返回返回上页上页下页下页 微分微分方程方程是是数学数学的重要分支之一。大致和的重要分支之一。大致和微积分微积分同时产生，并随实际需要而发展。同时产生，并随实际需要而发展。 事实上，求事实上，求yf(x)的的原函数原函数问题便是最简单问题便是最简单的微分方程。的微分方程。 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学初等数学中就有各种各样的方程，比如中就有各种各样的方程，比如线性方程线性方程、二次方程二次方程、高次方程高次方程、指数方程指数方程、对数方程对数方程、三角三角方程方程和和方程组方程组等等。这些方程都是要把研究的问题等等。这些方程都是要把研究的问题中的中的已知数和已知数和未知数未知数之间的关系之间的关系找出来，列出包含找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式方程式，然后求然后求方程的解方程的解.方程的解就是方程中所含方程的解就是方程中所含未知数的值未知数的值. 返回返回上页上页下页下页 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。上方程完全不同的问题。比如比如：物质在一定条件：物质在一定条件下的运动变化，要下的运动变化，要寻求寻求它的运动、变化的它的运动、变化的规律规律；某个物体在重力作用下某个物体在重力作用下自由下落自由下落，要寻求下落距，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在物质运动和它的变化规律在数学数学上是用上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都也就是说，凡是这类问题都不是不是简单地去简单地去求求一一个或者几个固定不变的个或者几个固定不变的数值数值，而是要求而是要求一个或一个或者几个者几个未知的函数。未知的函数。 返回返回上页上页下页下页 解这类问题的基本思想和初等数学解这类问题的基本思想和初等数学解方解方程程的基本思想很相似，也是的基本思想很相似，也是要把研究的问题要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去去求得未知函数的表达式求得未知函数的表达式。但是无论在方程。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。的地方。 在数学上，解这类方程，要用到在数学上，解这类方程，要用到微分微分和导数和导数的知识。因此，凡是的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 返回返回上页上页下页下页第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念返回返回上页上页下页下页定义定义1 含有未知函数的导数含有未知函数的导数(或微分或微分),同时也可能含同时也可能含有自变量与未知函数本身的方程有自变量与未知函数本身的方程,叫做叫做微分方程微分方程. 在微分方程中在微分方程中,如果未知函数是一元函数如果未知函数是一元函数,则称则称为为常微分方程常微分方程；如果未知函数是多元函数；如果未知函数是多元函数,则称为则称为偏偏微分方程微分方程 返回返回上页上页下页下页（1)(4)称为称为常微分方程常微分方程； (5)(6)称为称为偏微分方程偏微分方程. 微分方程的阶微分方程的阶: 微分方程中未知函数的最高阶导数微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分或微分)的阶数的阶数,叫做叫做微分方程的阶微分方程的阶. 本章只研究常微分方程本章只研究常微分方程.二阶二阶一阶一阶二阶二阶返回返回上页上页下页下页n阶微分方程的一般形式阶微分方程的一般形式注意注意:如如都是都是n阶微分方程阶微分方程.