模糊与概率(二)问题的提出如何表征模糊集合的模糊程度如何表征模糊集合的模糊程度 模糊熵如何表征模糊集合间的包含关系如何表征模糊集合间的包含关系 模糊包含度如何用模糊集合间的包含关系表征某个模如何用模糊集合间的包含关系表征某个模糊集合的模糊程度糊集合的模糊程度 模糊熵包含度定理A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。引出熵的比例形式：模糊集合的模糊程度模糊集合的模糊程度模糊熵模糊熵模糊熵定理：模糊熵定理：模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西西方逻辑方逻辑”的终止。（的终止。（ ）模糊集合的模糊程度模糊集合的模糊程度模糊熵模糊熵(续续)模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理主导隶属度函数关系主导隶属度函数关系(dominated membership (dominated membership function relationship)function relationship)：如果如果A=(.3 0 .7)A=(.3 0 .7)和和B=(.4 .7 .9)B=(.4 .7 .9)，那么那么A A就就是是B B的一个模糊子集，但的一个模糊子集，但B B不是不是A A的模糊子集。显的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的的, ,是二值定义下的子集性是二值定义下的子集性(Zadeh(Zadehs1965)s1965)。 1.1.模糊子集的几何表示模糊子集的几何表示B B的所有模糊子集构成集合的所有模糊子集构成集合模糊幂集模糊幂集F(2F(2B B) )，它构成了它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值隶属度值m mB B(x(xi i) ) 。可以。可以模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续)图图7.77.7用用LebesgueLebesgue测度或体测度或体积积V(B)V(B)来度量来度量F(2F(2B B) )的的大小，其中，体积大小，其中，体积V(B)V(B)为隶属度值的乘为隶属度值的乘积：积： 2.2.包含度定理：包含度定理： 在图在图7.77.7中，点中，点A A可以是长方形内的点，也可以不是。在长可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形方形F(2F(2B B) )外不同的点外不同的点A A是是B B的不同程度的子集。而上述二值定的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A A属于属于F(2F(2B B) )的的不同程不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(.,.)S(.,.)在在0,10,1之间取值，其代表了多值的子集测度（包之间取值，其代表了多值的子集测度（包含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续)度量度量S(.,.)S(.,.)的两种方法：的两种方法： (1)(1)代数方法代数方法: : 即失配法即失配法(fit-violation strategy) (fit-violation strategy) 假定假定X X包含有包含有100100个元素：个元素：X=xX=x1 1, ,x,x100100 。而只有第一个而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得元素违背了主导隶属度函数关系，使得m mA A(x(x1 1)m)mB B(x(x1 1) )。直观上，直观上，我们认为我们认为A A很大程度上是很大程度上是B B的子集。可以估算，子集性为的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99S(A,B)=0.99，并且，如果并且，如果X X包括包括1 1兆个元素，兆个元素，A A几乎完全是几乎完全是B B的的子集了。可见失配的幅度子集了。可见失配的幅度m mA A(x(x1 1)-m)-mB B(x(x1 1) )越大，失配的数目相对越大，失配的数目相对于模糊集于模糊集A A的大小越多，那么的大小越多，那么A A就越不能算是就越不能算是B B的子集，或者说，的子集，或者说，A A就越象是就越象是B B的超集。直观上有：的超集。直观上有：模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续)失配数的计算：失配数的计算： max(0,mmax(0,mA A(x)-m(x)-mB B(x)(x)归一化之后得到超集的最小度量：归一化之后得到超集的最小度量：包含度为：包含度为：模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续) 这种包含度满足主导隶属度函数关系，当这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 时，时，S(A,B)=1。如果如果S(A,B)=1，则，则分子被加数应都为分子被加数应都为0 0，因此主导，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B B是是空集时，空集时， S(A,B)=0S(A,B)=0。而而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的大小为：两种极端情况之间，包含度的大小为：0 S ( A, B ) M(A)M(A2 2) )。 可见，包含度依赖于基数可见，包含度依赖于基数M(A)M(A)。考虑归一化，进一步猜测考虑归一化，进一步猜测：定义超集度为定义超集度为： d(A,F(2B)=d(A,B*)为了保证其值在为了保证其值在(0,1)之间变化之间变化, ,要要进行归一化处理，该常数等于最大进行归一化处理，该常数等于最大的单位立方体距离，的单位立方体距离，l l1 1情况下值为情况下值为n: : S(A,B)=1-d(A,B*)/n这种度量存在的问题：这种度量存在的问题：模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续)假定假定p=1p=1，令令 正交性表明：正交性表明： 设设 其充要条件是没有失其充要条件是没有失配现象发生，恒有配现象发生，恒有 。 设设 其充要条件是有失配现其充要条件是有失配现象象 发生，这时，发生，这时，综上：综上： 模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续)这种证明方法同样给出了优化子集这种证明方法同样给出了优化子集B B* *的一个更重要的的一个更重要的性质：性质： 因为如果有一个失配关系，那么因为如果有一个失配关系，那么 ， 所以所以 ，其余的，其余的 ，所以，所以 故故 。B B* *是具有双重优化特性的点，它既是离是具有双重优化特性的点，它既是离A A最近的最近的B B 的的子集，也是离子集，也是离B B最近的最近的A A的子集的子集A A* *: :模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续) 包含度定理：包含度定理：推导相对频率：推导相对频率：模糊集合间的包含关系模糊集合间的包含关系包含度定理包含度定理(续续) 包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值包含度是模糊中最基本的有代表性的一个数值 熵熵- -包含度定理：包含度定理：证明：证明： 将包含度定理中的将包含度定理中的A A、B B分别用分别用 和和 代替，并注意到交集代替，并注意到交集 是并集是并集 的子集，即可的子集，即可证得。证得。 熵熵-包含度定理包含度定理 图示二维的熵图示二维的熵- -包含度定理。交集包含度定理。交集 是并集是并集 的子集。可的子集。可见长对角线的长度相等，所以并集见长对角线的长度相等，所以并集 到交集到交集 的模糊幂集所构的模糊幂集所构成的超长方形的最优距离成的超长方形的最优距离d d* *满足：满足：熵熵-包含度定理包含度定理(续续)另外，利用下式也可得到该公式。另外，利用下式也可得到该公式。Thank You