复习第八讲第三章整数的性质(1)3.1 3.1 数的整除性数的整除性3.1.1 3.1.1 整除的概念整除的概念1.1.整除的定义整除的定义 对于整数对于整数a a和非零自然数和非零自然数b b，如果存在整数，如果存在整数q,q,使等式使等式 a=bq a=bq成立成立, , 则称则称b b能整除能整除a(a(或者或者a a能被能被b b整除整除) )，记作，记作b ba.a.此时此时a a叫做叫做b b倍数，倍数，b b叫做叫做a a的约数（因数）的约数（因数）3.1.2 3.1.2 数的整除性定理数的整除性定理1.1.和、差的整除性定理和、差的整除性定理定理定理1 1 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除也能被这个自然数整除. .定理定理2 2 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么它们的和如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么它们的和（或差）能被这个自然数整除的充要条件是：另一个数也能被这个自（或差）能被这个自然数整除的充要条件是：另一个数也能被这个自然数整除然数整除. .12.2.积的整除性定理积的整除性定理定理定理3 3 如果一个自然数如果一个自然数a a能整除自然数能整除自然数b b，b b又能整除整数又能整除整数c,c,那么那么a a也能也能整除整除c.c.（整除的传递性）（整除的传递性）定理定理4 4 若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，那么它们的积也能被这个自然数整除那么它们的积也能被这个自然数整除. .3.3.有余数除法的整除性定理有余数除法的整除性定理定理定理5 5 在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除整除，那么余数也能被这个自然数整除. .定理定理6 6 在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除除，那么被除数也能被这个自然数整除. .2思考与训练思考与训练下面说法中不正确的是（下面说法中不正确的是（ ）A.在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数整除，在有余数的除法里，如果被除数、除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除那么余数也能被这个自然数整除;B.在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整除，那在有余数的除法里，如果除数、余数都能被同一个自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除么被除数也能被这个自然数整除;C.在有余数的除法里，如果被除数、余数都能被同一个自然数整除，在有余数的除法里，如果被除数、余数都能被同一个自然数整除，那么除数也能被这个自然数整除那么除数也能被这个自然数整除;D.在有余数的除法里，如果除数能被某个自然数整除，而余数不能被在有余数的除法里，如果除数能被某个自然数整除，而余数不能被这个自然数整除，那么被除数也不能被这个自然数整除这个自然数整除，那么被除数也不能被这个自然数整除.（这是（这是A的逆否命题）的逆否命题）33.1.3 3.1.3 数的整除特征数的整除特征 如果具有某个条件的数，都能被自然数如果具有某个条件的数，都能被自然数b b整除，反过来能整除，反过来能被被b b整除的数，都具有这个条件，那么这个条件就叫做能被整除的数，都具有这个条件，那么这个条件就叫做能被b b整除的数的特征整除的数的特征. .即，一个数能被即，一个数能被b b整除的整除的特征特征就是这个数能就是这个数能被被b b整除的整除的充要条件充要条件. . 掌握了这个特征，不必进行除法运算就能确定某个数能否掌握了这个特征，不必进行除法运算就能确定某个数能否被被b b整除整除. . 1.1.能被能被2 2或或5,45,4或或25,825,8或或125125整除的数的特征整除的数的特征（1 1）能被）能被2 2或或5 5整除的数的特征是整除的数的特征是: :这个数的末一位数能被这个数的末一位数能被2 2或或5 5整除整除. .（2 2）能被）能被4 4或或2525整除的数的特征是整除的数的特征是: :这个数的末两位数能被这个数的末两位数能被4 4或或2525整除整除. .（3 3）能被）能被8 8或或125125整除的数的特征是整除的数的特征是: :这个数的末三位数能这个数的末三位数能被被8 8或或125125整除整除. . 