返回返回上页上页下页下页n阶线性微分方程的一般形式返回返回上页上页下页下页 对于任意常数对于任意常数C1,C2,微分方程的解微分方程的解 如果将某个已知函数代入微分方程中如果将某个已知函数代入微分方程中,能使该方程成为恒等式能使该方程成为恒等式,则称此则称此函数函数为方程的解为方程的解 容易验证，对于任意常数容易验证，对于任意常数C，函数函数y=Cx为一阶为一阶方程方程 的解；的解；返回返回上页上页下页下页 n阶方程的通解阶方程的通解 含有含有n个独立的任意常数的解个独立的任意常数的解,称为称为n阶微分方程的阶微分方程的通解通解. 方程的特解方程的特解 通解中确定了任意常数的解通解中确定了任意常数的解,称为称为方程的方程的特解特解. 返回返回上页上页下页下页定解条件定解条件 为了确定微分方程的某个特解为了确定微分方程的某个特解,先要求出其先要求出其通解，然后为了确定其中任意常数而给出的条件称通解，然后为了确定其中任意常数而给出的条件称为为定解条件定解条件. 解解返回返回上页上页下页下页 微分方程的解的图形称微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线为微分方程的积分曲线. 通通解的图形是一族积分曲线解的图形是一族积分曲线(称为微分方程的积分曲线称为微分方程的积分曲线族族).而微分方程的某个特解而微分方程的某个特解的图形是积分曲线族中满足的图形是积分曲线族中满足给定的初值条件的某一条特给定的初值条件的某一条特定的积分曲线定的积分曲线. 返回返回上页上页下页下页解解例例返回返回上页上页下页下页所求特解为所求特解为返回返回上页上页下页下页第二节第二节 一阶微分方程及其解法一阶微分方程及其解法一、一阶可分离变量的方程一、一阶可分离变量的方程 形如形如 y =f(x)g(y) 或或的的一阶微分方程一阶微分方程,称为称为可分离变量方程可分离变量方程.其中其中f(x),g(y)及及M1(x),M2(y),N1(x)及及N2(y)均均为已知已知连续函数函数.先将方程分离变量得先将方程分离变量得 下面介绍其求解方法下面介绍其求解方法:返回返回上页上页下页下页两端分别积分两端分别积分 得通解得通解其中其中G(y)和和F(x)分别是分别是 和和f(x)的一个原函数的一个原函数,C为为任意常数任意常数. 若存在若存在y0使使g(y0)=0, ,则则y=y0也是方程的一个解也是方程的一个解. .因此因此, ,方程除了通解之外方程除了通解之外, ,还可能有一些常数解还可能有一些常数解 返回返回上页上页下页下页 求方程求方程 的所有解的所有解此外此外, ,还有解还有解y=0. .无论无论C取怎样的常数取怎样的常数. .解解y=0均不能由均不能由通解表达式通解表达式y=(x+C)2得出得出, ,即直线即直线y=0(x轴轴)虽然是原方虽然是原方程的一条积分曲线程的一条积分曲线, ,但它并不属于这方程的通解所确但它并不属于这方程的通解所确定的积分曲线族定的积分曲线族y=(x+C)2(抛物线抛物线)内内, ,称这样的解为称这样的解为方程的奇解方程的奇解 两边积分得两边积分得分离变量得分离变量得通解为通解为 解解例例1返回返回上页上页下页下页分离变量分离变量两端积分两端积分解得解得解解例例2返回返回上页上页下页下页解解例例3 分离变量分离变量,得得代入初始条件代入初始条件,得得C=0,故所求特解为故所求特解为所以所以返回返回上页上页下页下页练习练习解解返回返回上页上页下页下页例例4 4 已知某商品的需求量已知某商品的需求量 x x对价格对价格P P的弹性的弹性e=-3Pe=-3P3 3，而市场对该商品的最大需求量为而市场对该商品的最大需求量为1 1（万件），求需（万件），求需求函数。求函数。返回返回上页上页下页下页 例例5 根据经验知道，某产品的净利润根据经验知道，某产品的净利润y与广告支出与广告支出x之间有如下关系：之间有如下关系：其中，其中，k，N都是大于零的常数，且广告支出为零时，都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为净利润为y0，0y0N，求净利润函数，求净利润函数y=y(x).返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页二、一阶二、一阶 齐次微分方程齐次微分方程1.齐次微分方程齐次微分方程形如形如的一阶微分方程的一阶微分方程,称为称为齐次微分方程齐次微分方程,简称简称齐次方齐次方程程.