2. 边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则12. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：同理得，面电荷的电位： 故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：23. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功3 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. .解解 在球坐标系中在球坐标系中, ,设无限远处为电位参设无限远处为电位参考点，则考点，则P P点电位点电位用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq4 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度5 例例 3.1.4 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两两导线导线的轴线距离为的轴线距离为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为62. 镜像法的基本思想镜像法的基本思想 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础 解的解的惟一性定理惟一性定理75. 确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。2. 镜像法的基本思想镜像法的基本思想是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设是在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一些虚设的电荷等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的的电荷等效替代导体表面的感应电荷或介质分界面上的极化电荷极化电荷8 解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向轴为圆柱轴线，电场强度的方向与与x 轴一致，即轴一致，即 空间任一点的电位为均匀外电空间任一点的电位为均匀外电场的电位和极化电荷产生电位之和。场的电位和极化电荷产生电位之和。由于圆柱内外均不存在自由电荷，由于圆柱内外均不存在自由电荷，则圆柱内外电位函数都满足拉普拉则圆柱内外电位函数都满足拉普拉斯方程。另外，圆柱体为无限长且斯方程。另外，圆柱体为无限长且均匀外电场与圆柱轴线垂直，所以均匀外电场与圆柱轴线垂直，所以电位分布函数应与电位分布函数应与z 无关。无关。 例例 3.6.2 均匀外电场均匀外电场 中，有一半径为中，有一半径为 a、介电常、介电常数为数为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。 xyaE0oP(, )9 由于介质圆柱外无限远处只有均匀外电场的电位，所以由于介质圆柱外无限远处只有均匀外电场的电位，所以因此，此问题的通解为因此，此问题的通解为因此，介质圆柱外的电位函数为因此，介质圆柱外的电位函数为设介质圆柱内、外的电位函数分别为为设介质圆柱内、外的电位函数分别为为 和和 。 因此在通解中只能取因此在通解中只能取 ，且不含有，且不含有sinn, 则 且10因此，有因此，有 介质圆柱内的电位分布函数介质圆柱内的电位分布函数 也应具有类似形式，即也应具有类似形式，即由于在介质圆柱内的由于在介质圆柱内的 处，电位应为有限值，则处，电位应为有限值，则 在介质圆柱体的表面在介质圆柱体的表面 上上, ,有有11因此，介质圆柱内外的电场强度为因此，介质圆柱内外的电场强度为因此得到介质圆柱内外的电位函数分别为因此得到介质圆柱内外的电位函数分别为12 例例 3.6.5 设半径为设半径为a导体球放在无限大的真空中，受到其中导体球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求导体球外的电位函数和电的作用，如图所示。试求导体球外的电位函数和电场强度。场强度。 解解 取取球球坐坐标标系系，令令 E0 的的方方向向与与 z 轴轴一一致致，即即 。显显然然，此此时时场场分分布布以以z 轴轴为为旋旋转转对对称称，因因此此与与 无无关关。因因导导体体外外的的自自由由电电荷荷体体密密度度为为零零，则则电电位位函函数数满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程。这这样样，球球外外的的电电位分布函数可取为位分布函数可取为E0zxa13由于由于无限远处感应电荷的电场为零，因此电位应为均匀外无限远处感应电荷的电场为零，因此电位应为均匀外电场的电位电场的电位 所以得到所以得到 设导体电位为零，即设导体电位为零，即所以有所以有于是于是14故导体球外的电位函数为故导体球外的电位函数为导体球外的电场强度为导体球外的电场强度为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为 可见，在导体球面的右侧感应电荷为正，而左侧感应电荷为可见，在导体球面的右侧感应电荷为正，而左侧感应电荷为负。负。15