42.2.能被能被9 9或或3 3整除的数的特征整除的数的特征能被能被9 9或或3 3整除的数的特征是整除的数的特征是: :这个数的各个数位上的数的和这个数的各个数位上的数的和能被能被9 9或或3 3整除整除. . 3.3.能被能被7 7、1111或或1313整除的数的特征整除的数的特征能被能被7 7、1111或或1313整除的数的特征是整除的数的特征是: :这个数的末三位数与末这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被三位数以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被7 7、1111或或1313整除整除. .5思考与训练思考与训练1.举出三个数，它们的和能被举出三个数，它们的和能被6整除，并且整除，并且（1）三个数都能被）三个数都能被6整除；整除；（2）其中一个数能被）其中一个数能被6整除，其余两个数都不能被整除，其余两个数都不能被6整除；整除；（3）三个数都不能被）三个数都不能被6整除整除.解解：（：（1）能被）能被6整除，即能被整除，即能被2、3整除整除.根据能被根据能被2、3整除的数的特整除的数的特征，这三个数可以是征，这三个数可以是6、12、15，还可以是，还可以是18、24、30等等. （2）12、13、17等等.（12+13+17=42） （3）5、15、22等等.（5+15+22=42）62.不做除法，判断下列各数能否被不做除法，判断下列各数能否被3、9、4、125整除整除50505，18404，31500， 84375, 94005，84564，64776， 999003.不做除法，判断下列各数能否被不做除法，判断下列各数能否被7、11、13整除整除23419，725582，143213，209708, 19712，4325321，2598674324.三个数分别是三个数分别是827,938,949，再写一个比，再写一个比995大的三位数，使这四个大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数数的平均数是一个整数.解：这个数是解：这个数是998.998.这是因为，若这四个数的平均数是一个整数，则这四个数的和的末两这是因为，若这四个数的平均数是一个整数，则这四个数的和的末两位数能被位数能被4 4整除整除. .要使要使827+938+949+99?827+938+949+99?的末两位数能被的末两位数能被4 4整除，比整除，比995995大的三位数末尾大的三位数末尾是是8 8时，即时，即827+938+949+998827+938+949+998的末两位是的末两位是1212，能被，能被4 4整除整除. .5.写出四个三位数，使它们所得余数分别是写出四个三位数，使它们所得余数分别是1,2,3,4.6.写出一个能被写出一个能被3整除，而用整除，而用9除余除余3的四位数的四位数.75.写出四个三位数，使它们除以写出四个三位数，使它们除以5所得余数分别是所得余数分别是1、2、3、4.解：这三个数分别是解：这三个数分别是13.13. 能被能被5 5整除的数的特征是，这个三位数的末尾上的数能被整除的数的特征是，这个三位数的末尾上的数能被5 5整除整除. .要使余数分别是要使余数分别是1 1、2 2、3 3、4 4，只要末尾上的数分别是，只要末尾上的数分别是6 6、7 7、8 8、9 9即可即可. .6.写出一个能被写出一个能被3整除，而用整除，而用9除余除余3的四位数的四位数.解：解：这样的数可以是这样的数可以是34233423、50615061等等. . 能被能被3 3、9 9整除的数的特征是，这个各个数位上数的和能被整除的数的特征是，这个各个数位上数的和能被3 3、9 9整整除除. .因此这个数能被因此这个数能被3 3整除，被整除，被9 9除余除余3 3的四位数各个数位上数的和除以的四位数各个数位上数的和除以9 9余余3 3即可即可. .87.选择题选择题（1）设三位数）设三位数2a3加上加上326，得另一个三位数，得另一个三位数5b9,若若5b9能被能被9整除，整除，则则a+b=( C ) A 2； B 4; C 6; D 8; E 9.（2）小于）小于500且能同时能被且能同时能被5、7整除的自然数有（整除的自然数有（ ）个）个 A 99； B 170; C 35; D 14.此题在命题时，自然数中没有包括此题在命题时，自然数中没有包括0，故答案是，故答案是D.不恰当不恰当.解析：应当增加一个选项解析：应当增加一个选项 E 15，选，选E.