令：令： (或或y=xu),其中其中u是新的未知函数是新的未知函数.对对y=ux两端关于两端关于x求导求导,得得 下面介绍求解方法下面介绍求解方法:返回返回上页上页下页下页分离变量并积分得分离变量并积分得得齐次方程的通解得齐次方程的通解 原方程化为原方程化为返回返回上页上页下页下页求解方程求解方程两边积分并还原为变量两边积分并还原为变量x,y,可得原方程的通解为可得原方程的通解为代入原方程并分离变量得代入原方程并分离变量得解解 原方程可化为原方程可化为例例1返回返回上页上页下页下页解解例例2返回返回上页上页下页下页微分方程的通解为微分方程的通解为两端积分得两端积分得返回返回上页上页下页下页微分方程的通解为微分方程的通解为解解例例3返回返回上页上页下页下页练习练习 解方程解方程返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页例例4 我们知道生产某产品的可变成本我们知道生产某产品的可变成本y是产量是产量x的函数的函数y=y(x),现已知现已知且固定成本且固定成本C0=1，又当，又当x=1时，时，y=3，求总成，求总成本函数本函数y(x)。返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页以以x=1,y=3代入通解，得代入通解，得又固定成本又固定成本C0=1返回返回上页上页下页下页三、三、 一阶线性微分方程一阶线性微分方程形如形如 y +P(x)y=Q(x) 的方程叫做的方程叫做一阶线性微分方程一阶线性微分方程.其中其中P(x),Q(x)为为x的已的已知连续函数知连续函数,Q(x)称为自由项称为自由项 返回返回上页上页下页下页1.求齐次方程求齐次方程 的通解的通解 显然显然y=0是是 它的一个解它的一个解. 当当y 0时时,分离变量得分离变量得积分得积分得此式可写成此式可写成故方程的通解为故方程的通解为返回返回上页上页下页下页设方程设方程y +P(x)y=Q(x) 的通解为的通解为代入方程代入方程y +P(x)y=Q(x),得得 化简后化简后,得得2. 求非齐次方程求非齐次方程 的通解的通解.返回返回上页上页下页下页积分后得积分后得方程的通解为方程的通解为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解返回返回上页上页下页下页注注 分析分析 的通解为什么是的通解为什么是 的形式的形式.事实上，由事实上，由返回返回上页上页下页下页用常数变量法确定用常数变量法确定C（x）返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页方程的通解为方程的通解为 将方程化为将方程化为解解例例1返回返回上页上页下页下页解解例例2返回返回上页上页下页下页代入所给方程代入所给方程, ,得得所求方程的通解为所求方程的通解为解解例例3 3返回返回上页上页下页下页例例4 已知连续函数f(x)满足条件解解 因原方程右端函数可导，所以f(x)可导e3x(-2e-x+C)=e2x+Ce3xf(x)，求f(x)由一阶线性方程的通解公式，得同时求导，得对方程两端f(x)返回返回上页上页下页下页例例5 设y= =f(x)是第一象限内是第一象限内连接点接点A(0，1)，B(1，0)的的一段一段连续曲曲线，M(x,y)为该曲曲线上任意一点，点上任意一点，点C为M在在x轴上的投影，上的投影，O为坐坐标原点若梯形原点若梯形OCMA的面的面积，求，求f(x)的的与曲边三角形与曲边三角形CBM的面积之和为的面积之和为表达式表达式解解 参看参看图，由，由题设得得求导，得求导，得返回返回上页上页下页下页 将条件f(1)=0代入到通解中，得C=-2，于是有贝努里方程贝努里方程(略略)返回返回上页上页下页下页第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程一、一、 几类可降阶的高阶微分方程几类可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程. 1. y(n)= =f(x)型的微分方程型的微分方程 对方程方程y(n)= =f(x) 积分一次分一次,得到一个得到一个n- -1阶方程方程 再再积分一次分一次,得到一个得到一个n- -2阶方程方程 依次依次积分分n次次,便可得到方程的通解便可得到方程的通解.