第第4节双曲线节双曲线 基 础 梳 理 1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_差的绝对值焦点焦距质疑探究1：与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当02a|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线，当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在2双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：_对称中心：_顶点顶点坐标：A1 ，A2_顶点坐标：A1_ ，A2_x轴、y轴坐标原点(a,0)(a,0)(0，a)(0，a)(1，) 实轴 2a 虚轴2b质疑探究2：Ax2By21表示双曲线的条件是什么？提示：若A0，B0表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2By21表示双曲线的条件是AB0.质疑探究3：双曲线离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线开口越大3等轴双曲线的定义及性质_和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2y2(0)，离心率e_.渐近线方程为_.它们互相_，并且_实轴和虚轴所成的角实轴虚轴yx垂直平分解析：由方程表示双曲线可知(k3)(k5)0，解得3k5.故选B.答案：B解析：可求得a24，|PF1|PF2|2a4，即|3|PF2|4，|PF2|7.故选C.答案：C4与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_考 点 突 破 双曲线的定义及标准方程 思维导引(1)利用双曲线定义表示出ABF1的周长，进而求出|AB|.(2)根据定义确定曲线C2为双曲线且与椭圆共焦点，求出a、b.写出方程解(1)由双曲线方程得a4.由双曲线定义得|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，得|AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16，即|AF1|BF1|AB|16.所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|162|AB|40，解得|AB|12，故选B. 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法(1)若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程，再根据a、b、c、e及渐近线之间的关系，求出a、b的值(2)若不能确定焦点位置，则可设双曲线方程为Ax2By21(AB02相交a0，01相切a0，00相离(2)解决与双曲线有关的参数的取值范围或最值问题的常用方法：利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式(组)，通过解不等式(组)求得参数的取值范围；建立目标函数，进而转化为求解函数的值域(3)解决直线与双曲线相交问题时，若涉及弦的中点或斜率，一般用点差法求解要注意验证求得的结果是否符合题意即时突破3 直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由分析：设出直线方程，把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后利用中点坐标构造方程求k，最后检验判别式是否大于0.易错提醒：该题易出现的问题有两个方面，一是利用点斜式方程时，漏掉斜率不存在时的讨论；二是利用中点坐标构造方程求出斜率k之后忽视对判别式的验证而误认为该直线存在