这是因为根据整除的定义这是因为根据整除的定义 a=7q, 0a500,而在而在0-500之间，与之间，与7相乘相乘是整数，且积的末尾是是整数，且积的末尾是0或或5的整数有的整数有15个，分别是个，分别是0,5,10,15，.70.这些数构成一个以这些数构成一个以5为公差的等差数列，首项是为公差的等差数列，首项是0，第，第n项是项是70.即即 an=5n,n=0,1,2,.,14.（3）一梯形麦田的面积为）一梯形麦田的面积为1400平方米，高为平方米，高为50米，若两底的米数为米，若两底的米数为整数，且都可以被整数，且都可以被8整除，求两底整除，求两底.此题的解有（此题的解有（ ）种）种A 0； B 1; C 2; D 3 ; E 多与多与3.解析：解析：97.选择题选择题（3）一梯形麦田的面积为）一梯形麦田的面积为1400平方米，高为平方米，高为50米，若两底的米数为米，若两底的米数为整数，且都可以被整数，且都可以被8整除，求两底整除，求两底.此题的解有（此题的解有（ ）种）种A 0； B 1; C 2; D 3 ; E 多与多与3.解析：设两底分别为解析：设两底分别为x x、y y，由梯形的面积公式得，由梯形的面积公式得(x+y) 50 2=1400,(x+y) 50 2=1400,即即x+y=56x+y=56根据和的整除性质（定理根据和的整除性质（定理2 2），由于），由于x x、y y的和的和5656能被能被8 8整除，且整除，且x x、y y都都小于小于5656，设，设x x能能8 8整除，进而确定整除，进而确定y.y.不妨设不妨设x x为为8,16,32,40,488,16,32,40,48，此时满，此时满足条件的足条件的y y可分别取可分别取48,4048,40，故选，故选C.C.10第九讲第三章整数的性质（2）主要内容：主要内容：3.2 3.2 公约数和公倍数公约数和公倍数3.2.1 3.2.1 最大公约数最大公约数3.2.2 3.2.2 最小公倍数最小公倍数3.3 3.3 数的分解数的分解3.3.1 3.3.1 质数与合数质数与合数3.3.2 3.3.2 分解质因数分解质因数11教学目标：1.1.了解公约数、公倍数的相关概念及其性质；了解公约数、公倍数的相关概念及其性质；2.2.理解一些性质定理的内容及其证明的基本思路理解一些性质定理的内容及其证明的基本思路; ;3.3.了解数的分解的概念及其方法了解数的分解的概念及其方法. .12第九讲第三章整数的性质（2）3.2 3.2 公约数和公倍数公约数和公倍数 本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质，主要包括本节内容是在整除的基础上研究整数的一些基本性质，主要包括约数、倍数及其相关概念和性质约数、倍数及其相关概念和性质. .3.2.1 3.2.1 最大公约数及其性质最大公约数及其性质1.1.最大公约数的概念最大公约数的概念(1)(1)公约数：几个自然数的公有约数，叫做这几个数的公约数公约数：几个自然数的公有约数，叫做这几个数的公约数. .由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集由约数的定义知一个自然数的约数集合是有限集. .1616的约数集合的约数集合 A=1,2,4, 8,16; A=1,2,4, 8,16;2424的约数集合的约数集合 B=1,2,3,4,6,8,12,24; B=1,2,3,4,6,8,12,24;那么那么 A A B =1,2,4,8=C.B =1,2,4,8=C.可知，集合可知，集合C C就是自然数就是自然数1616与与2424约数集合约数集合A A与与B B的公约数集合的公约数集合. .(2)(2)最大公约数最大公约数: :几个自然数公约数集合几个自然数公约数集合aa1 1, a, a2 2,., a,., an n 中最大的一中最大的一个叫做这几个自然数的最大公约数个叫做这几个自然数的最大公约数. .记作（记作（a a1 1, a, a2 2,., a,., an n ）. .例如（例如（16,2416,24）=8=8；（；（35,4935,49）=7.(9,15)=3=7.(9,15)=313互质数：如果两个数的最大公约数是互质数：如果两个数的最大公约数是1 1，那么这两个数是互质数，那么这两个数是互质数. .即对于两个自然数即对于两个自然数m,n,m,n,如果（如果（m,nm,n）=1,=1,那么那么m m与与n n互质互质.(7,2)=1.(7,2)=1例如例如 (2,3)=1, 2 (2,3)=1, 2与与3 3互质互质, ,或者说或者说2 2与与3 3是互质数；是互质数； (1,2)=1, 1 (1,2)=1, 1与与2 2互质；互质； (11,18)=1, 11 (11,18)=1, 11与与1818互质互质. .142.2.