返回返回上页上页下页下页例例1 求求 的通解的通解. 逐次积分得逐次积分得这就是所求的通解这就是所求的通解解解返回返回上页上页下页下页2. F(x,y ,y )=0型的微分方程型的微分方程(略略)则原方程可化为则原方程可化为若上式可解若上式可解,设通解为设通解为 ,则有则有积分便得原方程的通解积分便得原方程的通解若作变换若作变换返回返回上页上页下页下页 令令代入方程并分离变量得代入方程并分离变量得积分，得积分，得再积分再积分,得得所求特解为所求特解为解解例例返回返回上页上页下页下页3. F(y,y ,y )=0型的微分方程型的微分方程(略略)原方程化为原方程化为如果此微分方程是可解的如果此微分方程是可解的,设其通解为设其通解为分离变量后再积分分离变量后再积分,便得方程的通解便得方程的通解返回返回上页上页下页下页代入原方程得代入原方程得前者对应解前者对应解后者对应方程后者对应方程积分得积分得即即解解例例返回返回上页上页下页下页再分离变量后积分得再分离变量后积分得因此原方程的解为因此原方程的解为返回返回上页上页下页下页则原方程可化为则原方程可化为分离变量得分离变量得积分得积分得由此式易推出由此式易推出解解例例返回返回上页上页下页下页上两式相加得上两式相加得积分积分, ,得通解为得通解为 返回返回上页上页下页下页二、二、 形如形如 y +P(x)y +Q(x)y=f(x) 的方程的方程,称为称为二阶线性微分方程二阶线性微分方程.方程右端方程右端f(x)称为自称为自由项由项,P(x)与与Q(x)称为方程的系数称为方程的系数 当当f(x)0时时,方程变为方程变为 y +P(x)y +Q(x)y=0称之为称之为二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程。 当当f(x)0时时,称称,为为二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程1.二阶线性微分方程解的性质与结构二阶线性微分方程解的性质与结构返回返回上页上页下页下页定理定理1 如果如果y1,y2是方程是方程 的两个解的两个解,则它们的线性组合则它们的线性组合也是方程的解也是方程的解,其中其中C1,C2是任意常数是任意常数定义定义1 设设 是定义在区间是定义在区间I上的上的n个个函数函数,如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数,使得对任意的使得对任意的x,等等式式恒成立恒成立,则说在区间则说在区间I上它们是上它们是线性相关线性相关的的,否则称它们是否则称它们是线性无关线性无关的（线性独立的）的（线性独立的）返回返回上页上页下页下页 定理定理2 如果如果y1,y2是方程是方程的两个的两个线性无关线性无关的解（亦称基本解组），则的解（亦称基本解组），则为方程的通解，其中为方程的通解，其中C1,C2是任意常数是任意常数返回返回上页上页下页下页解解例例1 1对y1与与y2分分别求一求一阶导数和二数和二阶导数数,并代入方程并代入方程,能使方程成能使方程成为恒等式恒等式,故故y1与与y2都是方程的解都是方程的解. 方程的通解方程的通解为 y= =C1e- -x+ +C2e2x (C1，C2为任意常数任意常数)返回返回上页上页下页下页定理定理3 设设y*是非齐次线性方程是非齐次线性方程 的任一特解的任一特解, 是方程所对应的齐次方程是方程所对应的齐次方程的通解的通解,则则是方程的通解是方程的通解返回返回上页上页下页下页定理定理4 若若 与与 分别是方程分别是方程与与的解的解,则则是方程是方程的特解的特解返回返回上页上页下页下页2、 二阶常系数线性微分方程的解法二阶常系数线性微分方程的解法. 二阶线性微分方程中二阶线性微分方程中,当系数当系数P(x),Q(x)分别为常分别为常数数p,q时时, 则称方程则称方程 y +py +qy=f(x) (f(x)0) 为为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程. 