第2讲空间几何体的表面积和体积1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.几何体侧面积体积圆柱S侧_VShr2h圆锥S侧rl圆台S侧(r1r2)l1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2rh(续表)4R22.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.3.等积法的应用(1)等积法：包括等面积法和等体积法.(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.1.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2B.C.2D.12.若两个球的表面积之比为 14，则这两个球的体积之比为()ACA.12C.18B.14D.1163.(2016 年新课标)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12B.323AC.8D.44.(2017 年江苏)如图 8-2-1，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体积为V1，图 8-2-1考点 1 几何体的面积例 1：(1)(2017 年新课标)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_.答案：14(3)(2018 年新课标)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()答案：B【规律方法】第(1)小题是求实体的面积；第(2)小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面梯形的面积.考点 2 几何体的体积例 2：(1)(2017 年新课标)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()答案：B(2)(2018 年天津)如图 8-2-2，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为_.图 8-2-2图 D66答案：13(3)(2018 年新课标)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_.答案：8(4)(2018 年江苏)如图 8-2-3，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.图 8-2-3【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计考点 3 立体几何中的折叠与展开例 3：(2017 年新课标)如图 8-2-4，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB ，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_.图 8-2-4图 D67【互动探究】1.(2018 年新课标)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 8-2-5.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面)上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为(图 8-2-5解析：剪开圆柱的一条母线展开，如图 D68，从 M 到 N 的图 D68答案：B2.如图 8-2-6(1)，五边形 PABCD 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中APD120，AB2，现将PAD进行翻折，使得平面 PAD 平面 ABCD，连接 PB，PC，所得四棱锥 P-ABCD 如图 8-2-6(2)，则四棱锥 P-ABCD 的外接球的表面积为()(1)(2)图 8-2-6解析：对四棱锥 P-ABCD 进行补型，得到三棱柱 PAD -PBC，如图 D69，故四棱锥 P-ABCD 的外接球球心，即为三棱柱 PAD -PBC 的外接球球心；故其外接球半径 R选 C.图 D69答案：C难点突破组合体的相关运算例题：RtABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c(其中 c 为斜边)，分别以 a，b，c 边所在的直线为旋转轴，将ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1，V2，V3，则()答案：D【互动探究】3.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何)体的三视图如图 8-2-7，则该几何体的表面积为(图 8-2-7解析：三视图表示的几何体如图 D70，则该几何体的表面积为 43 .图 D70答案：B