最大公约数的性质最大公约数的性质性质性质1 1 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质. .如果（如果（a,ba,b）=d,=d,那么（那么（ad, bd ad, bd ）=1.=1.证明：设证明：设ad=aad=a1 1, bd=b, bd=b1 1, ,那么那么a=aa=a1 1d, b=bd, b=b1 1d, d, 假设（假设（a a1 1，b b1 1）1 1，设（，设（a a1 1，b b1 1）= m,(m1).= m,(m1).于是有于是有 a a1 1=a=a2 2m, bm, b1 1=b=b2 2m, (am, (a2 2, b, b2 2 N).N).所以所以a=aa=a1 1d=ad=a2 2md, b=bmd, b=b1 1d=bd=b2 2md.md.那么那么mdmd是是a,ba,b的公约数的公约数. .又又m1, m1, mdd ,mdd ,这与（这与（a,ba,b）=d=d矛盾，故（矛盾，故（a a1 1，b b1 1）=1=1， 也就是（也就是（ad, bd ad, bd ）=1.=1.(4,8)=4,(44,84)=1,(1,2)=1(4,8)=4,(44,84)=1,(1,2)=115性质性质2 2 两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的约数两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的约数. . 如果（如果（a,ba,b）=d,c=d,c d,d,那么那么c c a, ca, c b.b.证明：证明： d d a, ca, c d, d, c c a.(a.(整除的传递性整除的传递性) ) 同理同理 d d b, cb, c d, d, c c b.(b.(整除的传递性整除的传递性) ) c c是是a,ba,b的公约数的公约数. .163.2.2 3.2.2 最小公倍数最小公倍数1.1.最小公倍数的概念最小公倍数的概念 (1)(1)公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数. .由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集由倍数的定义知一个自然数的倍数集合是无限集. .3636的倍数集合的倍数集合 M=0,36,72,108,144,180 M=0,36,72,108,144,180，.;.;2424的倍数集合的倍数集合 N=0,24,48,72,96,120 N=0,24,48,72,96,120，144,.;144,.;那么那么 M M N=0,72,144,.=Q.N=0,72,144,.=Q.可知，集合可知，集合Q Q就是自然数就是自然数3636与与2424倍数集合倍数集合M M与与N N的公倍数集合的公倍数集合. .(2)(2)最小公倍数最小公倍数: :几个自然数公倍数集合几个自然数公倍数集合aa1 1, a, a2 2,., a,., an n 中，除中，除0 0以外以外最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小公倍数最小的一个公倍数叫做这几个自然数的最小公倍数. .记作记作aa1 1, a, a2 2,., ,., a an n .(.(数学上常用方括号表示数学上常用方括号表示).).例如例如36,24=7236,24=72；4,8,14=56. 4,8,14=56. 再如再如1212，1818，20=18020=180，即，即1212、1818和和2020的最小公倍数的最小公倍数. .3,8=24 (3,8)=13,8=24 (3,8)=1171.1.最小公倍数的性质最小公倍数的性质性质性质1 1 两个自然数的任意一个公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个自然数的任意一个公倍数都是它们最小公倍数的倍数. .如果如果a,b=ma,b=m，而，而n n是是a,ba,b的任意一个公倍数，那么的任意一个公倍数，那么m mn.n.性质性质2 2 两个自然数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个自然两个自然数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个自然数的乘积数的乘积. .即即如果如果 a,b=m,(a,b)=d. a,b=m,(a,b)=d.那么那么md=ab.md=ab.6,8=24,(6,8)=2.6,8=24,(6,8)=2.