若若f(x)0,方程成为方程成为 y +py +qy=0, 称为称为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程.返回返回上页上页下页下页 设方程方程y +py +qy=0的解的解为y= =erx,其中其中r为待定待定常数常数,将将y= =erx代入方程代入方程,得得 y= =erx为方程方程y +py +qy=0的解的充分必要条件是的解的充分必要条件是r为方程方程r2pr+ +q= =0的根的根. 称代数方程称代数方程r2pr+ +q= =0为微分微分方程方程y +py +qy=0的的特征方程特征方程.特征方程的根称特征方程的根称为特特征根征根 先求齐次方程的通解先求齐次方程的通解:返回返回上页上页下页下页分三种情形来考虑分三种情形来考虑:(1)如果特征方程如果特征方程 有两个相异实根有两个相异实根r1与与r2, 这时可得方程的这时可得方程的两个线性无关的解两个线性无关的解方程方程 的通解为的通解为返回返回上页上页下页下页(2)如果特征方程如果特征方程 有重根，有重根，这时可得到方程的一个解，这时可得到方程的一个解，因此方程因此方程 的通解为的通解为返回返回上页上页下页下页(3)如果特征方程如果特征方程 有共轭复根有共轭复根 则可以验证方程有两个线性无关的解则可以验证方程有两个线性无关的解于是方程的通解为于是方程的通解为返回返回上页上页下页下页例例 2 试求方程试求方程 的通解的通解. 特征方程特征方程 具有两个不同的实根具有两个不同的实根因此因此, 和和 构成原方程的基本解组构成原方程的基本解组.原方程的通解为原方程的通解为解解返回返回上页上页下页下页例例 3 求微分方程求微分方程 的通解的通解它具有共轭复根它具有共轭复根 特征方程为特征方程为因此所求方程的通解为因此所求方程的通解为解解返回返回上页上页下页下页例例4 求方程求方程y-10y+25y=0满足条件满足条件y|x=0=1且且在在x=0处取到极值的解，并说明解在处取到极值的解，并说明解在x=0处取极大处取极大值还是取值小值值还是取值小值其根为 ,故方程的通解为解解 特征方程为特征方程为由条件由条件y| =1得得C =1 又由于所求解在又由于所求解在x=0处取到极值，故处取到极值，故 y| =0 x=0由此有由此有C +5C =0,故故C =-5从而所求初值问题的解为：从而所求初值问题的解为：212y=y(x)=(1-5x)e5x 1x=0返回返回上页上页下页下页因为对于此解有因为对于此解有y(0)=10 y(0)-25y(0)=-250, y=y(x)=(1-5x)e5x所以，它在所以，它在x=0处取到极大值处取到极大值返回返回上页上页下页下页例例5 已知某二阶常系数齐次线性微分方程的已知某二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程有一个根特征方程有一个根r =1+3i，试建立这个微分，试建立这个微分方程，并求出它的通解方程，并求出它的通解1解解 设所求的方程设所求的方程y+ay+by=0,它对应的特征方程为它对应的特征方程为由于上面这个方程有一个根由于上面这个方程有一个根r 13i,则另一个根为则另一个根为r =1-3i由韦达定理可知由韦达定理可知12 故特征方程为故特征方程为所求微分方程为所求微分方程为y-2y+10y=0y=e（C cos3x+C sin3x) 通解为通解为x12返回返回上页上页下页下页再求非齐次方程的通解再求非齐次方程的通解: 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 y +py +qy=f(x) 的通解归结为求它所对应的齐次线性方程的通解和的通解归结为求它所对应的齐次线性方程的通解和它自身的一个特解它自身的一个特解. 下面考虑求特解下面考虑求特解.返回返回上页上页下页下页类型类型1 ,其中其中Pm(x)是是m次多项式次多项式.