代数精度 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于求积公式对于“尽可能多尽可能多”的函数是准确的。的函数是准确的。如果机械求积公式对准确成立。线性方程组7代数精度代数精度容易看出，对于插值型求积公式其余项因而插值型求积公式至少具有因而插值型求积公式至少具有 n 次代数精度。次代数精度。1次代数精度 8代数精度代数精度即此求积公式为插值型求积公式即此求积公式为插值型求积公式9Newton-Cotes公式公式 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式。以此分点为节点构造出的插值型求积公式Cotes系数10Cotes系数推导系数推导11Cotes系数系数也称也称两点公式两点公式12Cotes系数系数也称也称三点公式或抛物线公式三点公式或抛物线公式13Cotes系数系数14Cotes系数系数对称性15偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度直接求积 16偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度奇函数奇函数17求积公式求积公式的余项的余项几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项梯形公式的余项积分中值定理积分中值定理Simpson公式的余项19几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项Cotes公式的余项积分中值定理积分中值定理20复化求积复化求积 数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。改善方法：采用与插值时候类似的方法 分段、低阶分段、低阶复化求积复化求积21复化求积公式复化求积公式复化梯形公式复化梯形公式复化复化Simpson公式公式复化复化Cotes公式公式22 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 0.8414709