那么那么24242=62=68.8.9,15=45 , (9,15)=3, 459,15=45 , (9,15)=3, 45 3=9=915.15.推论推论1 1 如果两个数如果两个数a,ba,b互质，那么互质，那么a,ba,b的最小公倍数等于的最小公倍数等于a a与与b b的积的积. .即即如果（如果（a,ba,b）=1,=1,那么那么a,b=aa,b=ab.b.思考：性质思考：性质2 2的结论对三个数的情况成立吗？的结论对三个数的情况成立吗？答：不成立答：不成立. .尽管可以有尽管可以有2, 32, 3，5=30 , (2, 35=30 , (2, 3，5)=1, 25)=1, 2 3 5= =30301.1. 但是但是2, 42, 4，6=12 , (2, 46=12 , (2, 4，6)=2, 26)=2, 2 4 6 12122 2 2, 3 2, 3，6=18 , (2, 36=18 , (2, 3，6)=1, 26)=1, 2 3 618181 118推论推论1 1 如果两个数如果两个数a,ba,b互质，那么互质，那么a,ba,b的最小公倍数等于的最小公倍数等于a a与与b b的积的积. .即即如果（如果（a,ba,b）=1,=1,那么那么a,b=aa,b=ab.b.例如（例如（2,32,3）=1=1，那么，那么2,3=22,3=23=6.3=6.推论推论2 2 如果一个数如果一个数d d与与abab的一个因数的一个因数a a互质，那么数互质，那么数d d能整除这个积的能整除这个积的充要条件是，数充要条件是，数d d能整除这个积的另一个因数能整除这个积的另一个因数b.b.即即如果（如果（d,ad,a）=1, d=1, db b ，那么，那么 d dab.ab.例如（例如（2,32,3）=1=1，2 22 2 ，那么，那么 2 22 23.3.推论推论3 3 如果一个数如果一个数m m能被互质两个数能被互质两个数a,ba,b整除，那么整除，那么m m也能被也能被a,ba,b的积整的积整除除. .即即如果（如果（a,ba,b）=1, a=1, am m， b bm m，那么，那么ababm.m.例如（例如（2,32,3）=1=1，2 26 6 ，3 36 6 ，那么，那么 2 22 23.3.193.3 3.3 数的分解数的分解 数的分解是建立在因数基础上的数的分解是建立在因数基础上的. .3.3.1 3.3.1 质数与合数质数与合数 质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产质数与合数的出现是古希腊人为寻求制约数的最微小的元素而产生的生的. .他们的产生，导致了自然数的一个分类：自然数包括质数、合他们的产生，导致了自然数的一个分类：自然数包括质数、合数和数和1.1.定义定义 除了除了1和本身，再没有其他因数的数称为质数，也成为素数和本身，再没有其他因数的数称为质数，也成为素数.例如例如 2, 3, 5, 11，13等等.定义定义 除了除了1和本身，还有其他因数的数称为合数和本身，还有其他因数的数称为合数.例如例如 4, 6，121，等，等 由定义知由定义知 1既不是质数，也不是合数既不是质数，也不是合数. 20定理定理1 1 大于大于1 1的任何整数，至少有一个约数是质数的任何整数，至少有一个约数是质数. .证明：设证明：设a a是大于是大于1 1的整数，那么的整数，那么a a可能是质数，也可能是合数可能是质数，也可能是合数. .(1)(1)如果如果a a是质数，又由于是质数，又由于a a是它本身的约数，所以在这种情况下是它本身的约数，所以在这种情况下, ,定理定理成立成立. .(2)(2)如果如果a a是合数，那么是合数，那么a a就有一个或几个大于就有一个或几个大于1 1而小于而小于a a的约数的约数. .如果如果b b是这些约数中最小的一个，那么是这些约数中最小的一个，那么b b一定是质数一定是质数. .这是因为这是因为 假设假设b b不是质数，那么不是质数，那么b b一定是合数一定是合数. .它一定有大于它一定有大于1 1而而小于小于b b的约的约数数c.c.又由于又由于b b是是a a的约数，所以的约数，所以c c是是a a的约数的约数. .这和这和b b是是a a最小的约数矛盾最小的约数矛盾. .故假设不成立故假设不成立. .即即如果如果b b是这些约数中最小的一个，那么是这些约数中最小的一个，那么b b一定是质数一定是质数. .由（由（1 1）、（）、（2 2）知定理）知定理1 1得证得证. . 例如例如 7 7的约数中，的约数中，7 7是质数；是质数；1515的约数中，的约数中，3,53,5是质数；是质数； 66 66的约数中，的约数中，2 2、3 3、1111是质数是质数. . 