将将y*代入方程代入方程,得得设方程设方程 的特解为的特解为 显然然当当q0时,Q(x)应为m次次多多项式式,故故可可设y*= =Qm(x)A0A1xAmxm,其中其中A0,A1,Am是待定系数是待定系数.返回返回上页上页下页下页 当当q= =0且且p0时,Q(x)应为m+ +1次多次多项式式,故可故可设y*= =xQm(x)x(A0A1x+ +Amxm),其中其中A0,A1,Am为待定系数待定系数. 当当p= =q= =0时,Q(x)应为m+ +2次多次多项式式,故可故可设y*= =x2Qm(x)x2(A0A1x+ +Amxm),其中其中A0,A1,Am为待定系数待定系数. 返回返回上页上页下页下页例例 1 求方程求方程 的一个特解的一个特解由于右端由于右端f(x)= =Pm(x)= =x- -2,q= =30,故可故可设特解特解为 y*= =A0+ +A1x, 解解代入原方程得代入原方程得 4A1+ +3(A0A1x)=x- -2 返回返回上页上页下页下页类型类型2 ,这里这里 是常数是常数,Pm(x)是是m次多项次多项式式.显然，设方程显然，设方程 的特解为的特解为其中其中Q(x)是是x的多项式的多项式,将将y*代入方程并消去代入方程并消去 得得返回返回上页上页下页下页(1)若若 不是不是 的特征方程的特征方程的根的根, ,那么那么与与应同次应同次, ,于是可令于是可令其中其中A0，A1，Am为待定系数待定系数将将Q(x)代入原方代入原方程程,比比较等式两端等式两端x的同次的同次幂的系数确定的系数确定m+ +1个待个待定系数定系数,从而求得方程的一个特解从而求得方程的一个特解 返回返回上页上页下页下页(2)若若 是特征方程是特征方程 的单根的单根,那么那么 ,而而 .此时，此时， 应是应是m次多项式次多项式,再注意到此时，再注意到此时， 为常为常数数)为为 的解的解,故可令故可令从而求得方程的一个特解从而求得方程的一个特解 返回返回上页上页下页下页(3)若若 是特征方程是特征方程的重根的重根,那么那么这时这时应是应是m次多项式，再注意到此时次多项式，再注意到此时和和为常数为常数)均为均为 的解的解.且且故可设故可设从而求得方程的一个特解从而求得方程的一个特解 返回返回上页上页下页下页综上所述综上所述,有如下结论：有如下结论：如果如果 ,则方程则方程具有形如具有形如的特解，其中的特解，其中 是与是与 同次的特定多项式，同次的特定多项式，而而k按按 不是特征方程的根不是特征方程的根,是特征方程的单根或者是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取是特征方程的重根依次取0,1或或2.返回返回上页上页下页下页(2)求非齐次方程的一个特解求非齐次方程的一个特解y*：因因 ,故故 ,而而0不是特征方程的根不是特征方程的根,从而可设从而可设例例 2 求微分方程求微分方程的通解的通解有二重根有二重根故所求故所求齐次方程通解次方程通解为 (1) 求微分方程求微分方程的通解的通解因为特征方程因为特征方程解解返回返回上页上页下页下页(3)原方程的通解为原方程的通解为从上列方程组解出从上列方程组解出故故代入原方程并比较同次幂的系数可得代入原方程并比较同次幂的系数可得返回返回上页上页下页下页类型类型3其中其中A1,A2为待定系数待定系数,且当且当iw w为特征方程的根特征方程的根时,取取k= =1;当当iw w不是特征方程的根不是特征方程的根时,k= =0 类型类型4 其中其中a1,a2,a a,w w为实常数常数 其中其中A1,A2为待定系数待定系数,且当且当a aiw w为特征根特征根时,取取k= =1;当当a aiw w不是特征根不是特征根时,取取k= =0. 返回返回上页上页下页下页 例例3 求方程求方程 的一个特解的一个特解.的一个特解的一个特解首先求方程首先求方程因因2i不是特征方程不是特征方程的根，的根，所以可以设上列方程的特解所以可以设上列方程的特解 为为代入方程得代入方程得从而从而 故故 解解返回返回上页上页下页下页即即的实部即为原方程的一个特解的实部即为原方程的一个特解,即即为原方程的一个特解为原方程的一个特解.