21定理定理2 一个质数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数互一个质数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数互质质.如果如果 质数质数p不能整除自然数不能整除自然数a,那么（那么（p,a）=1.例如例如 3不能整除不能整除7，那么（，那么（3,7）=1； 2不能整除不能整除7，那么（，那么（2,7）=1.定理定理3 如果几个自然数的积能被一个质数整除，那么这几个数里至少如果几个自然数的积能被一个质数整除，那么这几个数里至少有一个数能被这个质数整除有一个数能被这个质数整除.例如例如 3|29 5 7时，有时，有3|9.223.3.2 3.3.2 分解质因数分解质因数1.1.分解质因数的概念分解质因数的概念（1 1）质因数的定义：如果一个数既是数）质因数的定义：如果一个数既是数a a的质数又是的质数又是a a的因数，则称的因数，则称这个数是数这个数是数a a的质因数的质因数. .例如例如 数数2727的因数有的因数有1 1，3 3，9,279,27，但是只有，但是只有3 3是质因数是质因数. . 数数3535的因数有的因数有1 1，5 5，7,357,35，其中，其中5 5和和7 7是质因数是质因数. .（2 2）分解质因数的概念：把一个数表示成质因数乘积的形式，叫做）分解质因数的概念：把一个数表示成质因数乘积的形式，叫做分解质因数分解质因数. .例如例如 54=23 54=233 3；35=5735=57； 720=2 720=24 4333 35.5. 特别地，把一个质数分解质因数就是用这个质数表示特别地，把一个质数分解质因数就是用这个质数表示. .例如例如 7=7 7=7 23（3 3）质数的判别方法）质数的判别方法方法方法1 1 查表法查表法把把10001000以内的质数列出表，需要时查表即可以内的质数列出表，需要时查表即可. .10001000以内的质数表是希腊学者埃拉托斯特尼首先创造的以内的质数表是希腊学者埃拉托斯特尼首先创造的. .24方法方法2 2 试除法试除法 如果没有质数表，可以用试除法给出如果没有质数表，可以用试除法给出. .即用质数去试除即用质数去试除, ,能用数的能用数的整除性特征判断直接用数的整除性特征判断整除性特征判断直接用数的整除性特征判断. .例例 判断判断197197是不是质数是不是质数. .解：可以用解：可以用2 2、3 3、5 5、7 7、11.11.等质数去试除（能用数的整除特征直等质数去试除（能用数的整除特征直接判断的就不必试除）接判断的就不必试除）. . 用数的整除特征直接可以判断用数的整除特征直接可以判断197197不能被不能被2 2、3 3、5 5、7 7、1111、13.13.整除；整除； 由于由于1313下一个质数是下一个质数是1717，而，而19717=1119717=11（余（余1010），所以），所以197197也不也不能被能被1717整除整除. . 由于用由于用1717去除所得的商去除所得的商比比1717小，小，所以就可以断定所以就可以断定197197不能被比不能被比1717大的整数整除大的整数整除. . 这是因为如果有比这是因为如果有比1717大的质数整除大的质数整除197197，那么所得到的比，那么所得到的比1717小的小的商也能整除商也能整除197197（第八讲定理第八讲定理4 4），），可是这已经经过试除和判断，证明可是这已经经过试除和判断，证明是不可能的是不可能的. . 因此不必再继续试除，就可以断定因此不必再继续试除，就可以断定197197是质数是质数. .思考与训练思考与训练 判断判断139139是不是质数是不是质数. . 25定理定理4 4 若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，若干个数相乘，如果其中的一个因数能被某一个自然数整除，那么它们的积也能被这个自然数整除那么它们的积也能被这个自然数整除. .如果如果 b ba a1 1，那么那么 b ba a1 1a a2 2a a3 3.a.an n证明证明（略）（略）例如例如 2577=770,2577=770,其中其中11117777， 1111770.770. 当然也有当然也有 2 2770, 770, 5 5770, 770, 7 7770.770.26定理定理2 2 一个整数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数互质一个整数如果不能整除一个自然数，那么就与这个自然数互质例如例如3 3不能整除不能整除8 8，则，则3 3与与8 8互质；互质；1717不能被不能被4 4整除，那么整除，那么1717与与4 4互质互质. .定理定理3 3 如果几个自然数的积能被一个自然数整除，那么这几个数里至如果几个自然数的积能被一个自然数整除，那么这几个数里至少由一个能被这个自然数整除少由一个能被这个自然数整除. .例如例如 已知已知4242能被能被3 3整除，而整除，而42=237,42=237,其中其中3 3能被能被3 3整除；整除； 已知已知126126能被能被3 3整除，而整除，而126=297,126=297,其中其中9 9能被能被3 3整除整除. .定理定理2 2、3 3只做介绍，了解即可，不做证明只做介绍，了解即可，不做证明 272.2.分解质因数的标准分解式分解质因数的标准分解式定理定理4 4 任何一个大于任何一个大于1 1的整数都可以分解质因数的整数都可以分解质因数. .例如例如 35=5 35=57 7；27=327=32 2 ；108=2108=22 23 32 2 =3=32 22 22 2 =3 =33 32 22 2 ，但是，但是108=2108=22 23 32 2 是标准分解式是标准分解式. .定理定理5 5 一个大于一个大于1 1的整数的整数, ,如果不论质因数的次序，那么分解质因数的如果不论质因数的次序，那么分解质因数的结果是唯一的结果是唯一的. .（这个定理叫做算数基本定理）（这个定理叫做算数基本定理） 28例例1.1271.127个人能不能排成一个长方形的队伍（行数和列数都大于个人能不能排成一个长方形的队伍（行数和列数都大于1 1）？）？解：不能解：不能. . 这是因为关键是看这是因为关键是看127127能否分解成两个大于能否分解成两个大于1 1的不相等的数的乘积的不相等的数的乘积. .而而127127是质数是质数. .例例2.2.某工厂制造零件某工厂制造零件863863个，能否把它们平均分装在几个木箱里（每个，能否把它们平均分装在几个木箱里（每箱至少装两个）？为什么？箱至少装两个）？为什么？解：不能解：不能. . 这是因为关键是看这是因为关键是看863863能否分解成两个相等的数的乘积能否分解成两个相等的数的乘积. .而而863863是是质数质数. .例例3.3.有有9191个学生，能不能把他们分成人数相等的几个小组？有几种分个学生，能不能把他们分成人数相等的几个小组？有几种分法？法？解：能解：能. .有有2 2种分法种分法. .第一种分法：每组第一种分法：每组1313个人，分成个人，分成7 7个组；第二种分个组；第二种分法：每组法：每组7 7个人，分成个人，分成1313个组个组. . 这是因为这是因为91=13791=137，或，或91=713.91=713.29思考与训练二思考与训练二1.1.判断判断（1 1）有公约数）有公约数1 1的两个整数，都是互质数；的两个整数，都是互质数；（2 2）没有公约数的两个整数，是互质数；）没有公约数的两个整数，是互质数；（3 3）相邻的两个自然数，一定是互质数；）相邻的两个自然数，一定是互质数；（4 4）一个非零自然数的最大约数和最小倍数，都是本身）一个非零自然数的最大约数和最小倍数，都是本身. .2.2.选择题选择题（1 1）1212与与132132的最大公约数减去的最大公约数减去8 8等于（等于（ ） A.0;B.6;C.2;D.3;E.4. A.0;B.6;C.2;D.3;E.4.（2 2）互质的两个数的公约数的个数是（）互质的两个数的公约数的个数是（ ） A.0;B.1;C.2;D.3;E. A.0;B.1;C.2;D.3;E.无限多个无限多个. .303.3.判断判断（1 1）一个自然数不是质数就是合数；）一个自然数不是质数就是合数；（2 2）所有的偶数都是合数；）所有的偶数都是合数；（3 3）互质的两个数，一定是质数；）互质的两个数，一定是质数；（4 4）任意两个自然数的乘积一定是合数）任意两个自然数的乘积一定是合数. .4.4.选择题选择题（1 1）两个质数的和一定是（）两个质数的和一定是（ ） A. A.合数合数;B.;B.质数质数;C.;C.可能是质数也可能是合数可能是质数也可能是合数;D.;D.偶数偶数. .（2 2）几个质数连乘的积一定是（）几个质数连乘的积一定是（ ） A. A.质数质数;B.;B.合数合数;C.;C.奇数奇数;D.;D.偶数偶数. .（3 3）一个数分解质因数后只有一个）一个数分解质因数后只有一个2 2，二个，二个3 3，这个数约数的个数是，这个数约数的个数是（ ） A.3;B.4;C.5;D.6. A.3;B.4;C.5;D.6.（4 4）如果某个自然数有）如果某个自然数有4 4个不同质因数，那么这样的自然数中最小的个不同质因数，那么这样的自然数中最小的一个是（一个是（ ） A.16;B.24;C.30;D.210. A.16;B.24;C.30;D.210.31