返回返回上页上页下页下页是特征方程是特征方程 的根，的根，代入原方程代入原方程,比较两端比较两端同类项系数同类项系数,得得 例例 4 求方程求方程的一个特解的一个特解解这个方程组得解这个方程组得故求得一个特解故求得一个特解y*为为解解返回返回上页上页下页下页第四节第四节 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用一、一、 供需均衡的价格调整模型供需均衡的价格调整模型某商品的供给量某商品的供给量S及需求量及需求量D与该商品的价格有关与该商品的价格有关. 假假设供供给函数与需求函数分函数与需求函数分别为S= =a1+ +b1P, D= =a- -bP,其中其中a1,b1,a,b均均为常数常数,且且b10,b0;P为实际价格价格.供需均衡的静态模型为供需均衡的静态模型为返回返回上页上页下页下页静态模型的均衡价格为静态模型的均衡价格为 瓦瓦尔尔拉（拉（alras）假）假设：超：超额需求需求D(P)- -S(P)为正正时,未被未被满足的足的买方愿出高价方愿出高价,供不供不应求的求的卖方将提价方将提价,因因而价格上而价格上涨;反之反之,价格下跌价格下跌,因此因此,t时刻价格的刻价格的变化率化率与超与超额需求需求D- -S成正比成正比,即即 瓦尔拉假设下的动态模型为瓦尔拉假设下的动态模型为 返回返回上页上页下页下页其中其中 = =k(b+ +b1)0 方程的通解方程的通解为 P(t)= =Pe+ +Ce- - t 假假设初初始始价价格格为P(0)= =P0,代代入入上上式式得得,C= =P0- -Pe,于于是是动态价格价格调整模型的解整模型的解为P(t)= =Pe+ +(P0- -Pe)e- - t，由于由于 0,故故表明表明:随着随着时间的不断延的不断延续,实际价格价格P(t)将逐将逐渐趋于均衡价格于均衡价格Pe 返回返回上页上页下页下页二、二、 索洛索洛(Solow)新古典经济增长模型新古典经济增长模型(略略) 设Y(t)表示表示时刻刻t的国民收入的国民收入,K(t)表示表示时刻刻t的的资本本存量存量,L(t)表示表示时刻刻t的的劳动力力,索洛曾提出如下的索洛曾提出如下的经济增增长模型：模型：其中其中s为储蓄率蓄率(s0), 为劳动力增力增长率率( 0),L0表示表示初始初始劳动力力(L00),r= = 称称为资本本劳力比力比,表示表示单位位劳动力平均占有的力平均占有的资本数量本数量. 返回返回上页上页下页下页将将K= =rL两两边对t求求导,并利用并利用 ,有有 由模型中的方程可得由模型中的方程可得 于是有于是有返回返回上页上页下页下页取生取生产函数函数为柯布柯布- -道格拉斯道格拉斯(Cobb- -Douglas)函数函数,即即f(K,L)= =A0Ka aL1- -a aA0Lra a，其中其中A00,0a a1均均为常数常数f(r,1)= =A0ra a，将其代入，将其代入 式中得式中得 方程两方程两边同除以同除以ra a,便有便有返回返回上页上页下页下页以以z= =r1- -a a代入后整理得代入后整理得当当t= =0时,若若r(0)= =r0,则有有返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页三、三、 新产品的推广模型新产品的推广模型(略略)某种新产品要推向市场某种新产品要推向市场,t时刻的销量为时刻的销量为x(t),t时刻产品时刻产品销售的增长率销售的增长率 与与x(t)成正比成正比. 产品销售存在一定的市场容量产品销售存在一定的市场容量N, 与尚未购买与尚未购买该产品的潜在顾客的数量该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比也成正比. 分离变量积分分离变量积分,可以解得可以解得 逻辑斯谛模型逻辑斯谛模型 逻辑斯谛曲线逻辑斯谛曲线 返回返回上页上页下页下页当当x(t*)N时时,则有则有 0,即销量即销量x(t)单调增单调增加加. 当当x(t*)= 时时, =0;当当x(t*) 时时, 0；当当x(t*) 时，时， 0 当销量达到最大需求量当销量达到最大需求量N的一半时的一半时,产品最为畅销产品最为畅销,当当销量不足销量不足N一半时一半时,销售速度不断增大销售速度不断增大,当销量超过一当销量超过一半时半时,销售速度逐渐减小销售速度逐渐减小.